[数学][期中]山东省淄博市北部(五四学制)2023-2024学年七年级下学期期中考试试题(解析版)

这是一份[数学][期中]山东省淄博市北部(五四学制)2023-2024学年七年级下学期期中考试试题(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是( )
A. 面朝上的点数是6B. 面朝上的点数是偶数
C. 面朝上的点数大于2D. 面朝上的点数小于2
【答案】C
【解析】A．面朝上的点数为6点的情况为1种；
B．面朝上的点数是偶数的情况为3种；
C．面朝上的点数大于2的情况为4种；
D．面朝上的点数小于2的情况为1种，
比较可得：C包含的情况数目最多，故其概率最大；
故选C．
2. 若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于
A. 3B. 6C. D.
【答案】B
【解析】将代入方程得：，
．
故选：B．
3. 如图，直线，点B，C分别在直线和上，则下列结论不一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵直线，
∴，，，
只有当时，，
故选项A、B、D说法正确，但不符合题意，
故选：C．
4. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A. 3cm2B. 4cm2C. 4.5cm2D. 5cm2
【答案】C
【解析】延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP＝∠EBP
BP＝BP
∠APB＝∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴，
故答案选：C．
5. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、，不等式错误，不符合题意；
B、，则，不等式正确，符合题意；
C、，不等式错误，不符合题意；
D、，不等式错误，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把代入得，
解得，即点坐标为，
所以二元一次方程组的解为．
故选：B．
7. 如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An－1BC与∠An－1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为( )

A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由三角形的外角性质可得：∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
∴∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD ＝（∠ABC＋∠A）＝∠A＋∠A1BC，
∴∠A1＝∠A＝×48°＝24°，
∵A1B、A1C分别平分∠ABC、∠ACD，
∴∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，
而∠ACD＝∠A＋∠ABC ，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，
∴∠A＝2∠A1，
∴∠A1＝∠A,
同理可得：∠A1＝2∠A2，
∴∠A2＝∠A，
∴∠A＝2n∠An，
∴∠An＝∠A
∵∠A＝48°
∴当n＝4时，∠A4＝×48°＝3°，此时n的值最大，
故选：C
8. 如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（ ）

A. cmB. 4cmC. 3cmD. 6cm
【答案】A
【解析】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE=AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE=BD=,
∴BE= cm.
故选A.
9. 如图，直线与直线交于点A的横坐标为，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数图象可知，当直线直线的图象在直线的图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集为，
故选：B．
10. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴
∵关于的不等式组无解，
∴，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为___________．
【答案】
【解析】，
得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，长方形纸片，为边的中点，将纸片沿折叠，使点落在处，点落在处，若，则的度数为_____．
【答案】
【解析】如图，由折叠的性质得：，
∵，
∴
∴，
∴
故答案为：．
13. 小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是______．
【答案】
【解析】∵阴影部分的面积=7个小正方形的面积，大正方形的面积=16个小正方形的面积，
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域概率是，
故答案为：．
14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是 ________
【答案】3
【解析】作，，
由题意可得，如图所示，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴，
故答案为：3．
15. 如图，直线y＝kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式﹣2＜kx+b＜1的解集为_____．
【答案】﹣1＜x＜2．
【解析】 直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点
∴
解得，
∵ -2＜kx+b＜1，
∴-2＜x-1＜1，
∴ ，解得-1＜x＜2，
故答案为-1＜x＜2.
三、解答题（共8小题，共90分）
16. 解方程组：
（1）；
（2）解不等式组，并求它的整数解．
解：（1）原方程可化为，
由得：，
将代入①得：，
解得：，
方程组的解集为；
（2），
解不等式①得：
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
整数解为、、．
17. 如图，在中，，垂足为D，点E在上，在F在上．
（1）若，，与平行吗？为什么？
（2）在（1）的条件下，平分，且，求的度数．
解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
18. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次研究中，一共调查了 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有 名；
（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角 ；
（3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是 ．
解：（1）爱好运动的人数为，所占百分比为
共调查人数为：人，
爱好运动的学生人数所占的百分比为，
全校爱好运动的学生共有：人；
故答案为；
（2）∵爱好上网人数为：人，
∴爱好上网的人数所占百分比为，
爱好阅读人数为：人，
补全条形统计图，如图所示，

阅读部分圆心角是，
故答案为；
（3）爱好阅读的学生人数所占的百分比，
用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为；
故答案为．
19. 如图，在中，，BD分交于点，过点作交于点，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，，求BD长．
解：（1）证明：∵BD分，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
（2）∵，
∴，
又∵BD分交于点，，
∴，
在中，
，
∵，
∴
在中，．
20. 为更好的推进生活垃圾分类，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？
解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．
依题意，得：
，
解得：．
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买个A型垃圾箱．
依题意，得：，
解得：．
又m为整数，m可以为5，6，7，
∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；
方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；
方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱．
21. 如图，直线，直角三角板的顶点C，D分别在直线上，且，，设．
（1）如图1，若，，求的度数．
（2）若的平分线交于点F．
①如图2，当，且时，试说明．
②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系．
解：（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（2）①∵，平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
②∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴，
∴．
22. 问题情境：如图，，，，求度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案）
（2）问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系．
解：（1）过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）， 理由如下：
如图，过点作，交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）当在BD延长线上时，如图所示，
由（）可知，，，
∴；
当在DB延长线上时，如图所示，
由（）可知，，，
∴．
23. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA=90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD．
又AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS）．
∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）成立．证明如下：
∵∠BDA =∠BAC=，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-．
∴∠DBA=∠CAE．
∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS）．
∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）△DEF为等边三角形．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．
∴∠DBF=∠FAE．
∵BF=AF，
∴△DBF≌△EAF（SAS）．
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．
∴△DEF为等边三角形．