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福建省福州市仓山区时代华威中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）
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这是一份福建省福州市仓山区时代华威中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 抛物线的顶点在等内容，欢迎下载使用。
1. 下面的点中，在函数的图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数的函数值．熟练掌握一次函数的函数值的求解是解题的关键．
分别将各选项的点坐标代入，然后判断作答即可．
【详解】解：当时，，则不在函数的图像上，故A不符合要求；
当时，，则不在函数的图像上，故B不符合要求；
当时，，则不在函数的图像上，故C不符合要求；
当时，，则在函数的图像上，故D符合要求；
故选：D．
2. 如图，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，平行线的判定等知识，由题中四个选项，结合平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、，
四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
B、由平行四边形的判定定理，，无法确定四边形是平行四边形，选项符合题意；
C、由平行四边形的判定定理，，确定四边形是平行四边形，选项不符合题意；
D、，
，
四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
故选：B．
3. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，24
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可．
【详解】这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24．
故选C．
4. 如图，在中，，．若以点C为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点D，则的半径为（ ）
A. B. 8C. 6D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得解．
【详解】解：连接，
∵，，为的中点，
∴，
∴的半径为：5；
故选D．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
5. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到，
，，
．
故选：C．
6. 如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】解：由圆周角定理可知：，
，
，
解得，
故选A．
7. 抛物线的顶点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，正确确定抛物线的顶点是解此题的关键.先确定抛物线的顶点，再确定点的位置．
【详解】解：抛物线的顶点是，
故顶点在第三象限，
故选：C．
8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人，
根据题意，得，
故选：C．
9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧，
故选：D．
10. 已知函数在上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A. 1B. C. 或D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】由解析式可确定抛物线对称轴，对参数取值分类讨论，开口向上或开口向下，分别在自变量取值范围内确定极值列方程求解.
【详解】解：∵二次函数解析式，
∴二次函数对称轴为．
①当时，二次函数开口向下，时，函数有最大值9．
∴，解得．
②当时，二次函数开口向上，在上有最大值9，
∴当时，函数最大值为9，即，解得．
综上分析，a的值为或1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，注意根据二次函数性质对待定参数分类讨论是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 _________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”．
根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线的解析式为，
即，
故答案为：．
12. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先把代入方程中，得出关于的方程求出的值，然后再根据根与系数的关系得出另一个根的值．
详解】解：把代入方程中，
得：，
解得，
方程化为，
，
，
解得：，
故答案为：．
13. 若点与点关于原点对称，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征， 根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出，m，n的值，然后在代入代数式求值即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：5．
14. 设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值：
则方程的解是 _____．
【答案】，
【解析】
【分析】利用中对应值可判断点 与点 为二次函数图象上的对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线 ，然后利用抛物线的对称性得到 ，所以方程 的解为 ．
【详解】解：由表中对应值得二次函数图象经过点和，
∴点与点为二次函数图象上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点 与 关于直线对称，
即 时， ，
∴ ，
∴方程的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a,b,c是常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15. 如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是_____cm．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用．设圆心为，连接，依题得，为的中点，则三点共线，，设圆的半径为，由，则，再用勾股定理列出等量关系求解即可．
【详解】解：如图，设圆心为，连接，
依题得，为的中点
则三点共线，
设圆的半径为，由，则
在中，由勾股定理得
解得．
故答案为：10．
16. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
先将抛物线化为顶点式，可得该抛物线的对称轴是；然后求出抛物线与轴、轴的交点，即点、点、点；在y轴上取点，连接，，，证明四边形是平行四边形；当E、C、F三点共线时，最小，求得直线解析式：最后直线经过对称轴，代入即可得到答案．
【详解】解：，
∴对称轴为，
如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，
当时，，
∴，
当时，，
解得，，
∴，，
在y轴上取点，连接，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
当E、C、F三点共线时，最小，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∴当最小时，C的坐标为．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17. 解一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键．
（1）用公式法求解；
（2）因式分解法求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴原方程的解为：，；
【小问2详解】
解：
，
∴或，
解得或，
∴原方程的解为：．
18. 已知一次函数的图象经过点和点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）求一次函数的图象与x轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与x轴的交点坐标：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时x的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：把和代入中得
解得
∴一次函数的表达式为．
【小问2详解】
解：在中，当时，则，
解得
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为．
19. 如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，得出，求出，即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握三个量关系定理．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向上平移5个单位后得到，请画出
（2）将绕原点逆时针旋转后得到，请画出；
（3）判断以，，为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）等腰直角三角形
【解析】
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，再连接即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）分别计算出的长度，运用勾股定理逆定理进行判断即可．
【小问1详解】
如图，即为所求作；
【小问2详解】
如图，即为所作：
【小问3详解】
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，
理由：∵，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查作图-中心对称变换，平移变换，等腰直角三角的判断，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
【答案】（1）见详解；（2）5
【解析】
【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22. 关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
（1）由方程求出判别式即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
【小问1详解】
解：，
∵方程总有两个实数根，
【小问2详解】
由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
23. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售量为y（件），销售该品牌玩具获得利润为w元 ．
（1）销售量为y与x关系式为 ；
（2）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元；
（3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）50元或80元 （3）8640元
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具，进而表示出销量即可；
（2）结合（1）以及获得了10000元销售利润可得方程，解方程即可；
（3）易得，结合二次函数的性质分析，即可解答．
【小问1详解】
解：根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具，
则销量为，
故答案为：；
【小问2详解】
依题意得：，
化简得：，
∴，
∴
∵，
∴销售价应定为50元或80元
【小问3详解】
∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务
∴，
∴解得：
而，
∵，
∴开口向下，有最大值，
∴，
∴当时，w随x的增大而增大
∴时，w最大
∴元
答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
24. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．
【答案】（1），
（2）是等腰直角三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，；
（2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立；
（3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．
【小问1详解】
解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接，
∵，
∴当点三点共线时，最大，
如图：
最大时，的面积最大，
最大，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
∵点M为中点，
，
在中，，同上可求，
，
同上可得：，
∴，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1所示，P是第一象限抛物线上一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）P点的坐标是
（3），，，
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作直线，过点P作轴，交于点K，求出直线解析式，设P的坐标为，则点K的坐标是，，表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质即可求解；
（3）分和两种情况求解即可．
【小问1详解】
∵对称轴为直线，点A的坐标是，则B的坐标是，
则，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
如图，作直线，过点P作轴，交于点K，
∵对称轴为直线，
∴点D的坐标是，
当时，，
∴点，直线解析式为，
则，
∴，
∴，
设P的坐标为，则点K的坐标是，
∴，
∴，
则，
则，
∴当时，有最大值10，此时P点坐标是；
【小问3详解】
设点，
由点O、P、M的坐标得，，，，
当时，即，
解得：；
即点或；
当时，则，
解得：或，
则点或．
综上，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查是二次函数综合运用，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，面积的计算等知识，数形结合是解答本题的关键．
x
…
﹣2
0
2
4
…
y
…
﹣1.5
2.5
m
﹣1.5
…
1. 下面的点中，在函数的图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数的函数值．熟练掌握一次函数的函数值的求解是解题的关键．
分别将各选项的点坐标代入，然后判断作答即可．
【详解】解：当时，，则不在函数的图像上，故A不符合要求；
当时，，则不在函数的图像上，故B不符合要求；
当时，，则不在函数的图像上，故C不符合要求；
当时，，则在函数的图像上，故D符合要求；
故选：D．
2. 如图，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，平行线的判定等知识，由题中四个选项，结合平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、，
四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
B、由平行四边形的判定定理，，无法确定四边形是平行四边形，选项符合题意；
C、由平行四边形的判定定理，，确定四边形是平行四边形，选项不符合题意；
D、，
，
四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
故选：B．
3. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，24
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可．
【详解】这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24．
故选C．
4. 如图，在中，，．若以点C为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点D，则的半径为（ ）
A. B. 8C. 6D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得解．
【详解】解：连接，
∵，，为的中点，
∴，
∴的半径为：5；
故选D．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
5. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到，
，，
．
故选：C．
6. 如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】解：由圆周角定理可知：，
，
，
解得，
故选A．
7. 抛物线的顶点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，正确确定抛物线的顶点是解此题的关键.先确定抛物线的顶点，再确定点的位置．
【详解】解：抛物线的顶点是，
故顶点在第三象限，
故选：C．
8. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人，
根据题意，得，
故选：C．
9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧，
故选：D．
10. 已知函数在上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A. 1B. C. 或D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】由解析式可确定抛物线对称轴，对参数取值分类讨论，开口向上或开口向下，分别在自变量取值范围内确定极值列方程求解.
【详解】解：∵二次函数解析式，
∴二次函数对称轴为．
①当时，二次函数开口向下，时，函数有最大值9．
∴，解得．
②当时，二次函数开口向上，在上有最大值9，
∴当时，函数最大值为9，即，解得．
综上分析，a的值为或1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，注意根据二次函数性质对待定参数分类讨论是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 _________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”．
根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线的解析式为，
即，
故答案为：．
12. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先把代入方程中，得出关于的方程求出的值，然后再根据根与系数的关系得出另一个根的值．
详解】解：把代入方程中，
得：，
解得，
方程化为，
，
，
解得：，
故答案为：．
13. 若点与点关于原点对称，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征， 根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出，m，n的值，然后在代入代数式求值即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：5．
14. 设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值：
则方程的解是 _____．
【答案】，
【解析】
【分析】利用中对应值可判断点 与点 为二次函数图象上的对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线 ，然后利用抛物线的对称性得到 ，所以方程 的解为 ．
【详解】解：由表中对应值得二次函数图象经过点和，
∴点与点为二次函数图象上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点 与 关于直线对称，
即 时， ，
∴ ，
∴方程的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a,b,c是常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15. 如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是_____cm．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用．设圆心为，连接，依题得，为的中点，则三点共线，，设圆的半径为，由，则，再用勾股定理列出等量关系求解即可．
【详解】解：如图，设圆心为，连接，
依题得，为的中点
则三点共线，
设圆的半径为，由，则
在中，由勾股定理得
解得．
故答案为：10．
16. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
先将抛物线化为顶点式，可得该抛物线的对称轴是；然后求出抛物线与轴、轴的交点，即点、点、点；在y轴上取点，连接，，，证明四边形是平行四边形；当E、C、F三点共线时，最小，求得直线解析式：最后直线经过对称轴，代入即可得到答案．
【详解】解：，
∴对称轴为，
如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，
当时，，
∴，
当时，，
解得，，
∴，，
在y轴上取点，连接，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
当E、C、F三点共线时，最小，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∴当最小时，C的坐标为．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17. 解一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键．
（1）用公式法求解；
（2）因式分解法求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴原方程的解为：，；
【小问2详解】
解：
，
∴或，
解得或，
∴原方程的解为：．
18. 已知一次函数的图象经过点和点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）求一次函数的图象与x轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与x轴的交点坐标：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时x的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：把和代入中得
解得
∴一次函数的表达式为．
【小问2详解】
解：在中，当时，则，
解得
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为．
19. 如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，得出，求出，即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握三个量关系定理．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向上平移5个单位后得到，请画出
（2）将绕原点逆时针旋转后得到，请画出；
（3）判断以，，为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）等腰直角三角形
【解析】
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，再连接即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）分别计算出的长度，运用勾股定理逆定理进行判断即可．
【小问1详解】
如图，即为所求作；
【小问2详解】
如图，即为所作：
【小问3详解】
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，
理由：∵，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查作图-中心对称变换，平移变换，等腰直角三角的判断，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
【答案】（1）见详解；（2）5
【解析】
【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22. 关于的一元二次方程．
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
（1）由方程求出判别式即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
【小问1详解】
解：，
∵方程总有两个实数根，
【小问2详解】
由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
23. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售量为y（件），销售该品牌玩具获得利润为w元 ．
（1）销售量为y与x关系式为 ；
（2）若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元；
（3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）50元或80元 （3）8640元
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具，进而表示出销量即可；
（2）结合（1）以及获得了10000元销售利润可得方程，解方程即可；
（3）易得，结合二次函数的性质分析，即可解答．
【小问1详解】
解：根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具，
则销量为，
故答案为：；
【小问2详解】
依题意得：，
化简得：，
∴，
∴
∵，
∴销售价应定为50元或80元
【小问3详解】
∵该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务
∴，
∴解得：
而，
∵，
∴开口向下，有最大值，
∴，
∴当时，w随x的增大而增大
∴时，w最大
∴元
答：该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
24. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．
【答案】（1），
（2）是等腰直角三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，；
（2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立；
（3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．
【小问1详解】
解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
【小问3详解】
解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接，
∵，
∴当点三点共线时，最大，
如图：
最大时，的面积最大，
最大，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
∵点M为中点，
，
在中，，同上可求，
，
同上可得：，
∴，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1所示，P是第一象限抛物线上一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）P点的坐标是
（3），，，
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作直线，过点P作轴，交于点K，求出直线解析式，设P的坐标为，则点K的坐标是，，表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质即可求解；
（3）分和两种情况求解即可．
【小问1详解】
∵对称轴为直线，点A的坐标是，则B的坐标是，
则，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
如图，作直线，过点P作轴，交于点K，
∵对称轴为直线，
∴点D的坐标是，
当时，，
∴点，直线解析式为，
则，
∴，
∴，
设P的坐标为，则点K的坐标是，
∴，
∴，
则，
则，
∴当时，有最大值10，此时P点坐标是；
【小问3详解】
设点，
由点O、P、M的坐标得，，，，
当时，即，
解得：；
即点或；
当时，则，
解得：或，
则点或．
综上，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查是二次函数综合运用，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，面积的计算等知识，数形结合是解答本题的关键．
x
…
﹣2
0
2
4
…
y
…
﹣1.5
2.5
m
﹣1.5
…
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