四川省成都市武侯区成都市棕北中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份四川省成都市武侯区成都市棕北中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题，每小题4分，每小题只有一个正确答案）
1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用在数轴上表示不等式的解集时：点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有D选项符合；
故选D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点是实心或空心，以及方向的左右等．
2. 在平面直角坐标系中，把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求解即可．
【详解】解：∵点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，
∴所得到的点的横坐标是，纵坐标是，
∴所得点的坐标是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，掌握平移的变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”是解答本题的关键．
3. 已知，，则的值是（ ）
A. 14B. 36C. 48D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．提公因式分解得到，再整体代入数据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
4. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减法，通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．
先把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
【详解】解：
，
故选：A．
5. 若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2B. m＜2且m≠0C. m＞2D. m＞2且m≠4
【答案】B
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为负数得出不等式，且不等于增根，再求解．
【详解】解：∵解方程，
去分母得：mx−2（x＋1）＝0，
整理得：（m−2）x＝2，
∵方程有解，
∴x＝，
∵分式方程的解为负数，
∴＜0，
解得：m＜2，
当，原方程无解，
故，
∴m的取值范围是：m＜2且m≠0．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
6. 如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与转化思想的应用．
由的周长为，即可求得，又由，可得是线段的垂直平分线，即可得，继而可得的周长等于的长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
的周长为，
，
，，
，
的周长为：．
故选：C．
7. 已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，四边形是菱形B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形D. 当时，四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定；熟练掌握菱形和矩形的判定是解题的关键．
根据邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、据对角线相等的平行四边形是矩形，逐项分析即可得出答案．
【详解】解：如图：
A、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形；A选项正确；
B、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形；B选项正确；
C、∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；C选项正确；
D、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
不能证明四边形是矩形，D选项错误，
故选：D．
8. 已知 是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案．
【详解】解：根据题意得，，
则＝＝．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题4分）
9. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ____________________．
【答案】且
【解析】
【分析】要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围.
【详解】解：要使有两个不相等的实数根，则，，
，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
10. 已知关于的分式方程有增根，则的值为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式方程有增根问题，先去分母，根据分式方程有增根进而可求解，熟练掌握分式方程分母为0时的解就是分式方程的增根是解题的关键．
【详解】解：
去分母得：，
由分式方程有增根得：增根为，
∴，
，
故答案为：．
11. 分解因式：___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先本题主要考查了分解因式，把括号去掉，然后合并同类项，最后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则________．

【答案】
【解析】
【分析】根据“斜中半定理”求出即可．
【详解】解：∵
∴
∵点M是斜边的中点
∴
故答案为：
【点睛】本题考查“斜中半定理”：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟记相关结论即可．
13. 如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为的中点，则长度的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理．过点D作于点H，连接，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当点N与点B重合时，最大，此时最大，最大值为，再由直角三角形的性质，可得，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点H，连接，
∵点E，F分别为的中点，
∴，
∴当最大时，最大，
当点N与点B重合时，最大，此时最大，最大值为，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长度的最大值为．
故答案为：
三、解答题（共9小题，48分）
14. 解答题
（1）解不等式组：，并将解集数轴上表示出来．
（2）解方程：；
（3）解方程：．
【答案】（1），见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可．
（2）利用公式法解方程解答即可；
（3）根据解分式方程的基本步骤解答即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，解一元二次方程，解分式方程，熟知以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下：
【小问2详解】
解：∵,
在这里，
∴，
解得，．
【小问3详解】
解：，
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
经检验：是原分式方程的根．
15. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据根判别式得出，求出不等式的解集即可；
（2）将转化为，再代入计算即可解答．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
即的取值范围是；
【小问2详解】
，，
，
，
，即，
解得或．
；
．
故的值为2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程．
16. 如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形；
（2）由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解．
【小问1详解】
解：证明：平分，
，
，
，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
的长为3．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键．
17. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
信息二
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
【答案】（1）的值是
（2）乙工程队至少施工天
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）根据甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等，列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设乙工程队单独施工m天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
根据题意得：
解得：，
经检验，是所列方程的解，
∴值是300；
【小问2详解】
解：设乙工程队单独施工m天，
解得：,
答：乙工程队至少施工15天.
18. 在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）若G，H分别是AD，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）四边形为矩形时或
（3）当时，四边形为菱形
【解析】
【分析】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明；
（2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解；
（3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解.
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：
∵四边形是矩形，
，
，
∵分别是中点，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
如图1，连接，
由（1）得，，，
∴四边形是矩形，
∴，
①如图1，当四边形是矩形时，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图2，当四边形是矩形时，
∵，，
∴，
∴；
综上，四边形为矩形时或；
【小问3详解】
如图3，M和N分别是AD和的中点，连接，，，与交于O，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
∴，即，
∴当时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用.
B卷（满分50分）
一、填空题（5个小题、每小题4分）
19. 一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力和三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．把方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两数之积为0，两因式至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，分别求出两方程的解即可得到原方程的解，进而得到三角形的第三边长．
【详解】解：方程可化为：，
解得：，，
当第三边长为7时，由，得到三边不能构成三角形，舍去；
所以第三边长为3，
故答案：3
20. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可．此题考查了一元二次方程的根和根与系数关系，整体代入是解题的关键．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
故答案为：1
21. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围．
【详解】解：∵ 3x+54≤x+32①x+12>x+a2②，
解不等式①得：；
解不等式②得，
∵不等式组3x+54≤x+32①x+12>x+a2②无解，
∴，
解得；
∵，
去分母得：，
整理，得，
∵方程有整数解，
∴，，，
解得，，，
∵，
∴符合题意的整数a的值为，
∵是增根，
此时，
解得，
∴符合条件的所有整数a为，它们的和是，
故答案为：．
22. 如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，连接，交于点，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出的长，再求出，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质求出的长，最后在和中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，交于点，
∵正方形的面积为50，
∴，，
∵，，
∴，平分，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
又∵，平分，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在和中，，
即，
解得，
即，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
23. 如图，长方形中，，点、分别为线段AD、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当_____时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是_____________．
【答案】 ①. 3 ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理的应用，当与点 重合时，设，则，，在中，由勾股定理得：即可解决；根据图形取中点，通过分析可知只有当、、 三点共线时，长度最大，利用勾股定理解决即可．
【详解】解：当与点 重合时，
如图：
由于对称：，，
设，则，，
在中，
由勾股定理得：；
，
则；
如图：取中点，
，
由题意知，无论如何变动，经过点，
连接、、，
在△中，
四边形关于对称得到四边形，
，故只有当、、 三点共线时、长度最大，
此时，
过点作，，，
在中，，，
，
在中，，
，
，
故答案为：3；．
二、解答题（共30分）
24. 如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．
（1）设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，所围矩形苗圃的面积为．
【答案】（1）
（2）4或5
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程应用以及列二次函数的表达式，
（1）根据题意列出函数关系式；
（2）根据题意列出方程解决即可．
【小问1详解】
解：在矩形中，，
，
，
；
【小问2详解】
，
解得：，．
答：当为4或5时，所围矩形花圃的面积为．
25. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
（3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）11或13
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；
（3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
【小问2详解】
由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
【小问3详解】
①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的三边为：，
∴周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
26. 在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足．
（1）【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：；
（2）【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由；
（3）【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）成立，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解，
（2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解，
（3）作等腰梯形，导角可得，，设，用含的代数式，表示出，，，列出等量关系，即可求解，
本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的线段比，进行求解．
【小问1详解】
解：四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
【小问2详解】
解：仍然成立，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
∴，
【小问3详解】
解：在线段上取一点，使得，
则四边形为等腰梯形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为中点，，
，
设，则，
，
，，，
，
，，
过点作，交于点，
，
，
，
，
，
（舍去），，
，
故答案为：．
工程队
每天施工面积（单位：）
每天施工费用（单位：元）
甲
乙
2000
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．