新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题10对数与对数函数(原卷版+解析)

这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题10对数与对数函数(原卷版+解析)，共56页。
题型一：对数运算
题型二：对数函数的定义及图像
题型三：对数方程、对数不等式
题型四：对数函数的性质（定义域、单调性、最值（值域））
题型五：对数函数中的恒成立问题
题型六：对数函数的综合问题
题型七：比较指数式、对数式大小
题型八：利用反函数性质解方程、不等式
【2024年高考预测】
2024年高考仍将重点考查对数与对数函数这两个考点，考查利用对数运算、及利用指对数函数图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．
【知识点总结】
1、对数式的运算
（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
（2）常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
（3） 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②（其中且，）；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
3、反函数的定义
设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成，的形式．函数，与函数，为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域．
【方法技巧与总结】
1、，．
2、如图给出4个对数函数的图象
则，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3、对数函数 （且）的图象恒过点．
4、反函数的性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典例例题】
题型一：对数运算
例1．（2023·河南·校联考模拟预测）若，，则____________.
例2．（2023·四川凉山·三模）若，则______．
例3．（2023·天津南开·统考二模）计算的值为______.
变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）若，则______．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为______.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）若，，用a，b表示____________
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若，，则___________．
【通性通解总结】
解决对数运算问题的常用方法
（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
（2）将同底对数的和、差、倍合并．
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
题型二：对数函数的定义及图像
例4．（2023·全国·高三专题练习）写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数的反函数图像经过点，则的值为___________.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且，则该函数图象恒过定点（ ）
A．B．C．D．
变式8．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）已知函数，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法．图像问题是数形结合．它为研究函数问题提供了思维方向．
题型三：对数方程、对数不等式
例7．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）不等式的解集是 _____.
例8．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程的解集为________．
例9．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.
变式10．（2023·上海·高三校联考阶段练习）不等式的解集为___________．
变式11．（2023·上海杨浦·统考一模）方程的解是________．
变式12．（2023·上海·高三专题练习）方程的解为___________．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）方程的实数解为_________.
【通性通解总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等．对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正．
题型四：对数函数的性质（定义域、单调性、最值（值域））
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的定义域是（ ）
A．或B．
C．D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的最小值为，则（ ）
A．B．2C．1D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）．
A．10B．1C．11D．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于任意，存在有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
变式20．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的单调递区间为（ ）
A．B．C．D．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【通性通解总结】
研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法．性质问题是数形结合．它为研究函数问题提供了思维方向．
题型五：对数函数中的恒成立问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．
变式25．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题．
（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键．
题型六：对数函数的综合问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则 （ ）
A．4B．5C．6D．7
例18．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
变式26．（2023·广西·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式27．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（ ）．
A．6B．C．2D．
变式28．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式29．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
变式30．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型七：比较指数式、对数式大小
例19．（2023·北京通州·统考三模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例20．（2023·北京密云·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例21．（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式31．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【通性通解总结】
①单调性法．
②中间量法．
③分类讨论法．
④比较法：有作差比较与作商比较两种
题型八：利用反函数性质解方程、不等式
例22．（2023·全国·高三专题练习）对于，不等式（，且）恒成立，则a的取值范围是_________．
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知是方程的解，是方程的解，则（ ）
A．B．
C．D．
变式32．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）定义在上的函数的反函数为，且对任意的都有，若,则（ ）
A．2B．3C．4D．6
变式33．（2023·陕西汉中·统考二模）设分别是函数和的零点(其中)，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）对于恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式35．（2023·河北廊坊·高三校考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
变式36．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）已知，分别是方程，的根，则（ ）
A．1B．2C．D．
【通性通解总结】
一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1）
A．7.6年B．7.8年C．6.2年D．6.6年
3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，与的图象关于原点对称，则（ ）
A．B．
C．2D．0
5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）
A．[1，e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[0，1]
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）下列正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，且，则
12．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域是，则函数的定义域为______.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知，若对使得，则实数的取值范围是________________.
15．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知，则实数的取值范围___________.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）若，则实数由小到大排列为__________