2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. x+2y=1B. ax2+bx+c=0C. 3x+1x=4D. x2−2=0
2.下列各曲线中表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
3.在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 7，24，25C. 1，1， 2D. 3， 5， 6
4.在▱ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠D的度数为( )
A. 120°B. 105°C. 100°D. 75°
5.一次函数y=−x+3的图象经过( )
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
6.顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是( )
A. 矩形B. 菱形C. 等腰梯形D. 正方形
7.某商场对商场中现有空调进行两次提价，提价后的价格为提价前的121%，则平均每次提价的百分数为( )
A. 8%B. 10%C. 12%D. 20%
8.如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形△CDE，则∠AED的度数为( )
A. 10°
B. 12.5°
C. 15°
D. 20°
9.给出以下四个命题：
①对角线相等的四边形是矩形；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的矩形是正方形；
④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍.其中真命题有( )个．
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM//AD，交AB于点M，EN//AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是( )
A. AMBM=NEDEB. AMAB=ANADC. BCME=BEBDD. BDBE=BCEM
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.函数y= x−1中自变量x的取值范围是______．
12.方程x2=2的根是______．
13.一次函数y=(2m−6)x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________．
14.若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是______．
15.如图，已知OA=OB，BC⊥AC于点C.点O对应的数是0，点C对应的数是−2，AC=1，那么数轴上点B所表示的数是______．
16.已知直角三角形两边的长分别为5和12，则第三边的长为______．
17.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,2)，则不等式kx+b>0的解集为______．
18.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，
连接OH，∠CAD=35°，则∠HOB的度数为______．
19.△ABC中，∠ABC=30°，AB=2 3，AC=2，则BC=______．
20.如图，正方形ABCD中，点E在AD上，点F在AC上，∠BFE=90°，连接BE交AC于点G，若AG=24，CG=32，则GF的长是______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
解方程：x(2x−4)=5−8x．
22.(本小题7分)
图1，图2中的小正方形的边长均为1，线段AB，EF的端点A，B，E，F均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出一个以线段AB为边的平行四边形ABCD，点C，D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为8；
(2)在图2中画出以线段EF为边的菱形EFGH，点G，H均在小正方形的顶点上，且菱形EFGH的面积为8，连接FH，直接写出FH的长．
23.(本小题8分)
某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作.当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示．
(1)填空：机器每分钟加油量为______L，机器工作的过程中每分钟耗油量为______L；
(2)求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．
25.(本小题10分)
华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
(2)华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
26.(本小题10分)
综合与实践：
【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
27.(本小题10分)
已知：在平面直角坐标系中，直线AC交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，直线AC的解析式为y=52x+b(b>0)，经过点C的直线交x轴正半轴于点B，OB=OC，AC= 29．
(1)如图1，求直线BC的解析式；
(2)如图2，点H在OB上，过点H作x轴的垂线，交BC于点F，点E在OC上，连接AE并延长交直线FH于点D，OE=BH，设直线AE的解析式为y=5−t2x+5−t(0(3)如图3，在(2)的条件下，连接CD并延长至点M，连接EM，∠CME=45°，过点D作x轴的平行线，交EM延长线于点N，直线BN解析式为y=3x−15，求点N的坐标．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.D
5.B
6.B
7.B
8.C
9.C
10.D
11.x≥1
12.± 2
13.m<3
14.k=−1
15.− 5
16.13或 119
17.x<4
18.70°
19.4或2
20.25
21.解：方程化为2x2+4x−5=0，
a=2，b=4，c=−5，
Δ=b2−4ac=42−4×2×(−5)=56>0，
方程有两个不等的实数根，
∴x=−b± b2−4ac2a=−4± 562×2=−4±2 144=−2± 142，
即x1=−2+ 142，x2=−2− 142．
22.解：(1)如图，四边形ABCD即为所求；
(2)如图，四边形EFGH即为所求．FH= 42+42=4 2．

23.(1)3，0.5；
(2)当10有图象可得：10k+b=3060k+b=5，
解得：k=−0.5b=35，
∴y=−0.5x+35，
即机器工作时y关于x的函数解析式为y=−0.5x+35(1024.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
25.解：(1)设购买一个A品牌的足球需x元，则购买一个B品牌的足球需(x+30)元，由题意得
2500x=2000x+30×2
解得：x=50
经检验x=50是原方程的解，
x+30=80
答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．
(2)设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球(50−a)个，由题意得
50×(1+8%)(50−a)+80×0.9a≤3260
解得a≤3119
因为a是整数，
所以a最大等于31，
答：华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球．
26.解：(1)四边形ABCD是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵GD⊥DF，
∴∠FDG=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
又∵AG=CF，∠G=∠DFC=90°，
∴△ADG≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD是正方形；
(2)HF=AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，
∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
∴△ADG≌△CDF(AAS)，
∴AG=CF，DG=DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG=HF=AH+AG=AH+CF；
(3)连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，
∵AH⊥CE，AH=HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM=45°，
∴∠HAB=∠MAC，
∵AHAM=ABAC= 22，
∴△AHB∽△AMC，
∴BHCM=AHAM= 22，
即BH= 22CM．
27.解：(1)当x=0时，y=52×0+b=b，
∴C(0,b)，
∴OC=b，
当y=0时，52x+b=0，
解得，x=−25b，
∴A(−25b,0)，
∴OA=25b，

在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA2+OC2=AC2，
∴(25b)2+b2=( 29)2，
解得：b=5．
∴C(0,5)，A(−2,0)．
∵OB=OC，
∴OB=5．
∴B(5,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+a(k≠0)，
∴a=55k+a=0，
解得：k=−1，a=5．
∴直线BC的解析式为：y=−x+5；
(2)当y=0时，y=5−t2⋅0+5−t=5−t
∴OE=5−t，
∴BH=OE=5−t，
∵OB=OC，∠BOC=90°，

∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵DH⊥x轴，
∴∠OHF=90°，
∴∠HFB=45°，
∴∠HFB=∠OBC，
∴FH=BH=5−t，
∴OH=OB−OH=5−(5−t)=t，
∴点D的横坐标为t，
∴点D的纵坐标为y=5−t2⋅t+5−t=−12t2+32t+5，
∴DH=−12t2+32t+5，
∴d=DF=DH−FH=−12t2+32t+5−(5−t)=−12t2+52t；
(3)过点C作CK⊥CM，连接FE并延长交CK于点K，连接DK，
过点C作CL⊥HD交HD的延长线于L，

∵OE//FH，OE=FH，
∴四边形EOHF为矩形．
∴EF//x轴．
∵DN//x轴，
∴DN//FK，
∵四边形EOHF为矩形，
∴∠CEF=90°，∠EFL=90°，
∵∠L=90°，
∴四边形CEFL为矩形，
∵∠OCB=45°，
∴∠EFC=90°−45°=45°
∴∠OCB=∠EFC，
∴CE=EF，
∴四边形CEFL为正方形，
∴CE=CL，∠ECL=90°，
∵CK⊥CM，
∴∠KCD=90°，
∴∠KCD=∠ECL，
∴∠KCD−∠ECD=∠ECL−∠ECD，
即∠KCE=∠DCL，
∵∠L=∠CEK，
∴△CEK≌△CLD(ASA)，
∴CK=CD，KE=DL，
∴∠CKD=∠CDK=(180°−90°)÷2=45°，
∵∠CME=45°，
∴∠CME=∠CDK，
∴DK//NE，
又∵DN//KE，
∴四边形KEND为平行四边形，
∴DN=KE，
∴DN=DL，
∵由(2)知D(t,−12t2+32t+5)，DN//x轴，
∴点N的纵坐标为−12t2+32t+5，
∵直线BC的解析式为y=3x−15，−12t2+32t+5=3x−15，
解得：x=−16t2+12t+203，
∴DN=−16t2−12t+203，
∵LH=CO=5，DH=−12t2+32t+5，
∴LD=LH−DH=5−(−12t2+32t+5)=12t2−32t，
∴12t2−32t=−16t2−12t+203，
解得：t1=4，t2=−52(不合题意，舍去)，
∴N(6,3)．