广东省湛江市博雅学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份广东省湛江市博雅学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了已知，且，则，如图，直线的斜率分别为，则，下列说法中，错误的是，已知，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共4页，22小题，满分为150分，考试用时120分钟.
2.答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项日填写清楚.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题卷上，在试题卷上作答无效.
一､单选题（共8小题，40分）
1.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（）
A. B. C. D.
2.若平面的法向量，直线的方向向量，则（）
A. B.
C. D. 或
3.已知，且，则（）
A. B.
C. D.
4.如图，直线的斜率分别为，则（）
A. B.
C. D.
5.如图，在四面体中，且，用表示，则等于（）
A. B.
C. D.
6.已知空间中非零向量，且，则的值为（）
A. B.133 C. D.61
7.直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
8.正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（）
A. B. C. D.
二､多选题（共4小题，20分）
9.下列说法中，错误的是（）
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
10.已知，则下列结论正确的是（）
A.
B.
C.为钝角
D.在方向上的投影向量为
11.已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）
A. B.
C. D.
12.在正三棱柱中，，点满足，其中，则（）
A.当时，的周长为定值
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点，使得
D.当时，有且仅有一个点，使得平面
三､填空题（共4小题，20分）
13.平面的法向量是，点在平面内，则点到平面的距离为__________.
14.两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为__________.
15.若直线与平行，则实数的值是__________.
16.如图，棱长为2正方体为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是__________.
四､解答题（共6小题，70分）
17.已知点.
（1）求直线的倾斜角
（2）过点的直线与过两点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围.
18.设，向量，且.
（1）求；
（2）求向量与夹角的大小.
19.如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点.
（1）以为一组基底表示向量；
（2）若，求.
21.已知.
（1）若可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形.
22.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
参考答案：
1.A【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.
2.D【详解】因为，所以或.
3.B【详解】向量，则，因，于是得，解得，
所以.
4.D【详解】由斜率的定义知，.
5.C【详解】因为，
所以，
故
6.A【详解】因为，
所以
7.C【详解】以为原点，直线为轴，直线为y轴，直线为轴，则设，则，故，，所以，故选C.
8.A【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体，
所以其体积为.
设正四面体内切球的半径为，
则，得.
如图，取的中点为，则
.
显然，当的长度最小时，取得最小值.
设正四面体内切球的球心为，可求得
.
因为球心到点的距离
，
所以球上的点到点的最小距离为，
即当取得最小值时，点到的距离为.
9.ABD【详解】解析A错，因为倾斜角为的直线没有斜率；B错，因为时，时，C显然对；若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，D错.
10.BD【详解】因为，所以不垂直，A错，因为，所以对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量对，
11.AC
【详解】A.设，则无解，故正确；
B.设，则，解得，故错误；
C.设，则，无解，故正确；
D.设，则，解得，故错误；
12.BD【详解】易知，点在矩形内部（含边界）.
对于A，当时，，即此时线段周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点
轨迹为线段，而平面，则有到
平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.
对于C，当时，，取中点分别为，
则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，则，，所以或.故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取中点为，所以点轨迹为线段.设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确.
13.
【详解】解：设直线与平面所成的角为，
则点到平面的距离为
14.
【详解】解：两平面的法向量分别为，
设两平面的夹角为，所以，因为，
所以，即两平面的夹角为.
15.-1【详解】解：因为直线与平行，
所以，解得，
当时，直线与，两条直线重合，故舍去.
当时，直线与，符合题意.
16.【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，设点，
，
因为，则，即，即
点，由题意可得，则，
取点，则点的轨迹为线段，设点关于直线
的对称点为点，
则线段的中点在直线上，所以，，可得，①，②，
联立①②可得，则点，由对称性可知，
所以，点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值，
即为点到平面的距离，即为.
17.（1）（2）
【详解】（1）由已知得：直线的斜率
，又
（2）直线的斜率
直线的斜率
过点直线与过两点的线段有公共点，
直线斜率的取值范围为
18.（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，，
可得，解得，
则，所以，
故.
（2）因为，
所以，
故向量与的夹角为.
19.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）由题意知，两两互相垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
底面底面
又，
且平面，
平面，
所以是平面的一个法向量.
因为，所以.
又平面，所以P平面.
（2）因为，
所以，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.
故：直线与平面所成角的正弦值为.
20.（1）；（2）-3.
【详解】（1）为线段的中点，，
，
（2）
21.（1）或或；（2）平行四边形为菱形，平行四边形不是菱形.
【详解】（1）由题意得，
，设.
若四边形是平行四边形，则，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，
即，解得，即.
综上，点的坐标为或或.
（2）若的坐标为，因为，
所以，所以，所以平行四边形为菱形.
若的坐标为，因为，
所以，所以平行四边形不是菱形.
若的坐标为，因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.因此，平行四边形为菱形，平行四边形不是菱形.
22.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）连接，由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，；
又为中点，，
因为二面角为直二面角，
即平面平面，平面平面
平面，
平面，又平面；
又平面平面.
（2）为等边三角形，
平面平面，平面平面平面平面，
则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设，则，
由（1）知：平面平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，则；
，
令，则；
，
即锐二面角的余弦值的取值范围为.