河南省南阳市南召县2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市南召县2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题 分）等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分； 共30分）
1. 若分式有意义，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
根据分母不为零，分式有意义进行选择即可．
【详解】解：当分母，即时，分式有意义，
故选：C．
2. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值． 某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
3. 如图，枫叶遮盖了一点P，则点P的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
根据图形可得点P在第四象限，再根据第四象限内的点的坐标符号为（＋，－）进而得出答案．
【详解】解：由图形可得：点的坐标可能是．
故选：C．
4. 某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为分，其中，期中考试成绩占，期末考试成绩占，小海同学这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是分、分，则小海这个学期的体育综合成绩是（ ）
A. 分B. 分C. 分D. 分
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，利用加权平均数计算公式计算即可求解，掌握加权平均数计算公式是解题的关键．
【详解】解：小海这个学期的体育综合成绩为分，
故选：．
5. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ）
A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
【详解】根据平移的性质，得到，
故选：C．
6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质： 比较反比例函数值或自变量的大小，先把，，都代入，算出，，的值，再作比较，即可作答．
【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上，
∴把，，都代入，
得
∴
故选：A
7. 如图，菱形的对角线交于点O，，，将绕点O顺时针方向旋转得到，连接．若点D的对应点E恰好落在线段上，则的面积是（ ）
A. 6B. 9C. 18D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，先由菱形对角线互相垂直平分得到，，再由旋转的性质可得，则三点共线，据此根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线交于点O，，，
∴，，
∵将绕点O顺时针方向旋转得到，点D的对应点E恰好落在线段上，
∴，
∴三点共线，
∴，
∴，
故选：B．
8. 已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：分式方程去分母得，，
解得，
∵分式方程 的解是非负数，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
∴且，
故选：．
9. 如图，射线、分别表示买牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：千克）关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的倍少元，设买猪肉每千克所需的费用为元，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题的关键．设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元，再结合图像列出方程即可．
【详解】解：设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元，
根据题意可得：，
故选：D．
10. 如图，是正方形对角线BD上一点，，，分别为垂足，若，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，连接，可得，得到，由勾股定理得，再证明四边形为矩形，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（每小题3分； 共15分）
11. 写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式分母不等于零，结合分式的概念解答即可．
【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0，
∴x2+1≠0，
∴是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零．
12. 名学生的鞋号由小到大是： ， 这组数据的平均数、中位数和众数中，指标______是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）．
【答案】众数
【解析】
【分析】本题考查了众数，众数是数据中出现最多的数，即代表销售量最多的鞋号，据此即可求解，掌握众数的意义是解题的关键．
【详解】解：这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是众数，
故答案为：众数．
13. 直线向下平移个单位所得到的直线不经过的象限是______．
【答案】二
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的图象，根据一次函数图象的平移规律求出平移后直线的解析式，再根据解析式即可求解，掌握一次函数图象平移规律和性质是解题的关键．
【详解】解：把直线向下平移个单位得到的函数解析式为，
∵，，
∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为_________．
【答案】16
【解析】
【分析】首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出四边形ABEF是菱形，然后利用菱形的性质求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
．
∵BF平分，
，
，
，
同理可得，
，
∵四边形ABEF是平行四边形．
∴四边形ABEF是菱形，
，
，
，
，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查平行四边形和菱形的性质，掌握平行四边形和菱形的性质及勾股定理是关键．
15. 如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点在坐标轴上，，的面积为10，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，轴，进而可得，又由，可得，，设点的坐标为，则，，由四边形是矩形得，即得到，得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，轴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设点的坐标为，则，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
三、解答题 分）
16. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分 10分）：
甲： 7， 6， 9， 6， 7， 10， 8， 8， 9， 9；
乙： 8， 8， 6， 7， 9， 7， 9， 8， 8， 9．
②服务质量得分统计图（满分 10 分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息； 回答下列问题：
（1）填空： ______，比较大小： ______
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？ 请说明理由．
【答案】（1），
（2）小刘应选择甲公司，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和方差的概念即可解答；
（2）综合分析表中的统计量，即可解答；
本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键．
【小问1详解】
解：将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，
从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，
所以这组数据的中位数为，即，
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，
从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，
即；
故答案为：8，．
【小问2详解】
解：小刘应选择甲公司，理由如下：
配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好，
服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司．
18. 已知等腰三角形周长为20．
（1）写出底边长关于腰长的函数解析式（为自变量）；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的周长=两腰之和+底边的长，建立等式就可以求出函数解析式．
（2）根据三角形的三边关系建立不等式，就可以求出自变量的取值范围．
（3）运用描点法，通过列表、描点、连线的步骤，就可以画出函数的图象．
【小问1详解】
解：等腰三角形周长为20，底边长为，腰长为，
，
移项，得：，
底边长关于腰长的函数解析式是：；
【小问2详解】
由题意得：，
解得：，
自变量的取值范围是；
【小问3详解】
（1）（2）中已求出函数解析式为，
取值时，要在之间，若，则；若，则，
，这两点是取不到的，
用空心表示两点，连接两个空心点，即为所求图象，如图：
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的运用．对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义，此时的函数图象可能是线段或射线等．
19. 如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析
（3）当时，四边形是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形；
（3）当时，求出，结合菱形的性质求出，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，在中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问3详解】
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线AB与轴相交于点，连接．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式 的解集；
（3）尺圆作图：过点作轴，交于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出梯形的面积．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
（2）；
（3）作图见解析，梯形的面积为．
【解析】
【分析】（）把代入可求出反比例函数的表达式，进而求出点坐标，再利用待定系数法可求出一次函数解析式；
（）根据函数图象解答即可求解；
（）作即可得到直线BD，再求出点坐标即可求出梯形的面积；
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的几何应用，根据题意正确画出图形是解题的关键．
【小问1详解】
解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
把代入得，，
∴a=2，
∴，
把、代入y=mx+n得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可得，当时，，
∴关于的不等式 的解集为；
【小问3详解】
解：如图所示，直线即为所求；
设直线的解析式为，把代入得，，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的纵坐标相同，
∴点的纵坐标为，
把代入y=2x得，，
∴x=1，
∴，
∴，
把代入得，，
∴x=6，
∴，
∴，
∴．
21. 某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
【答案】（1）甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元
（2）最低费用为11000元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
对于，设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
对于，设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙类型的笔记本单价为(元，
答：甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元；
【小问2详解】
设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了件，
购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴且，，
解得，
根据题意得，
，
随a的增大而减小，∴时，w最小值为（元），
答：最低费用为11000元．
22. 【教材呈现】
下图是华师版八年级下册数学教材第页练习的部分内容：
如图，如果直线 那么的面积和的面积是相等的．请你证明这个结论．
【方法探究】
如图，在中，点在边上，若则与之间的关系为___________：
【方法应用】
如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为，函数的图象经过点，且与AB 交于点 ．若 求的面积．
【答案】教材呈现：证明见解析；方法探究：；方法应用：．
【解析】
【分析】教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则，可得四边形是平行四边形，得到，再根据三角形的面积公式即可求证；
方法探究：过点作于，过点作的延长线于点，
同理教材呈现可得，再根据三角形的面积公式即可求解；
方法应用：连接，由教材呈现可得，，由轴可得，，得到，再根据勾股定理得，进而根据菱形的性质得，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】教材呈现：如图，过点作于，过点作于，则，
∵，
∴四边形平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
即的面积和的面积相等；
方法探究：如图，过点作于，过点作延长线于点，
同理教材呈现可得，
∵，，
∴，
故答案为：；
方法应用：连接，由教材呈现可得，，
∵轴，函数的图象经过点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，反比例函数比例系数的几何意义，勾股定理，菱形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
23. [特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点．
（1）证明：．
（2）[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：．
（3）[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）过点作交于点，交于点，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证；
（3）连接，由（2）可知：，勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
又点分别为的中点，
，
，
在与中
，
，
，
，
，
，
即；
【小问2详解】
证明：过点作交于点，交于点．
四边形是平行四边形
，
，
；
【小问3详解】
连接，由折叠可知
由（2）可知
点是的中点，
在Rt中，由勾股定理得
的长为．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，折叠问题，以及勾股定理，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键．统计量快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
m
n
7
乙
8
8
7