新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)第5讲数列与不等式(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)

这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)第5讲数列与不等式(2022-2023年高考真题)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了若，，，则，若，满足约束条件则的最大值是，记为等差数列的前项和，记为等比数列的前项和，若，，则，若，满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．（2023•天津）若，，，则
A．B．C．D．
2．（2022•浙江）若实数，满足约束条件则的最大值是
A．20B．18C．13D．6
3．（2022•乙卷）若，满足约束条件则的最大值是
A．B．4C．8D．12
4．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是
A．B．C．D．
5．（2023•甲卷）记为等差数列的前项和．若，，则
A．25B．22C．20D．15
6．（2023•天津）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为
A．3B．18C．54D．152
7．（2023•甲卷）已知等比数列中，，为前项和，，则
A．7B．9C．15D．30
8．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120B．85C．D．
9．（2022•乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14B．12C．6D．3
二．多选题
10．（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则
A．B．C．D．
三．填空题
11．（2023•乙卷）若，满足约束条件，则的最大值为 ．
12．（2023•甲卷）设，满足约束条件，设，则的最大值为 ．
13．（2022•上海），，求的最小值 ．
14．（2023•甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
15．（2023•乙卷）已知为等比数列，，，则 ．
16．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则 ．
17．（2022•乙卷）记为等差数列的前项和．若，则公差 ．
18．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有 个．
四．解答题
19．（2023•乙卷）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（2023•甲卷）已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
22．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
23．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
24．（2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．
（1）求可能值；
（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；
（3）若，成立，求数列的通项公式．
25．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前项和为，求证：；
26．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．
27．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
28．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
29．（2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合，中元素的个数．
第5讲 数列与不等式
一．选择题
1．（2023•天津）若，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，在上单调递增，
，
故，
所以，
，在，上单调递增，
，
故，即，
所以．
故选：．
2．（2022•浙江）若实数，满足约束条件则的最大值是
A．20B．18C．13D．6
【答案】
【解析】实数，满足约束条件
则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
由已知可得，
由图可知：当直线过点时，取最大值，
则的最大值是，
故选：．
3．（2022•乙卷）若，满足约束条件则的最大值是
A．B．4C．8D．12
【答案】
【解析】作出可行域如图阴影部分所示，
由图可知，当取点时，目标函数取得最大值，且最大为8．
故选：．
4．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，
又，所以，故正确，错误，
，当且仅当，即时取等号，故错误，
故选：．
5．（2023•甲卷）记为等差数列的前项和．若，，则
A．25B．22C．20D．15
【答案】
【解析】等差数列中，，
所以，
，
故，
则，，
则．
故选：．
6．（2023•天津）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为
A．3B．18C．54D．152
【答案】
【解析】因为为等比数列，，
所以，，
由等比数列的性质可得，，
即，
所以或（舍，
所以，，
则．
故选：．
7．（2023•甲卷）已知等比数列中，，为前项和，，则
A．7B．9C．15D．30
【答案】
【解析】等比数列中，设公比为，
，为前项和，，显然，
（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），
可得，
解得，即或，
所以当时，．
当时，．没有选项．
故选：．
8．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120B．85C．D．
【答案】
【解析】等比数列中，，，显然公比，
设首项为，则①，②，
化简②得，解得或（不合题意，舍去），
代入①得，
所以．
故选：．
9．（2022•乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14B．12C．6D．3
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．
前3项和为，，
，，
则，
故选：．
二．多选题
10．（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】方法一：由可得，，
令，则，
，，故错，对，
，，
故对，错，
方法二：对于，，由可得，，即，
，，故错，对，
对于，，由得，，
，故对；
，，
，故错误．
故选：．
三．填空题
11．（2023•乙卷）若，满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】8．
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
由可得，
则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大，
结合图形可知，当经过点时，最大，
由可得，，即，
此时取得最大值8．
故答案为：8．
12．（2023•甲卷）设，满足约束条件，设，则的最大值为 ．
【答案】15．
【解析】由题意，作出，满足约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
目标函数，可化为直线，
由，可得，
即，
当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
代入可得．
故答案为：15．
13．（2022•上海），，求的最小值 ．
【答案】．
【解析】如图所示：
由，，可知行域为直线的左上方和的右上方的公共部分，
联立，可得，即图中点，，
当目标函数沿着与正方向向量的相反向量平移时，离开区间时取最小值，
即目标函数过点，时，取最小值：．
故答案为：．
14．（2023•甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】．
【解析】等比数列中，，
则，
所以，
解得．
故答案为：．
15．（2023•乙卷）已知为等比数列，，，则 ．
【答案】．
【解析】等比数列，
，解得，
而，可得，
即，
．
故答案为：．
16．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则 ．
【答案】189．
【解析】等比数列的首项为3，公比为2，
．
故答案为：189．
17．（2022•乙卷）记为等差数列的前项和．若，则公差 ．
【答案】2．
【解析】，
，
为等差数列，
，
，解得．
故答案为：2．
18．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有 个．
【答案】98．
【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，，
，解得，
，
，，1，，中，
，，
其余各项均不相等，
，，中不同的数值有：．
故答案为：98．
四．解答题
19．（2023•乙卷）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）在等差数列中，，．
，即，
得，，
则．
（2），
即时，，
当时，，
当时，数列的前项和，
当时，数列的前项和．
20．（2023•甲卷）已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，
，，
当时，可得，
，
当或时，，适合上式，
的通项公式为；
（2）由（1）可得，
，，
，
．
21．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
22．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【解析】（1），，
根据题意可得，
，
，又，
解得，，
，；
（2）为等差数列，为等差数列，且，
根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；
或设，则，且，
①当，，时，
则，
，，又，
解得；
②当，，时，
则，
，，又，
此时无解，
综合可得．
23．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解析】（1）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，
又，，成等比数列，
则，
即，
又，
即，
则；
（2）由（1）可得：，
则，
则当为偶数时，，
当为奇数时，，
即．
24．（2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．
（1）求可能值；
（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；
（3）若，成立，求数列的通项公式．
【解析】（1），或．
（2），，，，，，，为等差数列，，
．
逆命题：若，则，，，，，，，为等差数列是假命题，举例：
，，，，，，，，．
（3）因为，
，，
，
，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：
当，明显成立，
假设时命题成立，即，
则，则，命题得证．
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
1．若，则矛盾，
2．若，则，，，
此时，
，
3．若，则，
，，
（由（2）知对任意成立），
，
事实上：矛盾．
综上可得．
25．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前项和为，求证：；
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
，，
解得，
，．
（2）证明：，
要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
由数列的通项公式和前项和的关系得：，
．
26．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）因为等差数列的首项，公差，
因为，可得，即，
，即，
整理可得：，解得，
所以，
即；
（Ⅱ）因为对于每个，存在实数，使，，成等比数列，
则，，
整理可得：，则△恒成立在，
整理可得，
当时，可得或，而，
所以的范围为；
时，不等式变为，解得，而，
所以此时，，
当时，，则符合要求，
综上所述，对于每个，的取值范围为，，使，，成等比数列．
27．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①②得：，
故，
化简得：，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以．
28．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有：①，
把换成，②，
②①可得：，
整理得：，
由等差数列定义有为等差数列；
（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，
故，解得，故，
所以，
故可得：，，，
故在或者时取最小值，，
故的最小值为．
29．（2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合，中元素的个数．
【解析】（1）证明：设等差数列的公差为，
由，得，则，
由，得，
即，
．
（2）由（1）知，，
由知，，
，即，
又，故，则，
故集合，中元素个数为9个．