黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三上学期8月月考数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三上学期8月月考数学试卷（解析版），共18页。

考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，则（ ）
A. B. RC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合A,B，根据交集的定义计算．
【详解】因为集合，
化简，所以.
故选：C．
2. 在△ABC中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】根据余弦定理得，，则.
故选：A.
3. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断，对于CD，利用不等式的性质分析判断，
【详解】，，，即，
且，无法取得等号，则，故A正确；
当，时，，，，，故B错误；
，∴，，故C错误；
，，而，则，故D错误．
故选:A
4. 天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“河鼓二”的星等约为0.75，“天津四”的星等约为1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（ ）
（注：结果精确到0.01，当较小时，）
A. 1.56B. 1.57C. 1.58D. 1.59
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，求出即可得解.
【详解】根据题意可得，所以，解得，
根据参考公式可得，
故与最接近的是1.57．
故选:B
5 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把平方可得的值，从而求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值．
【详解】，
平方可得：
为锐角．
故选：B.
6. 如图为函数y=fx在上的图象，则的解析式只可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．
【详解】对于B.的定义域为R，且
，故为偶函数；
对于D.的定义域为R，且
，故为偶函数；
由图象，可知为奇函数，故排除B、D；
对于A.当时，则，而，此时，由图像知道排除A；
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据辅助角公式合二为一，再换元，结合同角三角函数式,二倍角公式和两角和的正弦公式，计算即可.
【详解】由，得，即.
令，，.
.
且，则，
则.
故选：C．
8. 已知函数的定义域为，且满足的导函数为，函数为奇函数，则（ ）
A. B. 3C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用赋值法分析的值，对求导，结合的对称性分析的周期，分析求出的值，即可得答案.
【详解】根据题意，满足，令可得：，则有，
又由，两边同时求导可得：
，即①，
因为函数为奇函数，
所以，
即，
所以的图象关于点对称，
则有②，且，
联立①②可得：，变形可得，
则有，
综合可得：，
即函数是周期为周期函数，
所以，
故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及导数的计算，解题的关键在于利用导数、奇偶性求解函数的周期.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用对数运算计算判断A；利用诱导公式计算判断B；利用二次根式化简判断C；利用辅助角公式计算判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10. 已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 在上单调递减
C. D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据奇偶函数的定义判断A；利用导数判断B；代入验证等式两边是否相等，证明C；将原问题转化为，结合AB选项的结论，可得，解绝对值不等式即可得答案.
【详解】对于A，函数定义域为R，
，则函数偶函数，故A正确；
对于B，，
当时，，在时小于1，
所以，故在上单调递减,
当时，同理可得在上单调递减，故B正确；
对于C，，，
所以，故C错误；
对于D，，由B可知在上单调递减，
由A可知函数为偶函数，所以在0,+∞上单调递增，
所以可得，解得，D正确；
故选：ABD
11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若中间层旋转角（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】假设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据正弦对称性求解B，再结合基本不等式可判断CD．
【详解】设三角形的斜边长为，则 ①，
所以，
对于A，当时，由①式得，，
所以，故A错误；
对于B，的对称轴为 ，，
当时，，即的图象关于直线对称，故B正确；
对于C,D，，
因为，当且仅当时，等号成立，
又由①可得，，
所以，
因为为锐角，所以，所以,，
所以,，所以,，
所以,，所以，
即，故C正确，D错误．
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 函数的单调递减区间为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解
【详解】由题可知，x2+6x-7>0⇒x-1x+7>0⇒x>1或，
可看作，则为增函数.
，当时，单调递减，当时，单调递增.
根据复合函数单调性，结合定义域，知当时，为减函数.
故答案为：.
13. 已知函数，则当时的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数性质求解可得；
【详解】
，
因为，所以，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：
14. 已知函数，若函数在有6个不同的零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，设，根据函数图象考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图象讨论的解的情况，计算得到答案．
【详解】当时，，
当时，，
画出函数图象，如图所示：
函数在,有6个不同零点有以下四种可能：
①方程有两个不同的实根和且方程有两个根，
且方程有四个不同的实根，
由函数的图象知，且，
令，
则需φ(1)=1+2a+4-a>0φ(2)=4+4a+4-a<0φ(4)=16+8a+4-a>0，解得；
②方程有两个不同的实根和且方程有零个根，
且方程有六个不同的实根，
函数的图象知，,,且，
由于，则需，解得；
③方程有两个不同的实根和且方程有1个根，
且方程有5个实根成立，则需，此时无解；
④方程有且只有1个根且方程有6个根，
计算得或，或，不合题意；
综上所述：或．
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求的解析式；
（2）求当时，函数的值域．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答.
（2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域..
【小问1详解】
由函数是上的奇函数，则有，解得，即，
，，
即，，解得，经验证得，时，是奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，因此当时，，当时，，
所以所求值域为.
16. 如图是函数图象的一部分．

（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）求方程在上所有实根的和．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数图象依次求出而得解析式，再利用正弦函数的性质求出单调递增区间.
（2）求出方程在上的根即可.
【小问1详解】
观察图象得：，函数的周期，则，
由，得，而，则，
所以函数的解析式为；
由，得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
方程，即，当时，，
于是，解得，
所以方程在上所有实根的和为.
17. 哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学类题中只有4道能答对，类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响．
（1）求该同学被终止比赛的概率；
（2）现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望；
（3）求该同学获得三等奖的概率．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，第一轮中该同学只答对1道则被终止比赛，计算概率即可；
（2）分析得的所有可能取值，分别求出概率，即可得出分布列，进而得出数学期望；
（3）分析该同学获得三等奖的所有情况，再计算概率即可．
【小问1详解】
从类道题中任选道，其中1道会做，2道不会做，则被终止比赛，
所以该同学被终止比赛的概率为．
【小问2详解】
由题意可知，的所有可能取值为90,60,30,0，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
【小问3详解】
该同学获得三等奖，共有两种情况，
第一轮得20分（答对2道），则第二轮得60分（对2道），
概率为；
②第一轮得30分（答对3道），则第二轮得60分（对2道），
概率为，
所以该同学获得三等奖的概率为．
18. 已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且．
（1）求A的大小；
（2）若，的面积为，求a，b；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）
（2），
（3）．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得答案；
（2）由求出，再由余弦定理可得答案；
（3）利用两角和的正弦展开式可得，设，由的范围求出的范围，再由余弦定理得，可得，利用配方法可得答案.
【小问1详解】
由正弦定理得
，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
所以，
因为，所以，
故，解得；
【小问2详解】
因为，所以，
即，所以，
又因为，即，
所以；
【小问3详解】
因为，
所以，
设，因为，所以，
由（1）知，由余弦定理，
得，，
，
，
当时，取最小值；时，取最大值．
所以的取值范围是．
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导得出f'1，再由点斜式计算即可；
（2）利用同构法将问题转化为证明ex+lnx-x+lnx-1+aex-lnx-2>0，分别构造函数，求其最小值即可；
（3）结合第一问先证，再证x≥sinxx>0，通过放缩将问题转化为证明2e-1x2+e-5x+2>0即可.
【小问1详解】
当时，，
所以，
故曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为；
小问2详解】
要证fx>2a+1，即证xex-x+lnx+1+aex-lnx-2>0，
即证ex+lnx-x+lnx+1+aex-lnx-2>0，
分别令，
则，显然时，此时单调递增，
时，此时单调递减，则，
所以恒成立，当且仅当时取得等号，
即，当且仅当时取等，
由可得，当且仅当时取得等号，
即有，但等号不能同时取得，所以，
所以ex+lnx-x+lnx+1+aex-lnx-2>0成立，证毕；
【小问3详解】
令，
则m'x=x+1ex-1x-2e+1x>0，
令ux=x+1ex-1x-2e+1x>0⇒u'x=x+2ex+1x2>0，
所以定义域上单调递增，
又，则x∈0,1时，单调递减，
x∈1,+∞时，单调递增，
则有，所以，
故
，
令tx=x-sinxx>0⇒t'x=1-csx≥0，
所以定义域上单调递增，则，即，
所以2e-1x2-e+1x-2sinx+2>2e-1x2-e+3x+2，
令nx=2e-1x2-e+3x+2x>0，
易知其对称轴为，即
，
易知，所以，
则x2ex-2x-xlnx-2sinx+2≥2e-1x2-e+1x-2sinx+2>nx>0，
证毕.
【点睛】关键点睛：第三问解析式含有指数、对数、三角函数，证明需要利用合理的放缩化为简单的函数，而根据第一问的结论将含指数与对数式的部分转化放缩为二次函数大大减轻计算量.