陕西省西安市西光中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列选项中是随机事件的是（ ）
A．水从高处往低处流动B．任意画一个三角形，其内角和是
C．煮熟的种子发芽D．星期天下雨
4．（3分）如图，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13B．3，3，4C．，，D．18，24，30
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．8
8．（3分）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高10℃时，声速增加
D．当空气温度为10℃时，声音可以传播
9．（3分）如图，已知，欲用“边角边”证明，需补充条件（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，，则点到边的距离为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，图中标示的五个角中，与是同位角的是________．
12．（3分）如果，，那么________．
13．（3分）等腰三角形的两边长满足．则这个等腰三角形的周长为________．
14．（3分）某电器进价为250元/台，售价为400元/台，若售出台，售出台的总利润为元，则与之间的关系式为________．
15．（3分）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为米________．
16．（3分）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为中点．若，的面积是30，则的最小值为________．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）计算：．
19．（9分）先化简，再求值：，其中，．
20．（6分）如图，在中，请用尺规作图法，分别在边，上求作一点，，使为边的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．
22．（9分）一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的的质地相同的球．已知红球的个数比黑球的的2倍多40个，从袋中任取一个球是黑球的概率是．
（1）袋中黑球的的个数为________个，袋中红球的个数是________个；
（2）求从袋中任取取一个球是白球的概率．
23．（9分）星期五，小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走．如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小颖家与学校的距离是________米，小颖在文具用品店停留了________分钟；
（2）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是________米；
（3）买到彩笔后，小颖从文具用品店到家步行的速度是多少？
24．（9分）如图，点在上，点在上，，．求证．
25．（10分）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
（1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________．
（2）如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分．
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2024-2025学年第一学期初二年级收心考
数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【答案】D
【解答】解：A、B、C的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项的汉字中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2．【答案】D
【解答】解：，
故选：D．
3．【答案】D
【解答】解：A、水从高处往低处流动，是必然事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，不符合题意；
C、煮熟的种子发芽，是不可能事件，不符合题意；
D、星期天下雨，是随机事件，符合题意，
故选：D．
4．【答案】C
【解答】解：由题意知，，
∵，
∴，
故选：C．
5．【答案】D
【解答】解：A、，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、、、不是正整数，则不是勾股数，故此选项不合题意；
D、，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
6．【答案】C
【解答】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误；
故选：C．
7．【答案】D
【解答】解：∵，，
∴．
故选：D．
8．【答案】D
【解答】解：A．∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴说法正确，不符合题意；
B．∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，∴说法正确，不符合题意；
C．∵，，，，，
∴当温度每升高10℃，声速增加，∴说法正确，不符合题意；
D．∵，
∴当空气温度为10℃时，声音可以传播，∴说法错误，符合题意．
故选：D．
9．【答案】C
【解答】解：添加的条件是，
理由是：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：过点作于，于，于，连接，如图，
∵点是、平分线的交点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
即点到边的距离为．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【答案】．
【解答】解：与是同位角的是．
故答案为：．
12．【答案】15．
【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：15．
13．【答案】见试题解答内容．
【解答】解：根据题意得，，
解得，，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，
∵，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，
能组成三角形，
周长．
综上所述，这个等腰三角形的周长为22．
故答案为：22．
14．【答案】
【解答】解：由题意得，；
故答案为：．
15．【答案】18．
【解答】解：如图所示：
∵是直角三角形，，，
∴，
∴大树的高度，
故答案为：18．
16．【答案】12．
【解答】解：连接，，如图所示：
∵，点为中点，
∴，
∴的面积是30，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的最小值为12．
故答案为：12．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．【答案】．
【解答】解：
．
18．【答案】
【解答】解：原式．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式
，
当，时时，
原式．
20．【答案】见解答．
【解答】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，则点，即为所求．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：，理由如下：
∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）（2分）
∴（两直线平行，同位角相等）（3分）
又∵（已知）
∴（等量代换）（5分）
∴．（内错角相等，两直线平行）（6分）
22．【答案】（1）80，200；
（2）．
【解答】解：（1）∵一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球，从袋中任取一个球是黑球的概率是，
∴黑球的个数为：（个），
∵已知红球的个数比黑球的2倍多40个，
∴，
故答案为：80，200；
（2）白球的个数是（个）．
∴从袋中任取一个球是白球的概率为．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）小颖家与学校的距离是2600米，小颖在文具用品店停留了：（分钟），
故答案为：2600；10；
（2）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是：（米），
故答案为：3400；
（3）（米/分），
答：买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是90米/分．
24．【答案】见解析．
【解答】证明：在和中，
∴
∴，
∵，
∴．
25．【答案】（1）；
（2）证明过程见解答；
【解答】（1）解：∵是的中线，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，延长至，使得，连接，
图（2）
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴，
∴平分
温度（℃）
0
10
20
30
声速（）
318
324
330
336
342
348