全国顶级名校2024-2025学年第一学期高二开学摸底测试卷 数学试卷四及参考答案含答题卡

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1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，，若，则（ ）
A．1或B．或2C．1或D．或
2．复数（其中为虚数单位）的虚部等于（ ）
A．B．C．1D．0
3．经过点且斜率为的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ）
A．56B．C．D．
5．已知一组样本数据，，…，（）的方差为1.2，则，，⋯，的方差为（ ）．
A．5B．6C．25D．30
6．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（ ）．
A．B．C．D．
7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（ ）
A．甲和乙相互独立B．甲和丙相互独立
C．甲和丁相互独立D．丁和丙相互独立
9．已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．，，，，则D．，，，则
10．在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．平面平面D．平面平面
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知 则在上的投影向量为
12．过点和点的直线的斜率为 .
13．数据：，，，，，，，，，的第百分位数为 ．
14．已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为 .
15．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知平面向量，，，其中.
(1)若为单位向量，且，求的坐标；
(2)若且与垂直，求向量，夹角的余弦值.
17．在中，角所对的边分别是.
(1)若是的中点，且，求的面积；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
18．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），使居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
(1)求直方图中a，b的值；
(2)由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.
19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；
(3)若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率.
20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面．

(1)求证：；
(2)求平面APB与平面夹角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
20．设n为正整数，集合A=．对于集合A中的任意元素和，记
M（）=．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求M（）和M（）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，M（）是奇数；当不同时，M（）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M（）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．