2023-2024学年四川省成都市石室中学竞赛班高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市石室中学竞赛班高一（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R)为纯虚数，则复数z+a在复平面上的对应点的位置在( )
A. 第一象限内B. 第二象限内C. 第三象限内D. 第四象限内
2.数据x1，x2，…，x10的方差s2=0，则下列数字特征一定为0的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 极差
3.某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的扇形图(如图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图(如图)，则下列命题错误的是( )
A. 成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人
B. 成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人
C. 成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人
D. 成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多
4.命题“∃x∈[1,2]，x3+2x−a>0”为假命题的一个必要不充分条件是( )
A. a≥11B. a≤11C. a≥12D. a≤12
5.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且sinA=2sinB，2acsC+b=0，则csA=( )
A. 154B. 104C. 64D. 14
6.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=π3，且CF=λCD，CE=μCB，若AC=37AF+67AE，则λ+μ=( )
A. 23
B. 1
C. 43
D. 2
7.如图，AC是圆O的直径，∠DCA=45°，DA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AM⊥DC于M，AN⊥DB于N，则下列结论不正确的是( )
A. 平面ABC⊥平面DAC
B. CB⊥平面BAD
C. CD⊥平面AMN
D. 平面AMN⊥平面DAB
8.美国数学家JackKiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比t= 5−12≈0.618，现给出三倍角公式cs3α=4cs3α−3csα，则t与sin18°的关系式正确的为( )
A. 2t=3sin18°B. t=2sin18°C. t= 5sin18°D. t= 6sin18°
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,−2)，b=(λ,1)，则下列说法中正确的是( )
A. 若a//b，则λ=12 B. 若a⊥b，则λ=2
C. 若λ0).若f(x)的图象向左平移π3个单位所得的图象与f(x)的图象重合，则ω的最小值为______．
15.若某球体的半径与某圆锥的底面半径相等，且该球体的表面积为S1，体积为V1，该圆锥的侧面积为S2，体积为V2，若2S1S2=V1V2，则该球体半径与该圆锥母线的比值为______．
16.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=40米，则云台阁的高度为______米.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)= 3sin2x+cs2x．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和对称中心；
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的值域．
18.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=120°，AB=2，AD=3，且BC=kAD,AB⋅BC=1，若P，Q为线段AD上的两个动点，且|PQ|=1．
(1)当P为AD的中点时，求CP的长度；
(2)求CP⋅CQ的最小值．
19.(本小题12分)
2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=4a．
(Ⅰ)求图中a的值并估计满意度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？
(Ⅲ)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日−6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日−6月14日调查的6万份数据中其满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日一6月14日的总样本的平均数与方差．
20.(本小题12分)
如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，α=∠BAD，β=∠DAC．
(1)证明：BDDC=AB⋅sinαAC⋅sinβ；
(2)若D为靠近B的三等分点，AB=2 7，AC=2，β=90°，∠BAC为钝角，求S△ACD．
21.(本小题12分)
如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACC1A1是等腰梯形，且A1C1=AA1=1，D为A1C1的中点．
(Ⅰ)证明：AC⊥BD；
(Ⅱ)若过B，B1，D三点的平面截三棱台ABC−A1B1C1所得的截面面积为9 316.当二面角A1−AC−B为锐二面角时，求二面角B1−BC−A的正弦值．
22.(本小题12分)
在四面体ABCD中，AB=a，CD=b，记四面体ABCD的内切球半径为r.分别过点A，B，C，D向其对面作垂线，垂足分别为H1，H2，H3，H4．
(1)是否存在四个面都是直角三角形的四面体ABCD？(不用说明理由)
(2)若垂足H1恰为正△BCD的中心，证明：r=b 3a2−b23 4a2−b2+ 3b；
(3)已知a+b=2024，证明：r0”为假命题的一个必要不充分条件是a≥11．
故选：A．
转化为∀x∈[1,2]，a≥x3+2x恒成立求出x3+2x的最大值即可．
本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
5.C
【解析】解：因为sinA=2sinB，所以a=2b，
因为2acsC+b=0，所以2a×a2+b2−c22ab+b=0，
化简得a2+2b2−c2=0，
将a=2b代入可得6b2=c2，即c= 6b，
所以csC=b2+c2−a22bc=b2+6b2−4b22b× 6b= 64．
故选：C．
根据正弦定理，将角化边，再用余弦定理的推论得到c= 6b，再次用余弦定理的推论求解csA即可．
本题考查正弦定理及余弦定理，属中档题．
6.B
【解析】解：由题意，以AD,AB向量作为基底，
因为CF=λCD,CE=μCB，且AD=BC,AB=DC，
则DF=(1−λ)DC,BE=(1−μ)BC，
所以AF=AD+DF=AD+(1−λ)DC=AD+(1−λ)AB，
AE=AB+BE=AB+(1−μ)BC=AB+(1−μ)AD，
所以AC=37AF+67AE=(97−67μ)AD+(97−37λ)AB，
又因为AC=AD+DC=AD+AB，
所以97−67μ=197−37λ=1，解得μ=13λ=23，
所以λ+μ=1．
故选：B．
以AD,AB向量作为基底，用基底表示AF=AD+(1−λ)AB，AE=AB+(1−μ)AD，然后代入已知条件得AC=(97−67μ)AD+(97−37λ)AB，再根据AC=AD+AB即可求解．
本题考查平面向量基本定理，属中档题．
7.D
【解析】解：AC是圆O的直径，∠DCA=45°，DA垂直于圆O所在的平面，
因为DA⊂平面DAC，所以平面DAC⊥平面BAC，所以A正确；
B中，由A选项可知BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC，
B为圆周上不与点A，C重合的点，
所以BC⊥AB，AB∩DA=A，
所以BC⊥平面BAD，所以B正确；
C中，因为AM⊥DC于M，AN⊥DB于N，
由B选项分析，可得AN⊂平面BAD，
所以BC⊥AN，BC∩DB=N，
所以AN⊥平面DBC，而DC⊂平面DBC，
所以AN⊥DC，而AN∩AM=A，
所以DC⊥平面AMN，所以C正确；
D中，由C选项的分析，无法判断DB是否与MN，AM垂直，
所以无法判断面AMN与平面DAB是否垂直，所以D不正确．
故选：D．
由DA垂直于圆O所在的平面，所以DA所在的平面都与圆O所在的平面，判断出A的真假；再由圆的性质可得BC⊥AB，由A选项的分析，可得BC⊥DA，进而可证得BC⊥平面DAB，判断出B的真假；由B选项的分析，可得AN⊥BC，进而可证得AN⊥平面DAC，进而可证得AN⊥CD，再由AM⊥DC，进而可证得CD⊥平面AMN，判断出C的真假；无法判断DB是否与MN，AM垂直，所以无法判断面AMN与平面DAB是否垂直，判断出D的真假．
本题考查线面垂直的判断定理的应用及线面垂直的性质定理的应用，属于中档题．
8.B
【解析】解：由三倍角公式有cs54°=4cs318°−3cs18°=sin36°=2sin18°cs18°，
化简得4cs218°−3=2sin18°，
∴4sin218°+2sin18°−1=0，
解得sin18°= 5−14(负值舍去)，
∴t=2sin18°．
故选：B．
结合已知三倍角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
9.BD
【解析】解：A.若a//b，则1+2λ=0，解得λ=−12，A错误；
B.若a⊥b，则a⋅b=λ−2=0，λ=2，B正确；
C.λ=−12 2，所以B错误，
对于C，设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则
z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，
z1⋅z2−=(a+bi)⋅(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)i，
所以|z1⋅z2|= (ac−bd)2+(ad+bc)2= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2，
|z1⋅z2−|= (ac+bd)2+(bc−ad)2= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2，
所以|z1z2|=|z1z2−|，所以C正确，
对于D，设z1，z2确定的向量分别为OZ1,OZ2，则由向量不等式得|OZ1−OZ2|≤|OZ1|+|OZ2|，
所以|z1−z2|≤|z1|+|z2|恒成立，所以D正确，
故选：ACD．
对于A，由1z1=z1−z1⋅z1−为虚数，得z1−为虚数，从而可判断A，对于B，由z1=−2i进行判断，对于C，设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，然后分别求解|z1z2|,|z1z2−|进行判断，对于D，根据复数的向量表示及向量的不等式分析判断．
本题考查复数的运算，属于中档题．
11.AC
【解析】解：由a+cb=sinA−sinBsinA−sinC，结合正弦定理可得a+cb=a−ba−c，
即为a2+b2−c2=ab，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=12，
由0