高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第二章函数与基本初等函数(测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第二章函数与基本初等函数(测试)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·贵州·高三校联考期中）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 有且只有一个零点的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（ ）（参考数据：，）
A．天B．天C．天D．天
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数如下表所示，则下列结论错误的是（ ）
A．B．的值域是
C．的值域是D．在区间上单调递增
10．（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，B．，都有
C．的解集为D．的单调递增区间是，
12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则恰有2个零点
B．若，则恰有4个零点
C．若恰有3个零点，则的取值范围是
D．若恰有2个零点，则的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是______.
14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）偶函数满足，且时，，则_____________.
15．（2023·全国·高三专题练习）函数；，对有，则的范围为______.
16．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”．若函数存在“倍值区间”，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)画出的图像，并直接写出的值域；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
19．（12分）
（2023·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
20．（12分）
（2023·上海杨浦·统考一模）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万元．两者满足关系：
(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；
(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）
(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．
21．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
22．（12分）
（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）设，满足．
(1)求a的值，并讨论函数的奇偶性；
(2)若函数在区间严格减，求b的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数有且仅有一个零点q，且存在唯一的递增的无穷正整数列，使得成立．
x
1
2
3
4
第二章 函数与基本初等函数
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·贵州·高三校联考期中）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为,所以为减函数，
所以，即.
因为,所以为增函数，
所以，即.
因为,所以为增函数，
所以，即，
所以．
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 有且只有一个零点的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数恒过点，所以函数有且只有一个零点函数没有零点函数的图像与直线无交点，数形结合可得，或
即函数有且只有一个零点的充要条件是或,
只有选项是函数有且只有一个零点的充分条件,
故选：A
3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为且，所以，且，所以，且，
且有，，所以，，，
所以，，则，
又因为且，解得.
故选：B.
4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（ ）（参考数据：，）
A．天B．天C．天D．天
【答案】B
【解析】把，代入，可得，，
当时，，则，两边取对数得，解得．
故选：B.
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由图像可知，而D选项中，∴排除D选项；
又图像不关于原点对称，∴不是奇函数，
若，函数定义域为R，，为奇函数，排除A选项；
，是奇函数，∴排除C选项.
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，，函数在上单调递增，
在上单调递减，所以，即；
若函数的值域是，则需当时，．
当时，在上单调递增，
此时，不合题意；
当时，在上单调递减，
此时，即，则，
所以，显然，解得，又，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：B
7．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是奇函数，是偶函数，
所以，解得，
由，
当时，则，所以，
同理：当时，，
以此类推，可以得到的图象如下：
由此可得，当时，，
由，得，解得或，
又因为对任意的，恒成立，
所以，所以实数的最大值为.
故选：B.
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【解析】因为是定义在R上的奇函数，则，且，
又为偶函数，则，即，
于是，则，即是以为周期的周期函数，
由，得，，
，，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数如下表所示，则下列结论错误的是（ ）
A．B．的值域是
C．的值域是D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】由表知，则，A错误；
的值域为，B正确，C错误；
当时，，当时，，因此在上不是单调递增的，D错误．
故选：ACD.
10．（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】根据图像变换法则可求得的解析式，利用其为偶函数求出，又由三角函数的性质可求得，对进行赋值，与选项对比即可得出答案.由，
得，
因为偶函数，则，
所以，即
当时，；当时，.
故选：AD.
11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，B．，都有
C．的解集为D．的单调递增区间是，
【答案】BD
【解析】对于A，当时，，则，
函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误；
对于B，当时，，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故，
当时，，，则；
当时，，，则，
综上，当时，，
因为函数是奇函数，所以，
当时，，故B正确；
对于C，由B可知，当时，，，
则；
当时，，，则，
因为函数是奇函数，所以当时，；当时，，
因为函数是奇函数，所以，
综上，不等式，其解集为，故C错误；
对于D，由B可知，当时， 单调递增；当时， 单调递减，
因为函数是奇函数，所以当时， 单调递减；
当时， 单调递增，故D正确.
故选：BD.
12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则恰有2个零点
B．若，则恰有4个零点
C．若恰有3个零点，则的取值范围是
D．若恰有2个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】令，
则，解得或.
当时，.由，得；由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，.
，当时，取最小值，最小值为，
故的大致图象如图所示.由图可知，有且仅有1个实根.
当时，恰有1个零点，故A错误；
当时，有3个实根，则恰有4个零点，故B正确；
由恰有3个零点，得恰有2个实根，则或或，则错误；
由恰有2个零点，得恰有1个实根，且，
则或或，则D错误.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】因为函数，所以，即函数为奇函数，
且，则函数为增函数，
则不等式等价于，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）偶函数满足，且时，，则_____________.
【答案】
【解析】因为为偶函数，且时，，
所以，
解得，所以
因为，所以函数的周期为2，
所以.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）函数；，对有，则的范围为______.
【答案】
【解析】由题意，
有，
∴，
在中，函数单调递增，，
在中，对称轴，函数开口向上，
∴在处取最大值，，
∴即，
解得，
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”．若函数存在“倍值区间”，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”，
知存在，使得，
设
则，且，
所以，
因此二次函数在上有两个零点，且，
则
解得，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)画出的图像，并直接写出的值域；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，
当时，，
当时，，
所以，
的图象如图：
由图可知，函数的值域是.
（2）若不等式恒成立，则，
则，即，
解得或.
18．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
【解析】（1）方法一（换元法）：令，则，．
所以，
所以函数的解析式为．
方法二（配凑法）：．
因为，所以函数的解析式为．
（2）将代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
19．（12分）
（2023·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【解析】（1）设，则
∴
∵为偶函数
∴
综上，有
（2）由（1）作出的图像如图：
因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或；
故实数的取值范围是或.
（3）由（1）作出的图像如图：
由图像可知：
当时，有两个零点；
当时，有四个零点；
当时，有六个零点；
当时，有三个零点；
当时，没有零点.
20．（12分）
（2023·上海杨浦·统考一模）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万元．两者满足关系：
(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；
(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）
(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．
【解析】（1）设利润为
当时
所以，产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元．
（2）设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产对于乙企业，每万台产品的销售收入为
所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大．
（3）假设达到动态平衡时，甲企业产量a万台，乙企业产量b万台．
甲企业：
当时利润最大
乙企业
当时利润最大．
联立，解得时达到动态平衡．
此时利润分别为：甲企业840万元，乙企业860万元．
21．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【解析】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
22．（12分）
（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）设，满足．
(1)求a的值，并讨论函数的奇偶性；
(2)若函数在区间严格减，求b的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数有且仅有一个零点q，且存在唯一的递增的无穷正整数列，使得成立．
【解析】（1）∵函数（常数）满足．
∴，解得：；
当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数；
（2）由（1）得：则，
若在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
当时，，为的最小值，
所以；
（3）由(2)可知，，所以，
当时，恒成立，无零点，
当时，单调递增，
且，
所以函数在有唯一零点，
所以即，
所以，
又因为，
所以存在唯一的递增的无穷正整数列，
使得成立，且.
x
1
2
3
4