四川省绵阳市涪城区2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份四川省绵阳市涪城区2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了5、1等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共36分）
1. 下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式定义进行解答即可.
【详解】解：A. 是最简二次根式，故该选项正确；
B. =3不是最简二次根式，故该选项错误；
C. 不是最简二次根式，故该选项错误；
D. 不是最简二次根式，故该选项错误.
故选A.
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义.解题的关键在于最简二次根式必须同时满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因.
2. 某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，，6，8，已知这组数据的平均数是6，则的值是（ ）
A. 5B. C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据数据的平均数是6求解即可．
【详解】∵数据的平均数是6，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了根据平均数求数据，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3. 下列各组数中三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 7、23、25B. 3、4、5C. 、2、D. 0.5、1.2、1.3
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证每组数中的两个较小的数的平方和等于最大的边的平方，即可构成直角三角形即可解答．
【详解】解：A、，故不能构成直角三角形；
B、，故能构成直角三角形；
C、 ，故能构成直角三角形；
D、 能构成直角三角形．
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．两个较小的数的平方和等于最大的边的平方即可构为直角三角形．
4. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式被开方数必须为非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：．
故选：B．
5. 已知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A. m<0B. m≤0C. m≥0D. m>0
【答案】D
【解析】
【分析】根据可知正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，所以m>0，故可得答案．
【详解】解：∵正比例函数y=mx的图象过第一、三象限，
∴m>0，
故选D．
【点睛】本题正比例函数的性质．正比例函数y=kx（k≠0），k>0时，图象在一、三象限，y随x增大而增大；当k<0时，图象在二、四象限，y随x增大而减小．
6. 下列等式从左到右的变形过程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行判断即可．
【详解】解：A、，只有a、b均为非负数时才成立，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、若，，则不成立，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
7. 如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C
8. 如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ）
A. B. C. 30D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接，

由已知得：，，，
∴，
在中，，
∴（），
故选：B
9. 如图，在中，对角线和相交于O，的平分线与边相交于E，若，那么下列结论①，②，③，④．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质得到，，然后结合角平分线的概念即可判断①；根据中位线的性质即可判断②；证明出即可判断③；根据菱形的判定即可判断④．
【详解】解：四边形平行四边形，
，，
，
是的平分线，
，
，
，，
∵，
∴，即，
，
，
，
，故①正确，
，，
是的中位线，
，故②正确，
，
，
，
，故③正确，
假设，则推出四边形是菱形，显然不可能，故④错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么，，正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质即可求得a的值，即可得到B（﹣2，2）；
（2）利用三角形面积公式求得即可判断；
（3）求得△OBC和△AOB的面积即可判断；
（4）S△BCP和S△AOB的值即可判断．
【详解】解：（1）∵a、b满足（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2），
故（1）正确；
（2）三角形ABO的面积＝×OA×＝×3×2＝3，
故（2）正确；
（3）设直线l2的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A、B的坐标代入y＝kx+c，得：，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+3，
令y＝0，则x＝﹣6，
∴C（﹣6，0），
∴S△OBC＝＝6，
∵S△ABO＝3，
∴S△OBC：S△AOB＝2：1；
故（3）正确；
（4）∵P的坐标是（﹣2，5），B（﹣2，2），
∴PB＝5﹣2＝3，
∴S△BCP＝＝6，S△AOB＝×3×2＝6，
∴S△BCP＝S△AOB．
故（4）正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．
11. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段AB，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定A、B、C、D的坐标，构造点D关于x轴的对称点，连接交x轴与点P，此时的值最小，确定直线的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】因为直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，

所以，，，，
作点D关于x轴的对称点，
则
连接交x轴与点P，此时的值最小，
设直线的解析式为，
所以，
解得，
所以直线解析式为，
当时，
，
解得，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，中点坐标公式，线段和最小问题，熟练掌握待定系数法，利用轴对称的性质求线段和最小是解题的关键．
12. 如图所示，以的直角边向外构造等边，E为的中点，连接、，，．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③四边形是菱形；④．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据线段中点的定义得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，故②正确；四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，故③正确；根据平行四边形的性质得到，根据垂直的定义得到，故①正确；再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，
∴四边形为平行四边形，故②正确；
∴四边形是平行四边形，
，，
，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形为平行四边形，
，
又，
，故①正确；
∵四边形为平行四边形，
，故④错误；
故正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形及等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
二．填空题（共18分）
13. 4的算术平方根是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；
根据算术平方根的概念即可求出结果．
【详解】解：，
4的算术平方根是2，
故答案为：2．
14. 如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接、，若，，则________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】，是边的中点，，
，
，
，
、分别是边、中点，
是的中位线，
，
故答案为：2.5．
15. 若直线与直线相交于x轴同一点，则当x_______时，．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及一次函数与一次函数的交点问题，先求出两直线的交点，然后根据一次函数图像的性质大致画出两直线的函数图像，根据函数图像可进行求解．
【详解】解∶令，即，
解得，
∴直线与直线相交与点，
根据题意画出图像如下：
根据函数图像可知：当时，，
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，点E为中点，连接DE，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图：过B作交延长线于H，，根据正方形的性质、勾股定理可得，再证明可得，进而得到，再说明是等腰直角三角形，即，可求出EG的值，由此可得的值，再根据，正方形的性质可得，由此可得的值，根据，即可求解．
【详解】解：如图：过B作交延长线于H，，
∵正方形中，，
∴，,
∴，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形成为解题的关键．
17. 如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），点E在BC边上，连接AE，把沿AE折叠，点B落在点处.当为直角三角形时，则的长是____________．
【答案】或2
【解析】
【分析】先求出AB与BC的长，当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】解：，
，
解得：，
∴AB=3，BC=4，
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
图1
连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
图2
此时ABEB′为正方形，
∴B'E=AB=3，
∴CE=4-3=1，
∴Rt△B'CE中，．
综上所述，B'C的长为或2．
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
18. 图1，在中，，点P从点A出发，沿三角形的边方向以/秒的速度顺时针运动一周，图2是点P运动时，线段的长度随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图2中P点的坐标是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，斜边上的中线等于斜边的一半，坐标与图形，图（2）中的图象有三段，正好对应图（1）中的线段，，，所以，，当时，则点为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时的长度，即图（2）中点的纵坐标．
【详解】由图象可知：∵点P从点A出发，沿三角形的边方向以秒的速度顺时针运动一周，
∴，，
当时，即点运动了，
此时点在线段上，，
则为线段的中点，
又∵ ，
∴．
∴图（2）中的坐标为．
故答案为：．
三．解答题（共46分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先用平方差公式计算第一个式子，然后计算二次根式的乘法以及去绝对值，最后加减运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查平方差公式以及二次根式的混合运算，属于基础题，熟练掌握平方差公式以及二次根式的运算法则是解题关键．
20. 2022年春季，安溪县初中数学学科教学联盟组编写“县本小单元分层作业”测试卷，现将某试点校八年级甲、乙两位选做“强基”层次的同学的10次测试成绩，绘制如图统计图．
（1）根据图中提供的数据列出如表统计表：
则a＝ ，b＝ ．
（2）现在要从这两位同学中选派一位参加数学素养竞赛，根据以上信息你认为应该选派谁？请简要说明理由．
【答案】（1）80、80
（2）选乙(答案不唯一），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数的公式，众数的定义求出即可；
（2）根据平均数，众数分析得出即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：甲选做“强基”层次的同学的10次测试成绩为80，70，90，80，70，90，70，80，90，80，
乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩为80，60，100，70，90，50， 90，70，90，100，
∴甲选做“强基”层次的同学的10次测试成绩中，80出现的次数最多，
∴a=80，
乙选做“强基”层次的同学的10次测试成绩的平均数为
，
故答案为：80，80；
【小问2详解】
解：选乙，理由如下：
甲和乙的平均分一样，而甲的众数是80，乙的众数是 90，即乙的众数比甲大．
选甲也可以找出合适的理由，因此答案不唯一．
【点睛】本题考查了平均数、众数．理解平均数表示一组数据的平均水平，众数的一组数据中出现次数最多的数是解题的关键．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）120
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，利用全等三角形的判定和性质得出，，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明；
（2）连接AC，交BD于点H，利用菱形的性质及勾股定理可得，再根据菱形的面积公式求解即可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形；
【小问2详解】
解： 如图所示：连接AC，交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键．
22. 中牟全县西瓜总种植面积12万多亩，中牟西瓜享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”、“凉争冰雪甜争蜜，香拂笑语牙水生”的美称．近年来，中牟县委、县政府大力推进西瓜产业化经营，在甲、乙两村的附近修建了A，B两个冷库，已知A冷库可储存260吨西瓜，B冷库可储存240吨西瓜，现甲、乙两村各有200吨和300吨西瓜需运往A，B两个冷库储存，且甲、乙两村分别运往A，B两个冷库的西瓜运输费用（单位：元/吨）如下表：
（1）设甲村运往A冷库吨西瓜，甲、乙两村运往A，B两个冷库的西瓜运输费用分别用，表示，请求出，与之间的函数关系式．
（2）考虑到乙村的经济承受能力，乙村的运输费用不得超过4980元，请问当的值为多少时，才能使两村的运输费用之和最小？并求出这个最小费用．
【答案】（1），
（2）当，运输费最少，为元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据运输费用等于单价乘以运输数量，列出函数关系式即可；
（2）根据乙村的运输费用不得超过4980元，求出的取值范围，利用一次函数的性质，求最值即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：甲村运往B冷库吨西瓜，乙村运往A冷库吨西瓜，运往B冷库吨西瓜，则：
，
；
【小问2详解】
由题意，得：，
解得：，
设费用和为，则：，
∴随着的增大而减小，
∴当时，有最小值为：；
故当，运输费最少，为元．
23. 如图，在中，，，D是中点，点E在上，连接和，若，，求的长．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，过作交于，连接，，根据等腰直角三角形的性质得到，，，根据余角的性质得到，同理，根据全等三角形的性质得到，延长至，使，设，则，由，得到点，，，在以为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，求得，推出，根据等腰三角形的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】过作交于，连接，，
在中，，，点是的中点，
，，，
，
，
，
同理，
，
，
延长至，使，
则，
，
，
设，则，
，
点，，，在以为直径的同一个圆上，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
在中，，
，
解得：，（负值舍去），
．
24. 如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求直线所对应的函数关系式．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的性质等知识，
（1）作于M，求出，代入函数解析式即可求出答案；
（2）求出，则，得到，作轴于N，证明，则，得到，则，设直线的解析式为，把代入求出b的值即可．
【小问1详解】
解：作于M，
∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，
∴，
∴，
∵直线经过点A，
∴，
解得；
【小问2详解】
∵直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，
∴，
∴，
∴，
作轴于N，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线EF所对应的函数关系式为．
平均成绩（分）
众数（分）
甲
80
b
乙
a
90
A
B
甲
20元/吨
25元/吨
乙
15元/吨
18元/吨