山东省泰安第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（原卷版）

这是一份山东省泰安第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A. B. C. D.
3. 安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲､乙到同一家公司实习的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知椭圆左､右顶点分别为，上顶点为，离心率为.若，则（ ）
A. 5B. 7C. 21D. 25
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C D.
6. 若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（ ）
A B.
C. D.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数构成公差为的等差数列，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，令，则（ ）
A. 的一个对称中心是
B. 对称轴方程为
C. 在上的值域为
D. 的单调递减区间为
10. 已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若满足，则
C. 若，且，则
D. 若满足，则在复平面内所对应点的轨迹是双曲线
11. 若函数，则（ ）
A. 的极大值点为2
B. 有且仅有2个零点
C. 点是的对称中心
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，点是边上一点，若，则__________.
13. 甲､乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则的取值范围为__________.
14. 如图，为的边上一点，，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰.已知甲､乙､丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为，乙过关的概率为，丙过关的概率为.
（1）若三人中有两人过关，求丙过关的概率；
（2）记甲､乙､丙三人中过关的人数为，求的分布列与数学期望.
16. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
17. 如图，矩形中，为的中点，将沿折起，使平面平面，且点满足，且.
（1）求直线与平面所成角正切值；
（2）求几何体的体积.
18. 抛物线的焦点为，准线为，斜率分别为的直线均过点，且分别与交于和（其中在第一象限），分别为的中点，直线与交于点，的角平分线与交于点.
（1）求直线的斜率（用表示）；
（2）证明：的面积大于.
19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为.
（1）若已知数列，求；
（2）求不等式的解集；
（3）是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由.