[数学][期中]山东省临沂市2023-2024学年高一上学期期中考试试题(解析版)

这是一份[数学][期中]山东省临沂市2023-2024学年高一上学期期中考试试题(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知阴影部分表示的集合为，
由集合，，可得或，
则.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题“，”为存在量词命题，
其否定为全称量词命题：，.
故选：C.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】函数的定义域满足，解得且.
故选：B.
4. 已知函数在上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线的对称轴为：，
又∵在上单调递增，∴，解得：.
所以的取值范围是.
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】，.
故选：A.
6. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，函数定义域为，
，函数为奇函数，
，故，
.
故选：D.
7. 已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，所以，
所以的图象关于对称，所以，
又当时，恒成立，
所以函数在上递增，，
所以.
故选：B.
8. 在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当时，；当时，，则函数，的最大值等于（“·”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ）
A. 5B. 6C. 10D. 12
【答案】C
【解析】当时，，，故，函数单调递增，
；
当时，，，故，函数单调递增，
；
综上所述：函数的最大值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知命题，，则命题P成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】恒成立，当时，，成立；
当时，，解得；
综上所述：，
命题P成立的一个充分不必要条件是的真子集，CD满足.
故选：CD.
10. 设，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】对A，由，显然，两边除以可得，故A正确；
对B，当时显然不成立，故B错误；
对C，当故C错误；
对D，因为，同时乘以有，
同时乘以有，故，故D正确.
故选：AD.
11. 设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】对选项A：，
当且仅当时等号成立，正确；
对选项B：，
当且仅当时等号成立，正确；
对选项C：取，，错误；
对选项D：取，，，错误.
故选：AB.
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，则下列命题正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C.
D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】对选项A：，错误；
对选项B：的整数部分为，则的整数部分为，即，正确；
对选项C：的整数部分为，的整数部分为，
则整数部分为或，即，正确；
对选项D：，则或，
解得，正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】，
当且仅当，即时，取得最小值.
故答案为：.
14. 已知函数的值域为，则它的定义域可以是________．（写出其中一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】，取，则；取，则；
故定义域可以为：或或.
故答案为：.
15. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则________．
【答案】
【解析】是定义在上的奇函数，.
故答案为：.
16. 已知幂函数的图象过点，且满足恒成立，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题设，其图象过点可得，故，所以，
所以，
易知为上的奇函数且为增函数，
而等价于，
所以，
所以恒成立，
当时，不恒成立，不合题意，
当时，
，解得.
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，所以，
，所以，
.
（2）若，则，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述：a的取值范围为．
18. 设函数，．
（1）解关于x的不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．
解：（1），
当时，不等式解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2），可得，，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即.
19. 已知，且．
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围．
解：（1）因为，，所以，
令，则，整理得，解得，即，
当且仅当时等号成立，
所以的取值范围为.
（2）因为，，所以，
令，则，整理得，解得，即，
当且仅当时等号成立，
所以的取值范围为.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求a，b值；
（2）用定义证明：在上单调递减；
（3）解关于t的不等式．
解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
，所以；
又，，解得，
所以，，，
又，故满足是奇函数．
（2）证明：，且，即，
则
，
因为，，，，，，
故，即，
所以函数在区间上单调递减．
（3）函数在上单调递减，且为奇函数，
由得，
所以，解得．
所以不等式的解集为.
21. 某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x千件时，需另投入成本（万元）．每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
解：（1）当时，；
当时，．
所以.
（2）当时，．
当时，L取得最大值，且最大值为950．
当时，
，
当且仅当时，等号成立．
因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元．
22. 对于区间，，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．
（1）求函数的所有“保值”区间；
（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
解：（1）函数在上的值域是，且在的值域是，
所以，所以，
而函数在区间上单调递增，故有，又，所以，
所以函数的“保值”区间为．
（2）若函数存在“保值”区间，
①若，此时函数在区间上单调递减，
所以，消去m得，整理得．
因为，所以，即．
又，所以．
因为，，所以．
②若，此时函数在区间上单调递增，
所以消去m得，整理得，
因为，所以，即，又，所以．
因为，，所以，
综合①、②得，函数存在“保值”区间，
m的取值范围是．