[数学][期中]安徽省池州市贵池区2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测试题(解析版)

这是一份[数学][期中]安徽省池州市贵池区2023-2024学年高一上学期期中教学质量检测试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题5分，共40分）
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 命题“，有实数解”的否定形式是（ ）
A. ，无实数解B. ，有实数解
C. ，无实数解D. ，无实数解
【答案】D
【解析】由题意知，命题“有实数解”的否定为“无实数解”.
故选：D
3. 已知幂函数的图象经过，则（ ）
A. 是偶函数，且在上是增函数
B. 是偶函数，且在上是减函数
C. 是奇函数，且在上是减函数
D. 是非奇非偶函数，且在上是增函数
【答案】A
【解析】设幂函数的解析式为，则，解得，
所以，定义域为R，且，
所以函数为偶函数，在上单调递增.
故选：A.
4. 王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】由题意知，“有志”不一定“能至”，但“能至”一定“有志”，
所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.
故选：D.
5. 下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，D.
【答案】B
【解析】A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意；
B：当时，，当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为4，故B符合题意；
C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意；
D：，
当且仅当即时等号成立，但无解，故D不符合题意.
故选：B.
6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A：，，A错误；
对于B：，
所以当时，当时，
当时，B错误；
对于C：，
所以，C正确；
对于D：，所以，D错误.
故选：C.
7. 关于的不等式在上恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】设，
因为不等式在上恒成立，所以，
令，则，
解得，所以.
故选：B.
8. 已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，，
得，设，
则函数在上单调递减，且，
不等式等价于，即，
所以，解得，即原不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题（每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 命题“函数，是偶函数”
B. “，”是“”的充分必要条件
C. 二次函数的零点为和
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】ABC
【解析】A：函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，
故A符合题意；
B：由基本不等式知当时，，当且仅当时等号成立.
当时，满足，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B符合题意；
C：由，得或3，所以二次函数的零点为和，
故C符合题意；
D：当时，满足，但不成立.
当时，满足，但不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D不符合题意.
故选：ABC.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 式子可表示自变量为x、因变量为y的函数
B. 已知，则最小值为
C. 已知，则当时，单调递减
D. 与是同一函数
【答案】ABD
【解析】对于A：需满足，即，
所以对，都有唯一确定的值与之对应，
所以可表示自变量为x，因变量为y的函数，A正确；
对于B：因为，所以，即的最小值为，B正确；
对于C：当时，
所以在区间不是单调递减，C错误；
对于D：与定义域相同，解析式也相同，所以同一函数，D正确.
故选：ABD.
11. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 函数为偶函数B. 函数的图象关于对称
C. D. 函数的图象关于对称
【答案】ABC
【解析】A：由函数为偶函数，得，
由，得，则，
所以函数的周期为4，由，得，
所以函数为偶函数，故A正确；
B：由函数为偶函数，得，
又，所以，
故函数的图象关于点对称，故B正确；
C：由知，又为偶函数，所以，
所以，得，故C正确；
D：由函数为偶函数，得，
函数的图象关于直线对称，故D错误.
故选：ABC.
12. 若关于的不等式的解集为，则的值可以是（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】BC
【解析】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以，故的值可以是和.
故选：BC.
三、填空题（每题5分，共20分，其中16题第1空2分，第2空3分）
13. 已知函数的定义域为，则的定义域为__________.
【答案】
【解析】因为的定义域为，所以需满足，解得.
故答案为：.
14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则__________.
【答案】
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
又因为定义域为，所以，所以.
故答案为：.
15. 已知，若，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】由，且，可得，
则，
设，可得且，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
16. 设函数的定义域为，满足，当时，，则__________；若对任意，都有，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为，所以.
同时由可得.
又当时，.
当时，，
.
当时，，
.
当时，由，解得或.
当时，，
.
显然，当时，，如图：
对任意，都有，必有，所以的最大值是.
故答案为： .
四、解答题（共70分）
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1），
，
.
（2），，
当时，，，
当时，，，
综上所述：.
18. （1）已知，，且，证明：；
（2）若a，b，c是三角形的三边，证明：.
解：（1）证明：由，得，
所以，
当且仅当即，时等号成立，
所以.
（2）证明：由题意知，，且，
所以，
即.
同理可得，
所以，即证.
19. 已知：实数满足，：实数满足（其中）.
（1）若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围.
解：（1）：实数满足，解得，
当时，：，解得，
∵p和q至少有一个为真，∴或，∴，
∴实数的取值范围为.
（2）∵，由，解得，即：，
∵是的充分不必要条件，
∴（等号不同时取），∴.
20. 已知函数是定义域为上的奇函数，且.
（1）求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数；
（2）若实数满足，求实数的范围.
解：（1）根据题意，函数是定义域在上的奇函数，
则，即有，解可得，则，
则，则此时奇函数，
设，则，
又，，则，，则，
故在上是增函数.
（2）根据题意，，即，
则有，解可得；即的取值范围为．
21. 某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
解：（1）由题意可知：.
（2）根据（1）可知：
当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
易知，
当时，
，
当且仅当，即时取得等号，
综上，当施用肥料千克时，单株利润取得最大值640.
22. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，满足，且，求证：．
解：（1）由题意，，
①，不等式即，
，，
②，不等式即，
；
综上，.
（2）函数大致图象如图，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
∴若，满足，则，
由图象知，①若，则显然；
②若，要证明，则要证，
注意到，，且在递减，则可证明，
∵，则可证明，
构造函数，，则，
，
，
∵，，，∴，
∴，∴在上单调递减，
∵，∴时，，即，
∴，从而得证．