黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. -2的倒数是（ ）
A. -2B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解．
【详解】解：-2的倒数是-，
故选：B．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．
2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，故不合题意；
C、当时，不是一元二次方程，故不合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
3. 下列计算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键.幂的乘方，底数不变，指数相乘
根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则逐项计算即可
【详解】解：A. ，故正确，不符合题意；
B. ，故正确，不符合题意；
C. ，故正确，不符合题意；
D. ，故不正确，符合题意；
故选B
4. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．根据轴对称图形的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、C、D均不能找到一条直线，使A、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、C、D不是轴对称图形，不符合题意；
B能找到一条直线，使B沿着该直线折叠后，直线两旁部分能够完全重合，故B是轴对称图形，符合题意；
故选：B．
5. 一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（ ）
A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【详解】a=1,b=2,c=1,
,
故选B.
6. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
【答案】C
【解析】
【分析】矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定．
【详解】解：如图，连接AC、BD
在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB
∴EH=BD
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC
又∵在矩形ABCD中，AC=BD
∴EH=HG=GF=FE
∴四边形EFGH为菱形
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
7. 如图，，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理可求AC的长度；由三边长度判断△ABC为直角三角形．根据三角函数定义求解．
【详解】由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，
∴AC=5．
∵AC2+BC2=169=AB2，
∴△CBA是直角三角形，
∴sinB==．
故选A．
【点睛】本题利用了勾股定理和勾股定理的逆定理，考查三角函数的定义．
8. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴a+b不一定大于0，故A错误，
a−b<0，故B错误，
ab<0，故C错误，
<0，故D正确．
故选D.
9. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且三点在同一直线上，若米，则这棵树的高度是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．设，首先根据得到，然后利用得到，利用列方程求出，即可求出的高度．
【详解】解：由题意得：，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴这棵树的高度约为．
故选：B．
10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，易证得△ABF∽△EDF，然后由平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，求得答案．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABF∽△EDF
∴，
∴选项A正确，不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF
∴
∴选项B不正确，符合题意；
∵
∴，即
∴选项C正确，不符合题意；
∵
∴
∴选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 将数字用科学记数法表示为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的定义；确定幂的指数是解题的关键．
根据科学记数法定义处理：把一个绝对值大于1的数表示成，其中，n等于原数整数位数减1．
【详解】解：；
故答案为：
12. 在函数中，自变量的取值范围是__________.
【答案】x≠2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可.
【详解】由题意得，2x-4≠0，
解得：x≠2，
故答案为x≠2.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13. 把多项式因式分解的结果是______.
【答案】
【解析】
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】=x(x2-9)=
故答案为
【点睛】此题考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14. 不等式组的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：解不等式得：；
解不等式得：．
∴不等式组的解集：为，
故答案为：．
15. 直线向上平移3个单位后，所得直线的解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，解题的关键是掌握一次函数的平移规律“上加下减，左加右减”，据此即可解答．
【详解】解：直线向上平移3个单位后，所得直线的解析式为，
故答案为：．
16. 某商品经过两次连续的降价，由原来的每件250元降为每件160元，则该商品平均每次降价的百分率为____________.
【答案】20％
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的(1-x)，第二次降价后的单价是原来的(1-x)2，根据题意列方程求解即可．
【详解】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
250×(1-x)2=160，
解得x1=0.2，2，x2=1.8(不符合题意，舍去)，
即该商品平均每次降价百分率为20%，
故答案为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
17. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．
【详解】∵DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，
∴DE=BC，DF=AB，
∵BC=16，AB=10，
∴DE=×16=8，DF=×10=5，
∴EF=DE-DF=8-5=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
18. 已知平行四边形ABCD中，，，AE为BC边上的高，且，则平行四边形ABCD的面积为________．
【答案】48或168
【解析】
【分析】分高AE在△ABC内外两种情形，分别求解即可．
【详解】①如图，高AE在△ABC内时，
在Rt△ABE中，BE==9，
在Rt△AEC中，CE==5，
∴BC=BE+EC=14，
∴S平行四边形ABCD=BC×AE=14×12=168．
②如图，高AE在△ABC外时，BC=BE-CE=9-5=4，
∴S平行四边形ABCD=BC×AE=12×4=48，
故答案为168或48．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．四边形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
19. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是____________
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，
∴，
∴
．
故答案为：7．
20. 如图四边形，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得、是解题的关键．
过点D、B分别作，，垂足分别为E、H，，设，易得，根据勾股定理得出，再得出，根据得出，代入求解即可．
【详解】解：如图，过点D、B分别作，，垂足分别为E、H，
设，
∵在中，，，
∴，，
∴则，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
整理得：，
解得：，
当时，，与图形不符舍去．
∴．
故答案为．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中.
【答案】,
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】原式，
当，
原式
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22. 图1、图2分别是 8×10的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个周长为 的菱形；
（2）在图2 中画出有一个锐角为 45°，面积为9的平行四边形，并直接写出平行四边形的周长．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，格点作图：
（1）根据菱形的周长为，得到菱形的边长为，画图即可；
（2）根据平行四边形的判定和性质，画图即可．
【小问1详解】
解：如图，菱形即为所求；
由勾股定理，得：，
∴四边形为菱形，且周长为；
【小问2详解】
如图，平行四边形即所求；
由图可知：，平行四边形的面积为．
23. 为迎接2019年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次调查共抽取了多少名同学？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该中学九年级共有1000人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？
【答案】（1）50名；
（2）见解析； （3）估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀．
【解析】
【分析】（1）根据“良”的学生人数和所占百分比可求出总人数；
（2）根据总人数和“中”所占的百分比计算出“中”的人数，从而将条形统计图补充完整；
（3）用九年级的总人数乘以优秀人数所占百分比，即可得出答案．
【小问1详解】
解：（名），
答：这次调查共抽取了50名学生；
【小问2详解】
解：测试成绩“中”的学生人数为：（名），
将条形统计图补充完整，如图：
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀．
【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识；正确理解条形统计图及扇形统计图所表达的含义是解题的关键．
24. 已知矩形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
【答案】（1）见解析 （2）、、、
【解析】
【分析】（1）利用SSS证明两个三角形全等即可;
（2）先证明Rt△ABE≌Rt△DCE得到AE=DE，则，根据三线合一定理证明∴OE⊥AD， 推出，得到，即可证明由，得到∠OBF=∠OCH，，证明△BOF≌△COH，即可证明，则，即可推出，最后证明，即可得到；
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴与相等且互相平分，
∴，
∵，，
∴（SSS）；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，OA=OD=OB=OC，
又∵BE=CE，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）
∴AE=DE，
∴，
∵OA=OD，AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴∠OBF=∠OCH，，
又∵∠BOF=∠COH，OB=OC，
∴△BOF≌△COH（ASA），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴∠AFE=∠DGE，∠EAF=∠EDG，
又∵AE=DE，
∴，
∴；
综上所述，、、、这4个三角形的面积与△AEF的面积相等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，矩形的性质，平行线的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
25. 某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过48万元，则甲种农机具最多能购买多少件?
【答案】（1）购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元
（2）甲种农机具最多能购买8件
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（）设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，利用数量＝总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买件甲种农机具所需费用；
（）设甲种农机具购买件，利用总价＝单价×数量，结合购买的总费用不超过48万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元
根据题意得： ；
解得： ；
经检验：是原方程的解，且符合题意；
∴一台甲种农机具需万元．
答：购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元；
【小问2详解】
解：设甲种农机具购买件，则乙种农机具购买(20-m)件，
由题意得；
解得；
答：甲种农机具最多能购买8件．
26. 如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．若，求的面积．
【答案】（1）见详解 （2），见解析
（3）30
【解析】
【分析】（1）利用“”即可证明；
（2）可知，证明，则，可得，则，故；
（3）翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点；过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：如图，

由题意得，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
小问2详解】
猜想：
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点F是中点；
过点F作交于点M，连接，

∵，
∴，
设，，
∴，
由翻折得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
整理得，，
解得：或（舍，此时） ，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∵，
∴，，
∴点M为中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键．
27. 如图1，在平面直角坐标系中的顶点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，点坐标．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点从点出发沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为，连接．设的面积为S，试用含t的代数式表示S．（不要求写出t的取值范围）．
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，过点作轴于点，连接．为第一象限内一点，连接交于点，点在的延长线上，，，在线段上取点交于点．当时，求的面积和点坐标．
【答案】（1）直线AB的解析式为
（2）或
（3）的面积为，点坐标为
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正弦函数及勾股定理确定，再由待定系数法确定一次函数解析式即可；
（2）分两种情况：当点P在线段AB上时，当点P在线段AB延长线上时，分别利用含30度角的直角三角形的性质及一次函数的性质代入求解即可确定函数解析式；
（3）当时，确定，利用等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，，，利用三角形等面积法得出，
设，则，过点G作，确定，，由三角形面积比得：，，过点E作，结合图形求解面积即可；再由含30度角的直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质确定点Q的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵B点坐标．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线AB的解析式为：，
将点代入得：，解得：，
∴直线AB的解析式为；
【小问2详解】
由（1）得：，
∴当点P在线段AB上时，过点P作轴，如图所示：
∵点从点出发沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
当点P在线段AB延长线上时，过点P作轴，如图所示：
∵点从点出发沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
综上可得：或；
【小问3详解】
当时，代入（2）中结果得：（舍去）或，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接EG，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
过点G作，如图所示：
∴，
∴，
∴即，
解得：，
∴，，
由三角形面积比得：，
∴，
过点E作，如图所示：
设，则，
根据题意得：即，
解得：，
同理：由勾股定理得：，，
∴，
∴，
同理得：，
∴；
过点Q作轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为．
【点睛】题目主要考查一次函数与三角形综合问题，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理解三角形，解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点，找出相应的全等三角形，作出辅助线是解题关键．