河南省安阳市林州市第一中学2024-2025学年高三上学期8月月考+数学

这是一份河南省安阳市林州市第一中学2024-2025学年高三上学期8月月考+数学，共26页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关, 随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的
6 , 3 ,
2 倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的 5 女性喜爱足球的人数占女性人数的 1 若本次调查得出“在犯错误的概率不
超过 0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人
A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
2 ．已知函数是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是 ( )
A ． [1, 3) B ． [1, 2] C ． [2, 3) D ． (0, 3)
3 ．下列求导运算正确的是 ( )
9 = 2x D .
4 ．为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量
数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．已知xi = 225 ， yi = 1600 ，
= 4 ．该班某学生的脚长为24 ，据此估计其身高为
A ．160 B ． 163 C ． 166 D ． 170
5 ．已知函数 若关于 x 的方程[f(x)]2 + mf(x) + 2 = 0 恰有 6 个不同的实数根，则 m 的取值范
围是 ( )
A ． B ． C ． D .
a
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
6 ．已知某家族有A 、B 两种遗传性状，该家族某位成员出现A 性状的概率为 ，出现B 性状的概率为 ，A 、B 两种遗传性状都不出现的概率为 ．则该成员在出现A 性状的条件下，出现B 性状的概率为 ( )
1 3 1 3
A ． B ． C ． D .
4 8 2 4
7 ．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的 水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球， 白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是 又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆 玻璃球落入格子的编号为X ，则随机变量X的期望与方差分别为 ( )
A ． 2, B ．2 ，1 C ．3 ，1 D ． 3,
8 ．图①是底面边长为 2 的正四棱柱，直线l 经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线l 顺时针旋转45O ，得图② , 若△BEF 为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为 ( )
A ． (8 + 2 ·2 )π B ． (8 + 4 ·2)π C ． 12π D ． 16π
二．多选题（共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部 分选对得 3 分，有选错的得 0 分。）
9 ．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年 都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均 GDPx（单位：万元）
和总和生育率y 以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022 近十年来的数据(xi, yi, zi )(i = 1, 2, )
绘制了散点图，并得到经验回归方程 = 7.54 + 0.33x ， = 2.88 — 0.41x ，对应的决定系数分别为R12 ， R ，则 ( )
A ．人均 GDP 和女性平均受教育年限正相关.
B ．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C ． R12 < R
D ．未来三年总和生育率一定继续降低
10 ． 甲箱中有 3 个黄球、2 个绿球，乙箱中有 2 个黄球、3 个绿球（这 10 个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从 甲箱中随机取出2 个球放入乙箱，记事件 A ，B ，C 分别表示事件“取出2 个黄球” ，“取出2 个绿球” ，“取出一黄一 绿两个球” ，再从乙箱中摸出一球，记事件 D 表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是 ( )
A ．A ，B 是对立事件 B ．事件 B ，D 相互独立
C ． D .
11．已知定义在R 上的函数满足f ，则
A ． f (x) 的最小正周期为 4 B ． f (2) = 0
C ．函数fx − 1是奇函数 = —2024
三．填空题（共 3 小题，每题 5 分，共 15 分。）
12 ．已知直线l 分别与曲线f (x) = ln x ， g (x) = ex 相切于点(x1, ln x1 ) ， (x2, ex2 ) ，则 — 的值为 .
13 ．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数： f1 (x) = x ， f2 (x) = x2 ， f3 (x) = x3 ，
f4 (x) = sin x ，f5 (x) = cs x ， f6 (x) = 2 | x | +1 ．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，
若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为 X，则X < 3 的概率为 .
14 ．已知函数f (x) = x3 + ax2 + b 在x = —2 时取得极大值 4 ，则a +b = .
四．解答题（共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛. 比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过 的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可
获得奖品一纪念版手办. 已知学生每轮通过的概率都为 ，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 ，通过第
二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 .
(1)求学生小杰获得奖品的概率；
(2)已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
(3)求学生小杰通过的比赛轮数X的分布列与数学期望.
16 ．如图， AE 丄 平面 ABCD ， E, F 在平面ABCD 的同侧， AE//DF ， AD//BC ， AD 丄 AB ， AD = AB = BC = 1 .
(1)若B, E, F , C 四点在同一平面内，求线段EF 的长；
(2)若DF = 2AE ，平面BEF 与平面BCF 的夹角为30 ，求线段 AE 的长.
17 ．已知函数 = ln x + 一
(1)若a = 0 ，求f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程；
(2)若x1, x2 (x1 < x2 ) 是f(x) 的两个极值点，证明：
18 ．已知在四棱锥P 一 ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形， △PAD 是正三角形，E、F、M、O 分别是PC 、 PD 、 BC 、AD的中点， PO 丄 平面 ABCD .
(1)求证： EF 丄 PA ；
(2)求点 B 到平面EFM的距离；
(3)在线段PA 上是否存在点 N，使得直线MN 与平面EFM所成角的正弦值为 ？若存在，求线段PN的长度，若
不存在，说明理由.
19 ．2023 年 11 月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有 16 个学科 900 多 项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师 建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走 出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘 到.假设小明在果园中一共会遇到n 颗番石榴（不妨设n 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个
位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前 k(1 ≤ k < n) 颗番石榴，自第k+1 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一 颗.设k = tn ，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P .
(1)若n = 4, k = 2 ，求P ；
(2)当n 趋向于无穷大时，从理论的角度，求P 的最大值及P 取最大值时t 的值.
数学答案
1 ．C【详解】设被调查的男性为x 人,则女性为2x 人,依据题意可得列联表如下表:
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有
3 ,
x2 ≥ 7.879 , 即 2x ≥ 7.879
解得x ≥ 11.8185 ,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,故x 的最小值为 12.
2 ．B【详解】因为f(x是定义在R 上的增函数， 所以 ，解得1≤ a ≤ 2 .
l
一1+ 2a ≤ 3 一 a + 2
男性
女性
合计
喜爱足球
5x 6
2x 3
3x 2
不喜爱足球
x
6
4x 3
3x 2
合计
x
2x
3x
3 ．D【详解】 (|(sinx - sin ),| , = csx - 0 = cs x ， (3x + 1)2 7」, = 2( 3x + 1) . 3 = 6( 2x + 1) ，(2x), = 2x ln 2 ，(lg2x ), = .
4 ．C【详解】 由已知x = 22.5, y = 160 ,
: = 160 - 4× 22.5 = 70, y = 4 × 24 + 70 = 166 ， 故选 C.
5 ．A【详解】根据f (x ) 0 ，作出f 的大致图象如下：
由图可知：当f (x ) = 0 时，此时由两个根，分别为-2, 1，
当0 < t < 1 时，此时f (x) = t 有 4 个交点， 当1 ≤ t ≤ 3 时，此时f (x) = t 有 3 个交点， 当t > 3 时，此时f (x) = t 有 2 个交点，
故要使得[f(x)]2 + mf(x) + 2 = 0 由 6 个不同的零点，则令f (x) = t ， t 2 + mt + 2 = 0 有 6 个不同的实数根， f (x ) = 0 显然不是[f(x)]2 + mf(x) + 2 = 0 的根，
设g(t ) = t2 + mt + 2 的两个零点分别为t1 , t2 ，且t1 ≠ t2 ，
故当0 < t1 < 1, t2 > 3 时，此时f (x) = t1 有 4 个交点， f (x) = t2 有 2 个交点，满足题意，
故需要满足 解得m < - ，
当1 ≤ t1 < t2 ≤ 3 时，此时f (x) = t1 有 3 个交点， f (x) = t2 有 3 个交点，满足题意，
11
故需要满足 0 ， 解得-3 ≤ m < -2 ，
综上可得-3≤ m < -2 ·2 或m < - 3
6 ．B【详解】记事件E :该家族某位成员出现A 性状，事件F : 该家族某位成员出现B 性状，
则P(E ) = ， P (F ) = ， P (E ∩ F ) = ，则P(E U F) = 1-P (E ∩ F )= ，
又因为P(EU F) = P (E ) + P(F )- P(EF) ，则P(EF) = P (E )+ P (F )-P (E UF )= ， 故所求概率为P(F E )
7 ．C【详解】 白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4 次，向左或向右的概率均为 ， 则向左的次数服从二项分布 .
( 2 , 16 ( 2 , 4
因为P(X = 1) = C × (| 1 )|4 = 1 , P(X = 2) = C × (| 1 )|4 = 1 ，
( 2 , 8 ( 2 , 4 ( 2 , 16 ，
P(X = 3) = C × (| 1 )|4 = 3 , P(X = 4) = C × (| 1 )|4 = 1 , P(X = 5) = C × |( 1 )|4 = 1
所以E(X) = 1 × + 2 × + 3× + 4 × + 5× = 3 ，
D(X) = (1 - 3)2 × + (2 - 3)2 × + (3 - 3)2 × + (4 - 3)2 × + (5 - 3)2 × = 1 .
8 ．A【详解】
依题意，易得直角梯形MNBH , 因△BEF 为边长为 2 的正三角形,则BH 丄 EF ，且BH = ´ 2 = ·、i3 , 又MH = 1,BN = · , 则MN = ·( )2 - ( -1)2 = 2 .
如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点M , N ,过点M 作MH 丄 EF 于点H ，连接BH , BN ，
设该几何体外接球球心为点O ,半径为R ,则点O 为MN的中点，则OM =
在Rt△OME 中， R2 = OM2 + ME2 = 2 + 2 ,
于是该几何体外接球的表面积为4πR2 = 4π(+ 2) = (8 + 2)π .
9．AB 【详解】由回归方程 = 7.54 + 0.33x 知人均 GDP 和女性平均受教育年限正相关，故 A 正确；因为 = 7.54 + 0.33x ， = 2.88 - 0.41x ，
可得女性平均受教育年限 z 和总和生育率y 的关系式为 = 2.88 - 0.41× ,
所以女性平均受教育年限 z 和总和生育率y 负相关，故 B 正确；
由散点图可知，回归方程 = 7.54 + 0.33x 相对 = 2.88 - 0.41x 拟合效果更好，所以R12 > R ，故 C 错误；
答案第 7页，共 14页
根据回归方程 = 2.88 - 0.41 预测，未来总和生育率预测值有可能降低， 但实际值不一定会降低，故 D 错误.
10 ．ABD【详解】对于 A ，事件 A ，B 不能同时发生，但能同时不发生，故 A ，B 是互斥事件，但不是对立事件， 故 A 错误；对于 B ，事件 B 发生与否，影响事件 D ，所以事件 B ，D 不是相互独立事件，故 B 错误；
对于 C ， P (D ) = P (A)P (D A ) + P(B )P (D B ) + P(C )P (D C )
= 2 . 1 + 2 . 1 + 2 . 1 = ，故 C 正确；
C C C C CC C 16
C5 C7 C5 C7 C5 C7 35
对于 D ， P (CD) = P (C )P (D C )= . = ，故 D 错误.
11．AB【详解】对于 A ，因为f (x +1) + f (x + 3) = f (2024) ， 所以f (x) + f (x + 2) = f (2024) ， f (x + 2) + f (x + 4) = f (2024)， 所以f (x + 4) = f (x) ，故f (x) 的最小正周期为 4 ，A 正确；
对于 B ，因为f (x +1) + f (x + 3) = f (2024) ， 令x = 2021 ，则f (2022) + f (2024) = f (2024) ， 所以f (2022) = 0 ，
由 A 可知， f (2022) = f (4 × 505 + 2) = f (2) = 0 ，故 B 正确； 对于 C ， 因为f (-x) = f (x + 2) ，①
令x = 0 ，则f (0) = f (2) = 0 ，
所以f (2024) = f (4 × 506) = f (0) = 0 ， 所以f (x) + f (x + 2) = f (2024) = 0 ，②
由①② , 所以f (x) + f (-x) = 0 ，即f−x =− fx ，故f (x)为奇函数， 若函数fx − 1是奇函数，则f (-x -1) = -f (x -1) ，
所以f (-x -1) = f - (x +1) = -f (x +1) ，即f (x -1) = f (x +1) ，
所以f (x + 2) = f (x +1) +17」= f (x +1) -17」= f (x ) ，
所以f (x)的最小正周期为 2 ，与选项 A 矛盾，故 C 错误；
( 2 , 4 ( 2 , 4
对于 D ，因为f (x)为奇函数，且f(| 1 )| = 1 ，所以f(|- 1 )| = - 1 ，
又因为f (x) 的最小正周期为 4 ，所以f
因为f (-x) = f (x + 2)
所以 k. f k- ,)| = 1 × f (|( ),| + 2× f + 3× f + 4× f ，
k =5 ( 2, ( 2, ( 2 , ( 2 , ( 2 ,
Σ8k. f (|k- 1 )| = 5× f (| 9 )| + 6× f (| 11)| + 7× f (| 13)| + 8× f (| 15)|
( 2 , ( 2 , ( 2 , ( 2 ,
= 5 × f (| 1 )| + 6× f (| 3 )| + 7 × f (| 5 )| + 8× f (| 7 )|
4 4 ( 4, ( 4,
= 5 × 1 + 6× 1 + 7 ×(| - 1)| + 8×(| - 1)| = -1，
以此类推，
所以 = 506× = -506 ，故 D 错误.
12 ．1
由f = ln x ， g = ex ，有f, = ex ， f (x)在点(x1, ln x1 ) 处的切线方程为y - ln x1 =
g (x ) 在点(x2, ex2)处的切线方程为y - ex2 = ex2 (x - x2 )，
则有 = ex2 ，得ln x1 -1 = ln e-x2 -1 = -x2 -1 = ex2 所以ex2 = 可得 .
13 ．/0.8
【详解】易判断f2 (x) = x2 ，f5 (x) = cs x ， f6 (x) = 2 | x |+1 为偶函数，所以写有偶函数的卡片有 3 张， X 的取值范 围是{1, 2, 3, 4} .
14 ． 3
【详解】 由题意可知f, (x) = 3x2 + 2ax ，
因为函数f (x) = x3 + ax2 + b 在x = -2 时取得极大值 4 ，所以{l 解之得
检验，此时f,(x) = 3x (x + 2) ，令f, (x) > 0 → x > 0 或x < -2 ， 令f, (x ) < 0 → 0 > x > -2 ，
即f (x)在(-∞, -2), (0, +∞) 上单调递增，在(-2, 0) 上单调递减，即{满足题意，
故a +b = 3 .
15 ．(1) (2) (3)分布列见解析， .
【详解】（1）记事件 Ai ：学生通过第i 轮，事件Bi ：学生通过第i 轮就选择奖品离开， 事件Ci ：学生通过第i 轮且继续答题， (i = 1, 2, 3 ），
由题意得P(A1 ) = , P (B1 | A1 ) = , P (C1 | A1 ) = , P (A2 | C1 ) = , P (B2 | A2 ) = ， P (C2 | A2 ) = , P (A3 | C2 ) = .
记事件B ：学生获得奖品.则B = B1 + B2 + B3 ，
P (B1 ) = P (A1B1 ) = P (A1 ) P (B1 ∣A1 ) = × = ，
P (B2 ) = P (A1 )P (C1 ∣A1 )P (A2 ∣ C1 )P (B2 ∣ C2 ) = × × × = ，
P (B3 ) = P (A1 )P (C1 ∣A1 )P (A2 ∣ C2 )P (C2 ∣A2 )P (A3 ∣ C2 ) = × × × × = ， P (B ) = P (B1 ) + P(B2 ) + P(B3 ) = + + = .
（2）学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：
（3） 由题意，随机变量X可取0, 1, 2, 3，
可得P(X = 0) = P (A1 ) = ， P(X = 1) = P (A1B1 +C1A2 )= P (A1B1 )+ P (C1A2 ) = P (A1 )P (B1 ∣A1 )+ P (A1 )P (C1 ∣A1 )P (A2 ∣C1 ) = × + × × = ，
P (X = 3) = P (A1 )P (C1 ∣A1 )P (A2 ∣C1 )P (C2 ∣A2 )P (A3 ∣C2 ) = × × × × = ， P (X = 2) = 1- P(X = 0)- P(X = 1)- P(X = 3) = 1 - - - = ，
所以X的分布列为：
所以期望为
16 ．(1)1； (2)
【详解】（1）」AD//BC ， BC 平面BCEF ， AD 丈 平面BCEF ， :AD// 平面BCEF ， 」AE//DF ，则A, E, F, D 四点共面，
」AD// 平面BCEF ，AD 平面 ADFE ，平面BCEF ∩ 平面 ADFE = EF ，:AD//EF ，又AE//DF ，则四边形 ADFE 是平行四边形，
: EF = AD = 1 ；
（2） 以A 为原点，分别以AB 、 AD 、 AE 所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴，
建立空间直角坐标系，设AE = λ(λ> 0) ，则E(0, 0,λ)，F (0, 1, 2λ)，B 1,0,0)，C (1, 2, 0)，B--E-→ = (-1, 0,λ) ，B--F-→ = (-1, 1, 2λ) ， B-- = (0, 2, 0) ，
设 = (x1, y1, z1 ) 是平面BEF 的一个法向量，
由 ，得 0 ，令z1 = 1 ，可得x1 = y1 = -
可得 = (λ, -λ, 1) ，
设 = (x2, y2, Z2)是平面BFC 的一个法向量，
由{ .. --- ，得{ -2 2 + 2λz2 = 0 ，令z2 = 1 ，可得x2 = 2λ,y2 = 0 ，
可得 = (2λ, 0, 1)，
2λ2 +1
+ (- )2 +1 . (2
→
→
m . n
m
n
3
依题意 csm, n = =
=
)2 + 02 +12 2
,
→ → → →
λ λ
2
λ
解得λ= ， : AE = .
17 ．(1)2x + y - 5 = 0 ； (2)证明见解析
答案第 11页，共 14页
X
0
1
2
3
P
1
2
1
3
1
8
1
24
当 a = 0 时， f = ln x + ，则f, 所以 = ln1+ = 3 ， f, = -2 ，
所以f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程为y - 3 = -2(x -1) ， 即2x + y - 5 = 0
（2）证明： 由f(x) = ln x + - ，可知
因为x1 , x2 （ x1 < x2 ）是f (x) 的极值点，
所以x1, x2 方程x2 - 3x + a = 0 的两个不等的正实数根， 所以x1 + x2 = 3 ， x1x2 = a > 0 ，
要证 成立，
ln x - ln x 3 ln x - ln x x + x
只需证 1 2 < ，即证 1 2 < 1 2 ，
x1 - x2 a x1 - x2 x1x2
设 ，则0 < t < 1 ，即证ln t > t - ，
令h (t ) = ln t - t + (0 < t < 1) ，
所以h (t ) 在(0, 1) 上单调递减，则h (t ) > h (1) = 0 ，
所以ln t > t - ，故
4
18 ．(1)证明见详解 (2) (3)存在点N 满足题意， PN =
3
【详解】（1）因为PO 丄 平面 ABCD ， CD 平面 ABCD ， 所以PO 丄 CD ，又底面 ABCD 是正方形，则 CD 丄 AD ， 且 AD 与PO 是平面PAD 内两条相交直线，
所以CD 丄 平面PAD ， PA 平面PAD ，所以CD 丄 PA ，
答案第 12页，共 14页
又E, F 分别是PC, PD 的中点，所以EF / /CD ， 所以EF 丄 PA.
（2）因为E, F , M , O 分别是PC, PD , BC, AD 的中点， 所以EF / /CD / /OM，
所以平面EFM 即是平面FOM ，
由（1）知CD 丄 平面PAD ，则OM 丄 平面PAD ， FO 平面PAD ，
: OM 丄 FO ，则SVFOM = OM . OF = × 4 × 2 = 4 ，
设点B 到平面EFM 的距离为d ，由 VB — FOM = VF — OBM ，
得 SVFOM . d = SVOBM . PO ，即4d = × 2 × 4 × , 解得d = ，
所以点B 到平面EFM 的距离为 · .
-- --- ---→
（3）如图以O 为原点， OA, OM , OP 为x, y, z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0, 0, 2 ) ，A 2,0,0 ，M (0, 4, 0) ， E (—1, 2, ) ， F (—1, 0, )，
: P--A = (2, 0, —2 ) ， E--F-→ = (0, —2, 0) ， E--M- = (1, 2, — )，
设线段PA 上存在点N(x, 0, z ) ，使得MN 与平面EFM 所成角的正弦值为 ，且P-- = tP--A(0 ≤ t ≤ 1)，
: (x, 0, z — 2 i3 )= t (2, 0, —2 ·) ，
:M-- = (2t , —4, 2 ·、i3 — 2 s3t )，
设平面EFM 的一个法向量为 = (a, b, C)，
则 即 3c = 0 ，令c = 1 ，得a = ·3,b = 0 ，
: = (、i3, 0, 1)，
4t2+ 整理得18t2 — 27t + 7 = 0 ，
解得 或 （舍），
即存在点N 使得直线MN 与平面EFM 所成角的正弦值为 ，此时PN = .
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(2) P 的最大值为 ，此时t 的值为 .
【详解】（1）依题意，4 个番石榴的位置从第 1 个到第 4 个排序，有A = 24 种情况， 要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第 3 个，其它的随意在哪个位置，有A = 6 种情况；
②最大的番石榴是最后 1 个，第二大的番石榴是第 1 个或第 2 个，其它的随意在哪个位置，有2A = 4 种情况，
所以所求概率为 .
（2）记事件A 表示最大的番石榴被摘到，事件Bi 表示最大的番石榴排在第i 个，则P ， 由全概率公式知
当1 ≤ i ≤k 时，最大的番石榴在前k 个中，不会被摘到，此时P(A| Bi ) = 0；
当k+1 ≤ i ≤ n 时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前i -1个番石榴中的最大一个在前k 个之中时，此时P ， 因此
令 求导得 ，由g , 得 ， 当 时， g , > 0 ，当x ∈ 时， g,
即函数在 上单调递增，在 上单调递减，
则 max = g 于是当 取得最大值 ，
1 1 所以P 的最大值为 e ，此时t 的值为 e .