高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第01讲导数的概念与运算(练习)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第01讲导数的概念与运算(练习)(原卷版+解析)，共20页。

1．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（ ）
A．B．2C．±2D．
4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2B．-1C．1D．
6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖北·模拟预测）已知函数，都有的最小值为0，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2023·重庆·校联考三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的图象在轴的上方
B．当时，
C．若，则
D．当时，和必存在斜率为的公切线
11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，过点的直线与曲线相切，则与直线垂直的直线为（ ）
A．B．C．D．
12．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（ ）
A．、两点的纵坐标之积为定值B．直线的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值D．面积的取值范围为
13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．
14．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．
15．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与在处的切线相互垂直，则的最小值是___________.
16．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若函数的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e，则称该函数为“e函数”，下列四个函数中，其中为“e函数”的是________．
①；②；③；④
1．（2019·全国·统考高考真题）已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
2．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
4．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
6．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为__________．
7．（2020·全国·统考高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
8．（2019·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为___________．
第01讲 导数的概念与运算
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是偶函数，
所以，
所以，故，
又，所以，，
故曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A.
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
∴，
由题意知，，解得：，
又∵M在上，
∴，解得：，
∴，
∴.
故选：B.
3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（ ）
A．B．2C．±2D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
因为，所以的图象在处的切线方程为.
因为切线与坐标轴能围成三角形，所以，
令，得，令，得，
所以，所以.
故选：D
4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由的图象可知，当时，，则在区间上，函数上各点处切线的斜率在区间内，
对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；
对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；
对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；
对于D，由的图象可知，当时，，当时，，当时，，
所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
而函数的图象均符合这些性质，故D正确.
故选：D
5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2B．-1C．1D．
【答案】C
【解析】.
故曲线在点处的切线斜率为.
故选：C
6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
设过原点的切线与曲线在处相切，
所以切线的斜率，整理得，
设，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，且当时，当时，
所以当时过原点与曲线相切的直线有2条.
故选：C
7．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设公切线为是与的切点，由，得，
设是与的切点，由，得，
所以的方程为，
因为，整理得，
同理，
因为，整理得，
依题意两条直线重合，可得，
消去，得，
由题意此方程有三个不等实根，设，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则，
当或时，；当时，，
所以有极小值为，有极大值为，
因为，，，所以，
当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
故的图象简单表示为下图:
所以当，即时，直线与曲线有三个交点.
故选：A.
8．（2023·湖北·模拟预测）已知函数，都有的最小值为0，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，都有的最小值为0，可转化为直线与相切.
设切点坐标为，则可得，可得.
令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以，即的最小值为.
故选:A.
9．（多选题）（2023·重庆·校联考三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A选项，根据可得，在R上单调递增，
因为，所以，A正确；
B选项，因为，，且，总有，
所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，
显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，
因为，所以，B正确；
C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.

故选：ABD
10．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的图象在轴的上方
B．当时，
C．若，则
D．当时，和必存在斜率为的公切线
【答案】ABD
【解析】选项A，由，得，可知曲线的图象在轴的上方，故A正确；
选项B，当时，：，：，
对于：，有，
因为直线：为曲线的切线，
所以，即，此时，
所以切点坐标为，将其代入切线方程中，
有，整理得，可得，即B正确；
选项C，当时，公切线为，
设，，则，，
所以，，解得，，故C错误；
选项D，当时，，，则，，
若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，
由选项B可知，，即，
所以，，即，，符合题意，
故当时，和必存在斜率为的公切线，即D正确．
故选：ABD．
11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，过点的直线与曲线相切，则与直线垂直的直线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】，则，
设切点坐标为，则，所以切线方程为，
又切线过点，所以，
即，故，解得或，
所以直线的斜率为或，
对于A：直线的斜率为，符合题意，故A正确；
对于B：直线的斜率为，不符合题意，故B错误；
对于C：直线的斜率为，不符合题意，故C错误；
对于D：直线的斜率为，符合题意，故D正确；
故选：AD
12．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（ ）
A．、两点的纵坐标之积为定值B．直线的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值D．面积的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由函数，则，
设，，
当，时，由题意可得，，化简可得，符合题意；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
对于A，，故A错误；
对于B，直线的斜率，故B正确；
对于C，易知直线，直线，
令，则，即，同理可得，
，故C正确；
对于D，联立，整理可得，解得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，故D正确.
故选：BCD.
13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．
【答案】/
【解析】因为，
所以，，
因为在公共点处有相同的切线，
所以即，
所以
故答案为：
14．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】对函数求导可得，所以，
所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即.
故答案为：.
15．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与在处的切线相互垂直，则的最小值是___________.
【答案】/
【解析】因为，
所以，
依题意可得，
所以,
所以且，
或且，
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
当且时，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值.
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
16．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若函数的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e，则称该函数为“e函数”，下列四个函数中，其中为“e函数”的是________．
①；②；③；④
【答案】①③④
【解析】记，，．
①，，，当时，，当时，，∴时，有最小值，值域为，
∴存在、使，故是e函数；
②
∵，，
∴，，
∴，不存在、使，
故不是e函数；
③，，值域为R，
∴存在、使，故是e函数；
④，
值域为，
∴存在、使，故是e函数．
故答案为：①③④
1．（2019·全国·统考高考真题）已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
，
将代入得，故选D．
2．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
3．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
4．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【答案】
【解析】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
6．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
7．（2020·全国·统考高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【解析】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
8．（2019·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】.
【解析】
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．