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云南省昆明市第八中学2024-2025学年九年级上学期开学学情监测数学试题（解析版）
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这是一份云南省昆明市第八中学2024-2025学年九年级上学期开学学情监测数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共15小题，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入40元”记作“元”，那么“支出20元”记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量，把收入记为正数，则支出记为负数，据此即可解答．
【详解】解：将“收入40元”记作“元”，那么“支出20元”记作“元”．
故选：D
2. 下面冬奥会会徽图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可一一判定．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判定轴对称图形的关键是寻找对称轴，熟知轴对称图形的概念是解决本题的关键．
3. 2024年5月3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极﹣艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000千米，将384000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】解：，
故选B．
4. 要使多项式不含的一次项，则的值为（ ）
A. B. 4C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握好多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母．
根据多项式乘以多项式的法则，可表示为计算，再根据乘积中不含的一次项，得出它的系数为0，即可求出的值．
【详解】解：根据题意得：
，
与的乘积中不含的一次项，
，
；
故选：B．
5. 若有意义，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性列不等式，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：A．
6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由三视图还原几何体，根据俯视图和左视图可知上部分和下部分都是柱体，再由正视图即可确定上部分和下部分几何体的形状，由此即可得到答案．
【详解】解：由左视图、俯视图看到都是上部分和下部分都是长方形，可以判定上下两个都是柱体，
由主视图看到的是三角形与长方形，可知上面一部分是三棱柱，下面一部分是长方体．
故选D．
7. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A. （﹣1，﹣）B. （，﹣1）C. （﹣1，）D. （﹣，1）
【答案】D
【解析】
【分析】首先作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，利用“一线三垂直”模型证明≅，即可求出点C的坐标．
【详解】解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC=∠ADO=90°，
∴∠COE+∠ECO=90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD=，OD=1，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠OCE，
在和中，
∵
∴≅（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴C（-，1），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的综合以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的性质，证出全等三角形是解题的关键．
8. 小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算不对的是（ ）
A. 720°B. 1080°C. 1440°D. 1900°
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式可知多边形内角和满足是180的倍数即可，进而可得解．
【详解】解：由多边形内角和公式可知多边形内角和满足是180的倍数，720°、1080°、1440°都是180°的倍数，故A、B、C都不符合题意，对于D选项，1900°不是180°的倍数，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
9. 对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 两D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差越小，越稳定判断即可．本题考查了方差的意义，解题关键是明确方差越小，波动越小．
【详解】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；
故选：B．
10. 如图，在中，，，于点D，E为的中点，，则（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．由等腰三角形的性质求得，根据垂线的性质可知是直角三角形，在中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
在中，
∵E是的中点．
∴（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵，
∴；
∴，
故选：B．
11. 某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，设该种商品平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设该种商品平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，由此即可列出方程．
【详解】解：设该种商品平均每次降价的百分率为，
第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，
经两次降价，现售价每件32.4元
可列方程为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
12. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可．
【详解】解：应添加的条件是，理由为：
证明：、、、分别为、、、的中点，
，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意；
C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、添加的条件是，
、、、分别为、、、的中点，且，，，，，
，
则四边形为菱形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
13. 如图，直线（）经过点，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】解：观察图象知：当x＞-2时，kx+b＞4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14. 如图，四边形是菱形，，于H，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，利用菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，设菱形的对角线交于O，
∵四边形是菱形 ，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
故选:A．
15. 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①由对称轴即可判断；
②将c≤3a转化为时所对应的函数值，由对称性转化为时所对应的函数值，即可判断；
③根据图象所体现的最大值即可判断；
④根据图象的最值结合对称轴即可判断．
【详解】①因为对称轴为，所以，即，故①正确；
②由①知，所以时，；
因为抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时，
又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误；
③由图可知y＝ax2+bx+c的最大值为3，所以当ax2+bx+c＝2时有两个不相等的实数根；故③正确；
④由图可知：，即，
又且，所以=，
所以，即，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知以上知识点的应用是解题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示数为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，首先求出正方形对角线的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
【详解】∵正方形的边长为1，
∴正方形对角线的长度，
∴点A表示．
故答案为：．
17. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
．
故答案为：．
18. 将一次函数的图象进行上下平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后图象的解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，进行解答即可．
【详解】解：设一次函数平移后的解析式为：，
∵移之后的图象经过点，
∴，
解得：，
∴平移之后图象的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握函数图像的平移规律：上加下减，左加右减是解本题的关键．
19. 若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据方程无实数根，则，建立关于c的不等式，然后解不等式即可．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∵，
解得．
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1） （2），．
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解一元二次方程．
（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，求立方根，然后进行加减运算即可．
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
（2）
Δ=b2-4ac=9-4×1×-1=9+4=13>0
∴，
∴，．
21. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明CD＝BD，结合已知条件可得CD2－DA2＝AC2 ，从而可得结论；
（2）由AD∶BD＝3∶4，设AD＝3x，BD＝4x，则 再利用勾股定理列方程即可.
小问1详解】
解：连接CD．∵ DE垂直平分BC ∴CD＝BD．
∵ BD2－DA2＝AC2 ，
∴ CD2－DA2＝AC2 ．
∴∠A＝90°．
【小问2详解】
解：∵ AD∶BD＝3∶4，
∴设AD＝3x，BD＝4x．
BD2－DA2＝AC2 ，
∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2．
∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，
∴x＝1． （负根舍去）
∴AC＝．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的应用，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解本题的关键.
22. 4月24日是中国航天日，学校组织七、八年级无人机社团进行“航天”知识竞赛活动，为了解活动效果，从七、八年级兴趣社团知识竞赛成绩中，各随机抽取10名学生成绩（满分为100分）：七年级具体成绩如下：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83；根据信息解答下面问题：
八年级的成绩整理如下表：其中分布在这一组的成绩是：84，85，85，85，86；
并依据分析结果绘制了如下所示的不完整统计表
（1）填空：________，________，________
（2）若学生竞赛成绩超过80分为“优秀”，分别计算两个兴趣社团的优秀率，并估计该校八年级兴趣社团100名学生中优秀人数有多少？
（3）通过以上数据分析，选取两个不同的角度说明哪个年级兴趣社团的活动效果更好？
【答案】（1）、、
（2），，名
（3）八年级兴趣社团的活动效果更好
【解析】
【分析】本题考查了中位数，众数，样本估计方差等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是关键.
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据优秀率的概念列式计算即可；
（3）依据平均数、中位数及方差的意义求解即可.
小问1详解】
解：七年级成绩重新排列为: ,
所以这组数据的中位数众数
八年级成绩的中位数，
故答案为:、、；
【小问2详解】
解：七年级兴趣社团的优秀率为，
八年级兴趣社团的优秀率为，
估计该校八年级兴趣社团名学生中优秀人数有 (名)；
【小问3详解】
八年级兴趣社团的活动效果更好，
由表知，七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级，方差小于七年级，
所以八年级成绩的高分人数多于七年级，且比七年级更稳定，所以八年级兴趣社团的活动效果更好.
23. 2023年全国教育工作会议的一大亮点，就是“要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书、读好书、善读书”．为了更好的落实会议精神，某学校购进A、B两种图书，花费分别是1100元和500元．已知A图书的订购单价是B图书订购单价的2倍，并且订购A图书的数量比B图书的数量多5本．求A、B两种图书的单价分别是多少元？
【答案】A、B两种图书的单价分别是20元、10元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程；设B图书的订购单价为x元/本，则A图书的订购单价为2x元/本，根据购进A、B两种图书，花费分别是1100元和500元，订购A图书的数量比B图书的数量多5本，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设B图书的订购单价为x元/本，则A图书的订购单价为2x元/本，
依题意，得：
，
解得，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
当时，（元）．
答：A、B两种图书的单价分别是20元、10元．
24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质．
（1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质得出，则，先证明四边形是平行四边形，即可求证四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出，，．由勾股定理，求出，最后根据直角三角形斜边上中线的性质得出．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴，，．
在中，由勾股定理，得，
∵，O为中点，
∴在中，．
25. 年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意某商店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多元，个大号“龙辰辰”和个中号“龙辰辰”共元．
（1）求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．
（2）该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半中号“龙辰辰”定价元个，大号“龙辰辰”的定价元个当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元
（2）当购进大号“龙辰辰”个时，销售总利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
（1）设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；
（2）设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元，
由题意可得：，
解得，
答：大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元；
【小问2详解】
设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，
即当购进大号“龙辰辰”个时，销售总利润最大，最大利润是元．
26. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）P（﹣4，5）（2，5）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A（1，0），C（0，﹣3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3．
∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴，解得．
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标：
∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1．
∴A（1，0），B（﹣3，0）．∴AB=4．
设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|=10，解得：n=±5．
当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
27. 已知正方形的边长为8，点E在边上，点F在边的延长线上，且．
（1）如图1，分别连接，则的形状是________；
（2）如图2，连接交对角线于点M，若，求的长；
（3）如图3，若点G、H分别在上，且，连接交于点O，当与的夹角为时，求的长．
【答案】（1）△BEF是等腰直角三角形，理由见解析；
（2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）如图1，先根据正方形的性质证明△FCB≌△EAB可得BF=BE，∠EBA=∠FBC，然后再说明∠EBF=90°即可解答；
（2）如图2，过E作ENCD，交BD于N，则EN=ED=2，用勾股定理可得DE的长，然后再△FCM≌△ENM可得EM=FM，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
（3）连接EB和FB，先说明四边形FBGH是平行四边形，可得FB=GH=4，最后运用勾股定理即可解答
【小问1详解】
解：如图1，△BEF是等腰直角三角形，理由是：
在正方形ABCD中，BC=AB，∠FCB=∠A=90°，
∵CF=AE=2，
∴△FCB≌△EAB，
∴BF=BE，∠EBA=∠FBC，
∴∠EBF=∠EBC+∠FBC=∠EBC+∠EBA=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：如图2，过E作ENCD，交BD于N，则EN=EA=2，
在Rt△EDF中，EF=，
∵ENCD，
∴∠F=∠MEN，
∵∠CMN=∠EMN，
∴△FCM≌△ENM，
∴EM=FM，
∴DM=EF=；
【小问3详解】
解：如图3，连接EB和FB，
由（1）得∠EFB=45°，
∵∠EOM=45°，
∴∠EFB=∠EOM，
∴GHFB，
∵DFAB，
∴四边形FBGH是平行四边形，
∴FB=GH=4，
由勾股定理得：CF=，
∴AE=CF=4．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
选手
甲
乙
丙
丁
方差
分数段
人数
1
3
5
1
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
a
b
71.6
八年级
80
c
85
59.8
一、选择题：本题共15小题，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入40元”记作“元”，那么“支出20元”记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量，把收入记为正数，则支出记为负数，据此即可解答．
【详解】解：将“收入40元”记作“元”，那么“支出20元”记作“元”．
故选：D
2. 下面冬奥会会徽图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可一一判定．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，判定轴对称图形的关键是寻找对称轴，熟知轴对称图形的概念是解决本题的关键．
3. 2024年5月3日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦娥六号在月球背面的南极﹣艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000千米，将384000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】解：，
故选B．
4. 要使多项式不含的一次项，则的值为（ ）
A. B. 4C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握好多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母．
根据多项式乘以多项式的法则，可表示为计算，再根据乘积中不含的一次项，得出它的系数为0，即可求出的值．
【详解】解：根据题意得：
，
与的乘积中不含的一次项，
，
；
故选：B．
5. 若有意义，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性列不等式，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：A．
6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由三视图还原几何体，根据俯视图和左视图可知上部分和下部分都是柱体，再由正视图即可确定上部分和下部分几何体的形状，由此即可得到答案．
【详解】解：由左视图、俯视图看到都是上部分和下部分都是长方形，可以判定上下两个都是柱体，
由主视图看到的是三角形与长方形，可知上面一部分是三棱柱，下面一部分是长方体．
故选D．
7. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A. （﹣1，﹣）B. （，﹣1）C. （﹣1，）D. （﹣，1）
【答案】D
【解析】
【分析】首先作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，利用“一线三垂直”模型证明≅，即可求出点C的坐标．
【详解】解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC=∠ADO=90°，
∴∠COE+∠ECO=90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD=，OD=1，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠OCE，
在和中，
∵
∴≅（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴C（-，1），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的综合以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的性质，证出全等三角形是解题的关键．
8. 小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算不对的是（ ）
A. 720°B. 1080°C. 1440°D. 1900°
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式可知多边形内角和满足是180的倍数即可，进而可得解．
【详解】解：由多边形内角和公式可知多边形内角和满足是180的倍数，720°、1080°、1440°都是180°的倍数，故A、B、C都不符合题意，对于D选项，1900°不是180°的倍数，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
9. 对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 两D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差越小，越稳定判断即可．本题考查了方差的意义，解题关键是明确方差越小，波动越小．
【详解】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；
故选：B．
10. 如图，在中，，，于点D，E为的中点，，则（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．由等腰三角形的性质求得，根据垂线的性质可知是直角三角形，在中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
在中，
∵E是的中点．
∴（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵，
∴；
∴，
故选：B．
11. 某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，设该种商品平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设该种商品平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，由此即可列出方程．
【详解】解：设该种商品平均每次降价的百分率为，
第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，
经两次降价，现售价每件32.4元
可列方程为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
12. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可．
【详解】解：应添加的条件是，理由为：
证明：、、、分别为、、、的中点，
，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意；
C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、添加的条件是，
、、、分别为、、、的中点，且，，，，，
，
则四边形为菱形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
13. 如图，直线（）经过点，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】解：观察图象知：当x＞-2时，kx+b＞4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14. 如图，四边形是菱形，，于H，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，利用菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，设菱形的对角线交于O，
∵四边形是菱形 ，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
故选:A．
15. 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①由对称轴即可判断；
②将c≤3a转化为时所对应的函数值，由对称性转化为时所对应的函数值，即可判断；
③根据图象所体现的最大值即可判断；
④根据图象的最值结合对称轴即可判断．
【详解】①因为对称轴为，所以，即，故①正确；
②由①知，所以时，；
因为抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时，
又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误；
③由图可知y＝ax2+bx+c的最大值为3，所以当ax2+bx+c＝2时有两个不相等的实数根；故③正确；
④由图可知：，即，
又且，所以=，
所以，即，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知以上知识点的应用是解题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示数为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，首先求出正方形对角线的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
【详解】∵正方形的边长为1，
∴正方形对角线的长度，
∴点A表示．
故答案为：．
17. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
．
故答案为：．
18. 将一次函数的图象进行上下平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后图象的解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，进行解答即可．
【详解】解：设一次函数平移后的解析式为：，
∵移之后的图象经过点，
∴，
解得：，
∴平移之后图象的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握函数图像的平移规律：上加下减，左加右减是解本题的关键．
19. 若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据方程无实数根，则，建立关于c的不等式，然后解不等式即可．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∵，
解得．
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1） （2），．
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解一元二次方程．
（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，求立方根，然后进行加减运算即可．
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
（2）
Δ=b2-4ac=9-4×1×-1=9+4=13>0
∴，
∴，．
21. 如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明CD＝BD，结合已知条件可得CD2－DA2＝AC2 ，从而可得结论；
（2）由AD∶BD＝3∶4，设AD＝3x，BD＝4x，则 再利用勾股定理列方程即可.
小问1详解】
解：连接CD．∵ DE垂直平分BC ∴CD＝BD．
∵ BD2－DA2＝AC2 ，
∴ CD2－DA2＝AC2 ．
∴∠A＝90°．
【小问2详解】
解：∵ AD∶BD＝3∶4，
∴设AD＝3x，BD＝4x．
BD2－DA2＝AC2 ，
∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2．
∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，
∴x＝1． （负根舍去）
∴AC＝．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的应用，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理”是解本题的关键.
22. 4月24日是中国航天日，学校组织七、八年级无人机社团进行“航天”知识竞赛活动，为了解活动效果，从七、八年级兴趣社团知识竞赛成绩中，各随机抽取10名学生成绩（满分为100分）：七年级具体成绩如下：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83；根据信息解答下面问题：
八年级的成绩整理如下表：其中分布在这一组的成绩是：84，85，85，85，86；
并依据分析结果绘制了如下所示的不完整统计表
（1）填空：________，________，________
（2）若学生竞赛成绩超过80分为“优秀”，分别计算两个兴趣社团的优秀率，并估计该校八年级兴趣社团100名学生中优秀人数有多少？
（3）通过以上数据分析，选取两个不同的角度说明哪个年级兴趣社团的活动效果更好？
【答案】（1）、、
（2），，名
（3）八年级兴趣社团的活动效果更好
【解析】
【分析】本题考查了中位数，众数，样本估计方差等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是关键.
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据优秀率的概念列式计算即可；
（3）依据平均数、中位数及方差的意义求解即可.
小问1详解】
解：七年级成绩重新排列为: ,
所以这组数据的中位数众数
八年级成绩的中位数，
故答案为:、、；
【小问2详解】
解：七年级兴趣社团的优秀率为，
八年级兴趣社团的优秀率为，
估计该校八年级兴趣社团名学生中优秀人数有 (名)；
【小问3详解】
八年级兴趣社团的活动效果更好，
由表知，七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级，方差小于七年级，
所以八年级成绩的高分人数多于七年级，且比七年级更稳定，所以八年级兴趣社团的活动效果更好.
23. 2023年全国教育工作会议的一大亮点，就是“要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书、读好书、善读书”．为了更好的落实会议精神，某学校购进A、B两种图书，花费分别是1100元和500元．已知A图书的订购单价是B图书订购单价的2倍，并且订购A图书的数量比B图书的数量多5本．求A、B两种图书的单价分别是多少元？
【答案】A、B两种图书的单价分别是20元、10元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程；设B图书的订购单价为x元/本，则A图书的订购单价为2x元/本，根据购进A、B两种图书，花费分别是1100元和500元，订购A图书的数量比B图书的数量多5本，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设B图书的订购单价为x元/本，则A图书的订购单价为2x元/本，
依题意，得：
，
解得，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
当时，（元）．
答：A、B两种图书的单价分别是20元、10元．
24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质．
（1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质得出，则，先证明四边形是平行四边形，即可求证四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出，，．由勾股定理，求出，最后根据直角三角形斜边上中线的性质得出．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴，，．
在中，由勾股定理，得，
∵，O为中点，
∴在中，．
25. 年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意某商店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多元，个大号“龙辰辰”和个中号“龙辰辰”共元．
（1）求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．
（2）该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半中号“龙辰辰”定价元个，大号“龙辰辰”的定价元个当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元
（2）当购进大号“龙辰辰”个时，销售总利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
（1）设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；
（2）设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元，
由题意可得：，
解得，
答：大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元；
【小问2详解】
设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，
即当购进大号“龙辰辰”个时，销售总利润最大，最大利润是元．
26. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）P（﹣4，5）（2，5）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A（1，0），C（0，﹣3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3．
∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴，解得．
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标：
∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1．
∴A（1，0），B（﹣3，0）．∴AB=4．
设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|=10，解得：n=±5．
当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
27. 已知正方形的边长为8，点E在边上，点F在边的延长线上，且．
（1）如图1，分别连接，则的形状是________；
（2）如图2，连接交对角线于点M，若，求的长；
（3）如图3，若点G、H分别在上，且，连接交于点O，当与的夹角为时，求的长．
【答案】（1）△BEF是等腰直角三角形，理由见解析；
（2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）如图1，先根据正方形的性质证明△FCB≌△EAB可得BF=BE，∠EBA=∠FBC，然后再说明∠EBF=90°即可解答；
（2）如图2，过E作ENCD，交BD于N，则EN=ED=2，用勾股定理可得DE的长，然后再△FCM≌△ENM可得EM=FM，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答；
（3）连接EB和FB，先说明四边形FBGH是平行四边形，可得FB=GH=4，最后运用勾股定理即可解答
【小问1详解】
解：如图1，△BEF是等腰直角三角形，理由是：
在正方形ABCD中，BC=AB，∠FCB=∠A=90°，
∵CF=AE=2，
∴△FCB≌△EAB，
∴BF=BE，∠EBA=∠FBC，
∴∠EBF=∠EBC+∠FBC=∠EBC+∠EBA=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：如图2，过E作ENCD，交BD于N，则EN=EA=2，
在Rt△EDF中，EF=，
∵ENCD，
∴∠F=∠MEN，
∵∠CMN=∠EMN，
∴△FCM≌△ENM，
∴EM=FM，
∴DM=EF=；
【小问3详解】
解：如图3，连接EB和FB，
由（1）得∠EFB=45°，
∵∠EOM=45°，
∴∠EFB=∠EOM，
∴GHFB，
∵DFAB，
∴四边形FBGH是平行四边形，
∴FB=GH=4，
由勾股定理得：CF=，
∴AE=CF=4．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
选手
甲
乙
丙
丁
方差
分数段
人数
1
3
5
1
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
a
b
71.6
八年级
80
c
85
59.8
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