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浙教版八年级数学上册期末素养综合测试卷(二)课件
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这是一份浙教版八年级数学上册期末素养综合测试卷(二)课件，共60页。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. (2023广东中考)下列出版社的商标图案中,是轴对称图形 的为 ( ) A B C D
解析 选项B,C,D中的图形都不能找到一条直线,使图形沿 这条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,不是轴对称图 形,选项A中的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线对折 后,直线两旁的部分能够互相重合,是轴对称图形.故选A.
2. (2023江苏常州中考)折返跑是一种跑步的形式.如图,在一 定距离的两个标志物①②之间,从①开始,沿直线跑至②处, 用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处,用手碰到①后继续 转身跑至②处,循环进行,全程无需绕过标志物.小华练习了 一次2×50 m的折返跑,用时18 s.在整个过程中,他的速度大小 v(m/s)随时间t(s)变化的图象可能是 ( )
A B
C D
解析 刚开始速度随时间的增大而增大,匀速跑一段时间后 减速到②,此时速度为0 m/s,折返后加速再匀速跑到①,由于 体力原因,应该第一个50 m速度快,用的时间少,第二个50 m 速度慢,用的时间多,故他的速度大小v(m/s)随时间t(s)变化的 图象可能是D.故选D.
3. (2023浙江宁波镇海蛟川书院期末)已知xy-5 B.-2x>-2yC.a2x
4. (2023浙江宁波模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边AB的 垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连结BE,CD,若BC=5,CD =6.5,则△BCE的周长为 ( ) A.17 B.18 C.19 D.20
解析 ∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB,AD=DB,在Rt△ABC中,AD=DB,CD=6.5,∴AB=2CD=13,∴AC= = =12,∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=17.故选A.
5. (2024浙江山海联盟期中)数学活动课上,四位同学围绕作 图问题:“如图,已知△ABC,用直尺和圆规作出∠ABC的平分 线BP.”分别作出了下列四个图形,其中作法错误的是 ( ) A B
解析 由作图痕迹可知,A,B选项中,BP是∠ABC的平分线,故 A,B选项作法正确,不符合题意;C选项中,点P为∠BAC与∠ACB的平分线的交点,∴点P到线段AB,AC,BC的距离都相等,∴BP为∠ABC的平分线,故C选项作法正确,不符合题意;D选项中,点P为线段AC的垂直平分线与∠ACB的平分线的 交点,
无法说明BP为∠ABC的平分线,故D选项作法不正确,符合题意.故选D.
6. (2023浙江杭州西湖一模)如图,在同一平面直角坐标系中, 一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(其中k1k2≠0)的图象分别为直线 l1和直线l2,下列结论中一定正确的是 ( ) A.k1+k2<0 B.k1k2>0C.b1+b2<0 D.b1b2>0
解析 ∵一次函数y=k1x+b1的图象过第一、二、三象限,∴k1>0,b1>0,∵一次函数y=k2x+b2的图象过第一、三、四象限,∴k2>0,b2<0,∴k1+k2>0,k1k2>0,b1b2<0,b1+b2不一定小于0.故选B.
7. (2022四川南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC 的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F, DE=5,DF=3,则下列结论错误的是 ( ) A.BF=1 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=9
解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D, DF⊥AB,∴CD=DF=3,故B不符合题意;∵DE=5,∴CE= =4,∵DE∥AB,∴∠ADE=∠DAF,∵∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠ADE,∴AE=DE=5,故C不符合题意;∵AC=AE+CE=9,∴D不符合题意;∵∠C=∠AFD=90°,∠CAD=∠BAD,AD=AD,∴△ACD≌△AFD(AAS),∴AF=AC=9.若BF=1, 则BD= ,∴S△ABD= AB·DF= ×(9+1)×3=15,S△ABD= BD·AC
= × ×9= ,显然15≠ ,∴BF≠1,故A符合题意.故选A.
8. 已知甲、乙两地相距480 km,一辆出租车从甲地出发往返 于甲、乙两地,一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地,两车 同时出发,货车途经服务区时,停下来装完货物后,发现此时 与出租车相距120 km,货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早 15min到达甲地.如图所示的是两车距各自出发地的距离y(km) 与货车行驶时间x(h)之间的函数图象,则下列说法错误的是 ( )
解析 由图象知,C(4,480),设直线OC的解析式为y=kx(k≠0),把C(4,480)代入,得480=4k,解得k=120,则直线OC的解析式为y=120x,把(1,a)代入y=120x,解得a=120,故A正确;∵a=120,
∴货车装完货时与乙地相距120 km,∴此时出租车距离乙地120+120=240(km),∴此时出租车距离甲地480-240=240(km),把y=240代入y=120x,得240=120x,解得x=2,∴货车装完货物时,x=2,则B(2,120),根据货车继续出发 h后与出租车相遇,可得 ×(出租车的速度+货车的速度)=120,
根据直线OC的解析式为y=120x,可得出租车的速度为120 km/h,∴相遇时,货车的速度为120÷ -120=60(km/h),故可设直线BG的解析式为y=60x+b,将B(2,120)代入y=60x+b,可得120=120+b,解得b=0,∴直线BG的解析式为y=60x,把y=480代入y=60x,可得480=60x,
解得x=8,∴G(8,480),∴F(8,0),故B正确;根据出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15 min 到达甲地,可得EF= = ,∴E ,∴出租车从乙地返回甲地的速度为480÷ =128(km/h),故C正确;
设在出租车返回的行驶过程中,货车出发t h时,与出租车相距 12 km,此时货车距离乙地60t km,出租车距离乙地128(t-4)=(128t-512)km,①出租车和货车第二次相遇前,相距12 km时,可得60t-(128t-512)=12,解得t= ;②出租车和货车第二次相遇后,相距12 km时,
可得(128t-512)-60t=12,解得t= .故在出租车返回的行驶过程中,货车出发 h或 h时与出租车相距12 km,故D错误.故选D.
9. (2024广东茂名茂南愉园中学期中)如图,一只小蚂蚁在平 面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动,第1次它 从原点运动到点(1,0),第2次运动到点(1,1),第3次运动到点(2, 1)……按这样的运动规律,经过第2 023次运动后,小蚂蚁所在 位置的坐标是 ( )
A.(1 011,1 010) B.(1 011,1 011)C.(1 012,1 011)D.(1 012,1 012)
解析 由题意知,小蚂蚁第1次运动到点(1,0),第2次运动到点(1,1),第3次运动到点(2,1),第4次运动到点(2,2),第5次运动到点(3,2),第6次运动到点(3,3),……
由此可见,小蚂蚁运动2n(n为正整数)次,所在位置的坐标为 (n,n),且下一次运动到点(n+1,n).所以第2 022次运动到点(1 011,1 011),则第2 023次运动到点(1 012,1 011).故选C.
10. (2023浙江杭州二中树兰实验学校期中)如图,在Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E为BC上两点,∠DAE=45°,F为 △ABC外一点,且FB⊥BC,FA⊥AE,连结EF,则下列结论:①CE= BF;②BD2+CE2=DE2;③S△ADE= AD·EF;④CE2+BE2=2AE2,其中正确的是 ( )
A.①②③④ B.①②④C.①③④ D.②③
解析 ①∵∠BAC=90°,FA⊥AE,∴∠FAB=∠EAC,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠C=45°,∵FB⊥BC,∴∠FBC=90°,∴∠FBA=90°-45°=45°,∴∠FBA=∠C,∴△AFB≌△AEC(ASA),∴CE=BF,故①正确;
②如图,连结FD,∵△AFB≌△AEC,∴AF=AE,∵∠DAE=45°,FA⊥AE,∴∠FAD=45°=∠DAE,又∵AD=AD,∴△AFD≌△AED
(SAS),∴DF=DE,∵FB=CE,FB⊥BC,∴BD2+CE2=BD2+BF2=DF2=DE2,故②正 确;③如图,设AD与EF的交点为点G,∵∠FAD=∠EAD,AF=AE,∴AD⊥EF,EF=2EG,∴S△ADE= AD·EG= AD· EF= AD·EF,故③正确;④∵FB⊥BC,∴BF2+BE2=EF2,
∵CE=BF,∴CE2+BE2=EF2,在Rt△AEF中,AF=AE,AF2+AE2=EF2,∴EF2=2AE2,∴CE2+BE2= 2AE2,故④正确.故选A.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11. (2023山东滨州中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABO的 三个顶点坐标分别为A(6,3),B(6,0),O(0,0),若将△ABO向左平 移3个单位长度得到△CDE,则点A的对应点C的坐标是 .
解析 ∵点A(6,3)向左平移3个单位长度得到点C,∴点A的对应点C的坐标是(6-3,3),即(3,3).故答案为(3,3).
12. (2023江苏连云港中考)一个三角形的两边长分别是3和5, 则第三边长可以是 .(只填一个即可)
4(大于2且小于8的数即可)
解析 设第三边的长为x,由题意得5-3
14. 如图,△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD⊥ BE交BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为 .
解析 如图,延长BD到点F,使得DF=BD,连结CF,∵CD⊥BF,∴∠BDC=∠FDC=90°,易证△BDC≌△FDC,∴BC=CF,∴∠CBD=∠F,∵EB=EA,∴∠ABE=∠A=2∠CBE.过点C作CH∥AB,交BF于点H,∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F,∵∠CHD=∠F+∠HCF,∴∠F=∠HCF,
∴HF=HC,∵CH∥AB,∴∠A=∠ECH,∴∠ECH=∠EHC,∴EH=CE,∴AC=BH,∵BD=8,AC=11,∴DH=BH-BD=AC-BD=3,∴HF=HC=8-3=5,在Rt△CDH中,由勾股定理可得CD= =4,在Rt△BCD中,由勾股定理可知BC= = ,故答案为 .
15. (新独家原创)若正整数a既使得关于x的一元一次方程2x- a=3有正整数解,又使得关于x的不等式组 的解集为x≥15,则所有满足条件的正整数a的积为 .
解析 解方程2x-a=3,得x= ,∵关于x的一元一次方程2x-a=3有正整数解,∴ >0,且3+a是2的倍数,∴a>-3,且3+a是2的倍数,又∵a是正整数,∴a>0,且3+a是2的倍数.不等式组 整理得
∵不等式组的解集为x≥15,∴2a+5<15,∴a<5,∴满足题意的正整数a的值有1、3,∴所有满足条件的正整数a的积为1×3=3.故答案为3.
16. (2023浙江宁波慈溪十校联考)如图,在Rt△ABC中,∠CAB =90°,AB=4 cm,分别以AC、BC为直角边向外作等腰直角△ACD、等腰直角△BCE,连结DE,交AC的延长线于点M,则CM的长为 cm.
解析 如图,过点E作EH⊥AC,垂足为点H,∵∠CAB=90°,EH⊥AH,∴∠BAC=∠EHC=90°,∠ABC+∠ACB=90°,∵△BCE是等腰直角三角形,∴BC=CE,∠BCE=90°,∴∠ACB+∠ECH=90°,∴∠ABC=∠ECH,在△ABC和△HCE中,
∴△ABC≌△HCE(AAS),∴AC=EH,AB=CH,∵△ACD是等腰直角三角形,∴CD=AC=EH,在△DCM和△EHM中, ∴△DCM≌△EHM(AAS),∴CM=HM,∴CM= CH= AB=2 cm.
三、解答题(共66分)
17. [答案含评分细则](2024山东济南历下甸柳一中月考)(6分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(0,1)、B(2,0)、C(4,3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC,△ABC的面积是 .(2)若点D与点C关于y轴对称,则点D的坐标为 .(3)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为1,求点P的坐标.
解析 (1)△ABC如图所示, 1分△ABC的面积是3×4- ×1×2- ×2×4- ×2×3=4.故答案为4. 3分 (2)(-4,3). 4分
(3)∵P为x轴上一点,△ABP的面积为1,∴BP=2, 5分∴点P的横坐标为2+2=4或2-2=0,故P点坐标为(4,0)或(0,0). 6分
18. [答案含评分细则](2024浙江金华期中)(6分)设a>b>0,已 知a+2b=3.(1)求a的取值范围.(2)设c=-3a+2b,请用含a的代数式表示c,并求出c的取值范围.
解析 (1)由a+2b=3得b= , 1分∵a>b>0,∴ 2分∴1
解析 答案不唯一.(1)已知:①③④,求证:②. 2分(2)证明:∵DE∥AC,∴∠A=∠EDB, 3分在△ABC和△DEB中, ∴△ABC≌△DEB(AAS), 5分∴DE=AB. 6分
20. [答案含评分细则](2023浙江宁波北仑期中)(8分)已知,如 图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90 °,D为AB边上一点,连结AE.(1)求证:BD=AE.(2)若线段AD=5,AB=17,求线段ED的长.
解析 (1)证明:∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴AC=BC,CE=CD, 1分∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD, 2分在△ACE和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(SAS),∴BD=AE. 4分
(2)∵AD=5,AB=17,∴BD=17-5=12,∴AE=BD=12,∵△ACE≌△BCD,△ABC是等腰直角三角形,∴∠EAC=∠B=∠BAC=45°, 6分∴∠EAD=90°,∴ED2=AE2+AD2,∴ED=13. 8分
21. [答案含评分细则](2023陕西中考)(8分)某农科所对当地 小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究,得 到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量y(m3)与天数x之间 的关系如图所示,其中,线段OA,AC分别表示抽穗期、灌浆期 的y与x之间的函数关系.(1)求这51天内,y与x之间的函数关系式.(2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量.
解析 (1)当0≤x≤20时,设y=kx(k≠0), 1分将(20,960)代入,得20k=960,解得k=48,∴y=48x. 2分当20
22. [答案含评分细则](2024浙江金华东阳期中)(10分)某厂租 用A、B两种型号的车给零售商运送货物.已知用2辆A型车和 1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车 装满货物一次可运货11吨.厂家现有21吨货物需要配送,计划 租用A、B两种型号车共6辆一次配送完货物,且A型车至少1 辆.根据以上信息,解答下列问题:(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少 吨?
(2)请你帮助厂家设计一次配送完21吨货物的租车方案,并写出所有方案.
根据题意得 6分解得1≤m≤3, 8分∵m为整数,∴m可以为1,2,3, 9分∴厂家共有3种租车方案:方案1:租用1辆A型车,5辆B型车;方案2:租用2辆A型车,4辆B型车;方案3:租用3辆A型车,3辆B型车. 10分
23. [答案含评分细则](2023河南汝州期末)(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P从点A出发,沿射线AC以 每秒1个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒(t>0).(1)如图①,当点P在AC的延长线上时,CP的长为 .(用 含t的代数式表示)(2)如图②,若点P在∠ABC的平分线上,求此时t的值.(3)在整个运动过程中,直接写出△ABP是等腰三角形时t的 值.
解析 (1)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,∴由勾股定理得AC= =4,由题意可知AP=t,∵AC=4,∴CP=t-AC=t-4.故答案为t-4. 2分(2)过点P作PM⊥AB于点M,如图所示,
∵∠ACB=90°,∴PC⊥BC,∵点P在∠ABC的平分线上,PM⊥AB,∴PC=PM, 3分又∵PB=PB,∴Rt△PCB≌Rt△PMB(HL),∴CB=MB,∴AM=AB-MB=AB-BC=5-3=2, 4分设PM=PC=x,则AP=4-x,
在Rt△APM中,AM2+PM2=AP2,∴22+x2=(4-x)2,解得x= , 5分∴AP=4- = ,∴若点P在∠ABC的平分线上,则t的值为 . 6分(3)当AB作为底边时,如图1所示.则PA=PB,设PA=a,则PB=a,PC=AC-AP=4-a,在Rt△PCB中,PB2=PC2+CB2,
∴a2=(4-a)2+32,解得a= ,此时t= ; 7分 图1 图2
当AB作为腰时,如图2所示.当AP1=AB=5时,t=5; 8分当AB=BP2时,∵BC⊥AP2,∴AP2=2AC=8,此时t=8. 9分
综上可知,t的值为 或5或8. 10分
24. [答案含评分细则](2023浙江宁波蛟川书院期中)(12分)如 图,在平面直角坐标系中,一次函数y=- x+4的图象与x轴交于点B,与y轴交于点A,点C为线段AB的中点,过点C作DC⊥x轴, 垂足为D.(1)求A、B两点的坐标.(2)如图1,若点E为y轴负半轴上一点,连结CE交x轴于点F,且 CF=FE,在直线CD上有一点P,使得AP+EP的值最小,求P点坐 标.
(3)如图2,直线CD上是否存在点Q,使得∠ABQ=45°?若存在, 请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 图1 图2
解析 (1)当y=0时,- x+4=0,∴x=6,∴点B(6,0), 1分当x=0时,y=4,∴点A(0,4). 2分(2)由(1)得A(0,4),B(6,0),∵点C为线段AB的中点,∴C ,即C(3,2),∵∠FOE=∠FDC=90°,∠OFE=∠DFC,FE=CF,∴△OFE≌△DFC,
∴OF=DF,OE=DC,∴F ,E(0,-2), 4分作点A关于直线CD的对称点A',则点A'的坐标为(6,4),连结A'E,与直线CD交于点P,连结AP,此时AP+EP的值最小, 设直线A'E的表达式为y=kx+b(k≠0),将A'(6,4),E(0,-2)代入,得
解得 ∴y=x-2,当x=3时,y=1,∴P点坐标为(3,1). 7分(3)存在 8分如图1,当点Q在x轴上方时,∠ABQ=45°,过点A作AM⊥AB,交 BQ于点M,过点M作MH⊥y轴于点H,则△ABM为等腰直角三 角形,
∴AM=AB,∵∠HAM+∠OAB=∠OAB+∠ABO=90°,∴∠HAM=∠ABO,∵∠AHM=∠BOA=90°,∴△AMH≌△BAO(AAS),∴MH=AO=4,AH=BO=6,∴OH=AH+AO=10,∴M(4,10).
设直线BM的表达式为y=k1x+b1(k1≠0),将M(4,10),B(6,0)代入, 得 解得 ∴y=-5x+30,当x=3时,y=15,∴点Q的坐标为(3,15). 10分 图1 图2
当点Q在x轴下方时,∠ABQ=45°,过点A作AN⊥AB,交BQ于点N,过点N作NG⊥y轴于点G,则△ ABN为等腰直角三角形,同理可得△ANG≌△BAO,
∴NG=AO=4,AG=BO=6,∴N(-4,-2).设直线BN的表达式为y=k2x+b2(k2≠0),将N(-4,-2),B(6,0)代入, 得 解得 ∴y= x- ,
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. (2023广东中考)下列出版社的商标图案中,是轴对称图形 的为 ( ) A B C D
解析 选项B,C,D中的图形都不能找到一条直线,使图形沿 这条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,不是轴对称图 形,选项A中的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线对折 后,直线两旁的部分能够互相重合,是轴对称图形.故选A.
2. (2023江苏常州中考)折返跑是一种跑步的形式.如图,在一 定距离的两个标志物①②之间,从①开始,沿直线跑至②处, 用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处,用手碰到①后继续 转身跑至②处,循环进行,全程无需绕过标志物.小华练习了 一次2×50 m的折返跑,用时18 s.在整个过程中,他的速度大小 v(m/s)随时间t(s)变化的图象可能是 ( )
A B
C D
解析 刚开始速度随时间的增大而增大,匀速跑一段时间后 减速到②,此时速度为0 m/s,折返后加速再匀速跑到①,由于 体力原因,应该第一个50 m速度快,用的时间少,第二个50 m 速度慢,用的时间多,故他的速度大小v(m/s)随时间t(s)变化的 图象可能是D.故选D.
3. (2023浙江宁波镇海蛟川书院期末)已知x
4. (2023浙江宁波模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边AB的 垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连结BE,CD,若BC=5,CD =6.5,则△BCE的周长为 ( ) A.17 B.18 C.19 D.20
解析 ∵DE是AB的垂直平分线,∴EA=EB,AD=DB,在Rt△ABC中,AD=DB,CD=6.5,∴AB=2CD=13,∴AC= = =12,∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=BC+AC=17.故选A.
5. (2024浙江山海联盟期中)数学活动课上,四位同学围绕作 图问题:“如图,已知△ABC,用直尺和圆规作出∠ABC的平分 线BP.”分别作出了下列四个图形,其中作法错误的是 ( ) A B
解析 由作图痕迹可知,A,B选项中,BP是∠ABC的平分线,故 A,B选项作法正确,不符合题意;C选项中,点P为∠BAC与∠ACB的平分线的交点,∴点P到线段AB,AC,BC的距离都相等,∴BP为∠ABC的平分线,故C选项作法正确,不符合题意;D选项中,点P为线段AC的垂直平分线与∠ACB的平分线的 交点,
无法说明BP为∠ABC的平分线,故D选项作法不正确,符合题意.故选D.
6. (2023浙江杭州西湖一模)如图,在同一平面直角坐标系中, 一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(其中k1k2≠0)的图象分别为直线 l1和直线l2,下列结论中一定正确的是 ( ) A.k1+k2<0 B.k1k2>0C.b1+b2<0 D.b1b2>0
解析 ∵一次函数y=k1x+b1的图象过第一、二、三象限,∴k1>0,b1>0,∵一次函数y=k2x+b2的图象过第一、三、四象限,∴k2>0,b2<0,∴k1+k2>0,k1k2>0,b1b2<0,b1+b2不一定小于0.故选B.
7. (2022四川南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC 的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F, DE=5,DF=3,则下列结论错误的是 ( ) A.BF=1 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=9
解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D, DF⊥AB,∴CD=DF=3,故B不符合题意;∵DE=5,∴CE= =4,∵DE∥AB,∴∠ADE=∠DAF,∵∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠ADE,∴AE=DE=5,故C不符合题意;∵AC=AE+CE=9,∴D不符合题意;∵∠C=∠AFD=90°,∠CAD=∠BAD,AD=AD,∴△ACD≌△AFD(AAS),∴AF=AC=9.若BF=1, 则BD= ,∴S△ABD= AB·DF= ×(9+1)×3=15,S△ABD= BD·AC
= × ×9= ,显然15≠ ,∴BF≠1,故A符合题意.故选A.
8. 已知甲、乙两地相距480 km,一辆出租车从甲地出发往返 于甲、乙两地,一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地,两车 同时出发,货车途经服务区时,停下来装完货物后,发现此时 与出租车相距120 km,货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早 15min到达甲地.如图所示的是两车距各自出发地的距离y(km) 与货车行驶时间x(h)之间的函数图象,则下列说法错误的是 ( )
解析 由图象知,C(4,480),设直线OC的解析式为y=kx(k≠0),把C(4,480)代入,得480=4k,解得k=120,则直线OC的解析式为y=120x,把(1,a)代入y=120x,解得a=120,故A正确;∵a=120,
∴货车装完货时与乙地相距120 km,∴此时出租车距离乙地120+120=240(km),∴此时出租车距离甲地480-240=240(km),把y=240代入y=120x,得240=120x,解得x=2,∴货车装完货物时,x=2,则B(2,120),根据货车继续出发 h后与出租车相遇,可得 ×(出租车的速度+货车的速度)=120,
根据直线OC的解析式为y=120x,可得出租车的速度为120 km/h,∴相遇时,货车的速度为120÷ -120=60(km/h),故可设直线BG的解析式为y=60x+b,将B(2,120)代入y=60x+b,可得120=120+b,解得b=0,∴直线BG的解析式为y=60x,把y=480代入y=60x,可得480=60x,
解得x=8,∴G(8,480),∴F(8,0),故B正确;根据出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15 min 到达甲地,可得EF= = ,∴E ,∴出租车从乙地返回甲地的速度为480÷ =128(km/h),故C正确;
设在出租车返回的行驶过程中,货车出发t h时,与出租车相距 12 km,此时货车距离乙地60t km,出租车距离乙地128(t-4)=(128t-512)km,①出租车和货车第二次相遇前,相距12 km时,可得60t-(128t-512)=12,解得t= ;②出租车和货车第二次相遇后,相距12 km时,
可得(128t-512)-60t=12,解得t= .故在出租车返回的行驶过程中,货车出发 h或 h时与出租车相距12 km,故D错误.故选D.
9. (2024广东茂名茂南愉园中学期中)如图,一只小蚂蚁在平 面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动,第1次它 从原点运动到点(1,0),第2次运动到点(1,1),第3次运动到点(2, 1)……按这样的运动规律,经过第2 023次运动后,小蚂蚁所在 位置的坐标是 ( )
A.(1 011,1 010) B.(1 011,1 011)C.(1 012,1 011)D.(1 012,1 012)
解析 由题意知,小蚂蚁第1次运动到点(1,0),第2次运动到点(1,1),第3次运动到点(2,1),第4次运动到点(2,2),第5次运动到点(3,2),第6次运动到点(3,3),……
由此可见,小蚂蚁运动2n(n为正整数)次,所在位置的坐标为 (n,n),且下一次运动到点(n+1,n).所以第2 022次运动到点(1 011,1 011),则第2 023次运动到点(1 012,1 011).故选C.
10. (2023浙江杭州二中树兰实验学校期中)如图,在Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E为BC上两点,∠DAE=45°,F为 △ABC外一点,且FB⊥BC,FA⊥AE,连结EF,则下列结论:①CE= BF;②BD2+CE2=DE2;③S△ADE= AD·EF;④CE2+BE2=2AE2,其中正确的是 ( )
A.①②③④ B.①②④C.①③④ D.②③
解析 ①∵∠BAC=90°,FA⊥AE,∴∠FAB=∠EAC,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠C=45°,∵FB⊥BC,∴∠FBC=90°,∴∠FBA=90°-45°=45°,∴∠FBA=∠C,∴△AFB≌△AEC(ASA),∴CE=BF,故①正确;
②如图,连结FD,∵△AFB≌△AEC,∴AF=AE,∵∠DAE=45°,FA⊥AE,∴∠FAD=45°=∠DAE,又∵AD=AD,∴△AFD≌△AED
(SAS),∴DF=DE,∵FB=CE,FB⊥BC,∴BD2+CE2=BD2+BF2=DF2=DE2,故②正 确;③如图,设AD与EF的交点为点G,∵∠FAD=∠EAD,AF=AE,∴AD⊥EF,EF=2EG,∴S△ADE= AD·EG= AD· EF= AD·EF,故③正确;④∵FB⊥BC,∴BF2+BE2=EF2,
∵CE=BF,∴CE2+BE2=EF2,在Rt△AEF中,AF=AE,AF2+AE2=EF2,∴EF2=2AE2,∴CE2+BE2= 2AE2,故④正确.故选A.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11. (2023山东滨州中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABO的 三个顶点坐标分别为A(6,3),B(6,0),O(0,0),若将△ABO向左平 移3个单位长度得到△CDE,则点A的对应点C的坐标是 .
解析 ∵点A(6,3)向左平移3个单位长度得到点C,∴点A的对应点C的坐标是(6-3,3),即(3,3).故答案为(3,3).
12. (2023江苏连云港中考)一个三角形的两边长分别是3和5, 则第三边长可以是 .(只填一个即可)
4(大于2且小于8的数即可)
解析 设第三边的长为x,由题意得5-3
14. 如图,△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD⊥ BE交BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为 .
解析 如图,延长BD到点F,使得DF=BD,连结CF,∵CD⊥BF,∴∠BDC=∠FDC=90°,易证△BDC≌△FDC,∴BC=CF,∴∠CBD=∠F,∵EB=EA,∴∠ABE=∠A=2∠CBE.过点C作CH∥AB,交BF于点H,∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F,∵∠CHD=∠F+∠HCF,∴∠F=∠HCF,
∴HF=HC,∵CH∥AB,∴∠A=∠ECH,∴∠ECH=∠EHC,∴EH=CE,∴AC=BH,∵BD=8,AC=11,∴DH=BH-BD=AC-BD=3,∴HF=HC=8-3=5,在Rt△CDH中,由勾股定理可得CD= =4,在Rt△BCD中,由勾股定理可知BC= = ,故答案为 .
15. (新独家原创)若正整数a既使得关于x的一元一次方程2x- a=3有正整数解,又使得关于x的不等式组 的解集为x≥15,则所有满足条件的正整数a的积为 .
解析 解方程2x-a=3,得x= ,∵关于x的一元一次方程2x-a=3有正整数解,∴ >0,且3+a是2的倍数,∴a>-3,且3+a是2的倍数,又∵a是正整数,∴a>0,且3+a是2的倍数.不等式组 整理得
∵不等式组的解集为x≥15,∴2a+5<15,∴a<5,∴满足题意的正整数a的值有1、3,∴所有满足条件的正整数a的积为1×3=3.故答案为3.
16. (2023浙江宁波慈溪十校联考)如图,在Rt△ABC中,∠CAB =90°,AB=4 cm,分别以AC、BC为直角边向外作等腰直角△ACD、等腰直角△BCE,连结DE,交AC的延长线于点M,则CM的长为 cm.
解析 如图,过点E作EH⊥AC,垂足为点H,∵∠CAB=90°,EH⊥AH,∴∠BAC=∠EHC=90°,∠ABC+∠ACB=90°,∵△BCE是等腰直角三角形,∴BC=CE,∠BCE=90°,∴∠ACB+∠ECH=90°,∴∠ABC=∠ECH,在△ABC和△HCE中,
∴△ABC≌△HCE(AAS),∴AC=EH,AB=CH,∵△ACD是等腰直角三角形,∴CD=AC=EH,在△DCM和△EHM中, ∴△DCM≌△EHM(AAS),∴CM=HM,∴CM= CH= AB=2 cm.
三、解答题(共66分)
17. [答案含评分细则](2024山东济南历下甸柳一中月考)(6分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(0,1)、B(2,0)、C(4,3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC,△ABC的面积是 .(2)若点D与点C关于y轴对称,则点D的坐标为 .(3)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为1,求点P的坐标.
解析 (1)△ABC如图所示, 1分△ABC的面积是3×4- ×1×2- ×2×4- ×2×3=4.故答案为4. 3分 (2)(-4,3). 4分
(3)∵P为x轴上一点,△ABP的面积为1,∴BP=2, 5分∴点P的横坐标为2+2=4或2-2=0,故P点坐标为(4,0)或(0,0). 6分
18. [答案含评分细则](2024浙江金华期中)(6分)设a>b>0,已 知a+2b=3.(1)求a的取值范围.(2)设c=-3a+2b,请用含a的代数式表示c,并求出c的取值范围.
解析 (1)由a+2b=3得b= , 1分∵a>b>0,∴ 2分∴1
解析 答案不唯一.(1)已知:①③④,求证:②. 2分(2)证明:∵DE∥AC,∴∠A=∠EDB, 3分在△ABC和△DEB中, ∴△ABC≌△DEB(AAS), 5分∴DE=AB. 6分
20. [答案含评分细则](2023浙江宁波北仑期中)(8分)已知,如 图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90 °,D为AB边上一点,连结AE.(1)求证:BD=AE.(2)若线段AD=5,AB=17,求线段ED的长.
解析 (1)证明:∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴AC=BC,CE=CD, 1分∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD, 2分在△ACE和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(SAS),∴BD=AE. 4分
(2)∵AD=5,AB=17,∴BD=17-5=12,∴AE=BD=12,∵△ACE≌△BCD,△ABC是等腰直角三角形,∴∠EAC=∠B=∠BAC=45°, 6分∴∠EAD=90°,∴ED2=AE2+AD2,∴ED=13. 8分
21. [答案含评分细则](2023陕西中考)(8分)某农科所对当地 小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究,得 到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量y(m3)与天数x之间 的关系如图所示,其中,线段OA,AC分别表示抽穗期、灌浆期 的y与x之间的函数关系.(1)求这51天内,y与x之间的函数关系式.(2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量.
解析 (1)当0≤x≤20时,设y=kx(k≠0), 1分将(20,960)代入,得20k=960,解得k=48,∴y=48x. 2分当20
22. [答案含评分细则](2024浙江金华东阳期中)(10分)某厂租 用A、B两种型号的车给零售商运送货物.已知用2辆A型车和 1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2辆B型车 装满货物一次可运货11吨.厂家现有21吨货物需要配送,计划 租用A、B两种型号车共6辆一次配送完货物,且A型车至少1 辆.根据以上信息,解答下列问题:(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少 吨?
(2)请你帮助厂家设计一次配送完21吨货物的租车方案,并写出所有方案.
根据题意得 6分解得1≤m≤3, 8分∵m为整数,∴m可以为1,2,3, 9分∴厂家共有3种租车方案:方案1:租用1辆A型车,5辆B型车;方案2:租用2辆A型车,4辆B型车;方案3:租用3辆A型车,3辆B型车. 10分
23. [答案含评分细则](2023河南汝州期末)(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P从点A出发,沿射线AC以 每秒1个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒(t>0).(1)如图①,当点P在AC的延长线上时,CP的长为 .(用 含t的代数式表示)(2)如图②,若点P在∠ABC的平分线上,求此时t的值.(3)在整个运动过程中,直接写出△ABP是等腰三角形时t的 值.
解析 (1)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,∴由勾股定理得AC= =4,由题意可知AP=t,∵AC=4,∴CP=t-AC=t-4.故答案为t-4. 2分(2)过点P作PM⊥AB于点M,如图所示,
∵∠ACB=90°,∴PC⊥BC,∵点P在∠ABC的平分线上,PM⊥AB,∴PC=PM, 3分又∵PB=PB,∴Rt△PCB≌Rt△PMB(HL),∴CB=MB,∴AM=AB-MB=AB-BC=5-3=2, 4分设PM=PC=x,则AP=4-x,
在Rt△APM中,AM2+PM2=AP2,∴22+x2=(4-x)2,解得x= , 5分∴AP=4- = ,∴若点P在∠ABC的平分线上,则t的值为 . 6分(3)当AB作为底边时,如图1所示.则PA=PB,设PA=a,则PB=a,PC=AC-AP=4-a,在Rt△PCB中,PB2=PC2+CB2,
∴a2=(4-a)2+32,解得a= ,此时t= ; 7分 图1 图2
当AB作为腰时,如图2所示.当AP1=AB=5时,t=5; 8分当AB=BP2时,∵BC⊥AP2,∴AP2=2AC=8,此时t=8. 9分
综上可知,t的值为 或5或8. 10分
24. [答案含评分细则](2023浙江宁波蛟川书院期中)(12分)如 图,在平面直角坐标系中,一次函数y=- x+4的图象与x轴交于点B,与y轴交于点A,点C为线段AB的中点,过点C作DC⊥x轴, 垂足为D.(1)求A、B两点的坐标.(2)如图1,若点E为y轴负半轴上一点,连结CE交x轴于点F,且 CF=FE,在直线CD上有一点P,使得AP+EP的值最小,求P点坐 标.
(3)如图2,直线CD上是否存在点Q,使得∠ABQ=45°?若存在, 请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 图1 图2
解析 (1)当y=0时,- x+4=0,∴x=6,∴点B(6,0), 1分当x=0时,y=4,∴点A(0,4). 2分(2)由(1)得A(0,4),B(6,0),∵点C为线段AB的中点,∴C ,即C(3,2),∵∠FOE=∠FDC=90°,∠OFE=∠DFC,FE=CF,∴△OFE≌△DFC,
∴OF=DF,OE=DC,∴F ,E(0,-2), 4分作点A关于直线CD的对称点A',则点A'的坐标为(6,4),连结A'E,与直线CD交于点P,连结AP,此时AP+EP的值最小, 设直线A'E的表达式为y=kx+b(k≠0),将A'(6,4),E(0,-2)代入,得
解得 ∴y=x-2,当x=3时,y=1,∴P点坐标为(3,1). 7分(3)存在 8分如图1,当点Q在x轴上方时,∠ABQ=45°,过点A作AM⊥AB,交 BQ于点M,过点M作MH⊥y轴于点H,则△ABM为等腰直角三 角形,
∴AM=AB,∵∠HAM+∠OAB=∠OAB+∠ABO=90°,∴∠HAM=∠ABO,∵∠AHM=∠BOA=90°,∴△AMH≌△BAO(AAS),∴MH=AO=4,AH=BO=6,∴OH=AH+AO=10,∴M(4,10).
设直线BM的表达式为y=k1x+b1(k1≠0),将M(4,10),B(6,0)代入, 得 解得 ∴y=-5x+30,当x=3时,y=15,∴点Q的坐标为(3,15). 10分 图1 图2
当点Q在x轴下方时,∠ABQ=45°,过点A作AN⊥AB,交BQ于点N,过点N作NG⊥y轴于点G,则△ ABN为等腰直角三角形,同理可得△ANG≌△BAO,
∴NG=AO=4,AG=BO=6,∴N(-4,-2).设直线BN的表达式为y=k2x+b2(k2≠0),将N(-4,-2),B(6,0)代入, 得 解得 ∴y= x- ,
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