全国顶级名校2024-2025学年第一学期高二开学摸底测试卷 数学试卷三及参考答案含答题卡

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1．（23-24高一下·湖南·期末）已知，则（ ）
A．1B．2C．D．5
【答案】A
【解析】，所以.故选：.
2．（23-24高一下·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则等于（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【解析】由正弦定理，,解得.故选：C
3．（23-24高一下·湖南怀化·期末）连续投掷一枚质地均匀骰子两次，这枚骰子两次出现的点数之积为奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】易知样本空间样本点总数，
记“两次出现的点数之积为奇数”为事件A，
则，
所以，所以.故选：B.
4．（23-24高一下·湖北十堰·期末）某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】A
【解析】由题意可得被抽到的研发人员有人，销售人员有人，
则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多.故选：A
5．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则的周长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意，因轴，轴，故,
在平面图直角坐标系中，有,
又，则,,
于是，,
故的周长为：.故选：C.
6．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为的平均数是10，方差是10，
则，，
所以的平均数是
，
方差是
故选：D.
7．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求其面积的公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”翻译成公式，即，其中，，分别为中角，，的对边，为的面积．现有面积为的满足，则其内切圆的半径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理可知，
设，则，，，
所以，解得，
所以，，，
设内切圆的半径为，
由，得.故选：B.
8．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，圆台的轴截面是等腰梯形，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】过作，连接.
因为为圆台的轴截面，所以平面平面,
因为平面平面,平面，所以平面，
所以直线与平面所成的角即.
因为且，
则,，，
所以.故选：D.
二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·山西大同·期末）已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若与互斥，则
C．若与相互独立，则D．若与相互独立，则
【答案】BC
【解析】对于A，若，则，故A错误；
对B，若与互斥，则，故B正确；
对于C，若与相互独立，则与相互独立，
所以，故C正确；
对于D，若与相互独立，
则，故D错误.故选：BC.
10．（23-24高一下·河南郑州·期末）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
B．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
C．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小
D．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
【答案】BD
对于B，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，B正确；
对于C，20182023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元，
人均消费支出的极差为元，C错误；
对于D，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数
为元，D正确.故选：BD
11．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（ ）
A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
【答案】BCD
【解析】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为；
则图2中水的体积为，即，解得，
所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误．
对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确；
对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，
所以水面也恰好经过点，C正确；
对于D，任意摆放该容器，当水面静止时，点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，
所以水面都恰好经过点，D正确．故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由复数在复平面内对应的点位于第二象限，
则，解得，故答案为：.
13．（23-24高一下·河北保定·期末）在山脚A测得山顶P的仰角，沿倾斜角的公路向上走600m到达B处，在B处测得山顶P的仰角，如图，若在山高的处的点S位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为 m.
【答案】
【解析】过B作，垂足为，
因为，
在中，可得，
在中，则，
由正弦定理可得，
在中，可得，
则山的高度，所以索道离地面的高度为（m）.
故答案为：.
14．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知向量，，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，，则，
若，则，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·河南周口·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，若某市经过初次选拔后有小明､小王､小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是，小明､小红两名同学都解答错误的概率是，小王､小红两名同学都正确解出的概率是.设小明､小王､小红正确解出该道题分别为事件，三个事件两两独立，且.
(1)求三名同学都正确解出这道题的概率；
(2)求小王正确解出这道题的概率.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意得，，
所以三名同学都正确解出这道题的概率为.
（2）因为，则，
又因为，可得，则，
又因为，所以.
所以小王正确解出这道题的概率为.
16．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）在中，，
由正弦定理得，．
又，，
，，，
，．
（2）在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
的面积为．
17．（23-24高一下·河南商丘·期末）如图，在正三棱柱中，，E，P分别为棱AC，BC的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)求三棱柱被平面截得的两部分的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)三棱锥的体积为，多面体的体积为
【解析】（1）连接交于F，连接EF，如图.
∵三棱柱为正三棱柱，∴F为的中点，
又E为AC的中点，∴EF为的中位线，∴，
又平面，平面，∴平面.
（2）三棱柱被平面截得的两部分为三棱锥与多面体.
∵三棱柱为正三棱柱，∴四边形为矩形，
又，∴，
∴，解得.
∴三棱柱的体积为
故三棱锥的体积为，
多面体的体积为.
18．（21-22高一下·山东临沂·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
【答案】(1)；(2)84；(3)总平均数为；总方差为
【解析】（1）因为每组小矩形的面积之和为1，
所以，则.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，得，故第75百分位数为84.
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故这两组成绩的总平均数为，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
.
19．（23-24高一下·重庆·期末）对于数集，其中，，定义向量集.
(1)设，请写出向量集；
(2)对任意，存在，使得，，则称具有性质.若，集合是否具有性质，若具有，求的值，若不具有，请说明理由；
(3)对任意，存在，使得，则称具有性质.若具有性质，且，为常数且，当为整数集时，求证：.
【答案】(1);(2)不具有，理由见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意；
（2）假设存在，
因为，所以，
当时，设，则，
而集合，中，只有，
所以只能是，此时，这与已知矛盾，
所以集合不具有性质；
（3）因为具有性质，取，则存在，，
使得，而，故，故异号，
而，故必有一个为，故，故，即，
取，因为具有性质，
所以存在，使得，
因为，故必有一个为，
若，则且，但，故，矛盾；
故，则且即，
因为，
且中除外有且只有个大于的元素，
故，
即．