全国顶级名校2024-2025学年第一学期高二开学摸底测试卷 数学试卷一及参考答案含答题卡

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数（为虚数单位），则实数的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
2．如图,三棱柱中,侧面的面积是,点到侧面的距离是,则三棱柱的体积为( )
A．B．C．D．
3．已知向量，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．6
4．是所在平面上一点满足的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
5．如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，、，若点是线段上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知角顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．2D．
8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．，若，则或
C．若，则的最小值为1
D．若是关于的方程的根，则
10．已知，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期是
C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增
11．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值 B．平面
C．的最小值为
D．当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某几何体底面的直观图为如图矩形，其中，该几何体底面的面积为 ．
13．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则 .
14．已知在上的投影向量为，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．正四棱台两底面边长分别为2和4．
(1)若侧棱长为，求棱台的表面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
16．如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
17．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，角的平分线与AC交于点，且，求边的值．
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.

(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值.
19．对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．