上海市闵行区华东师范大学第二附属中学附属初级中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版）

这是一份上海市闵行区华东师范大学第二附属中学附属初级中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了 将四个相同的矩形， 在实数范围内因式分解等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具．
2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．
3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分．
4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负．
一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则分式的值（ ）
A. 扩大3倍B. 缩小到原来的C. 保持不变D. 扩大9倍
【答案】C
【解析】
【分析】根据x、y的值同时扩大3倍后求出分式的值，和原来比较求出结果．
【详解】∵中的x、y的值同时扩大3倍，
∴
所以分式的值保持不变．
故选C．
【点睛】考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2. 若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．把代入方程，解得的值．注意：二次项系数不为零．
【详解】解：把代入一元二次方程，
得，
解得或1；
又，
即；
所以．
故选：C
3. “x的3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题干中的不等关系用数学符号进行表示即可．
【详解】根据题意，得，
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，从而把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
4. 已知一组数据70，80，80，85，85，85，则它的众数和中位数分别为（ ）
A. 85，80B. 85，85C. 85，82．5D. 80，80
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念分别进行求解即可．
【详解】把这组数据按照从小到大的顺序排列为：70，80，80，85，85，85，
最中间的两个数是80，85
则中位数是=82.5；
在这组数据中出现次数最多的是85，
则众数是85；
∴众数和中位数分别为85，82.5
故选：C．
【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5. 将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，解此题的关键是能求出符合条件的所有情况．根据题意，则可以拼成的大矩形的图形可以有四种情况，分别求出它们的各自的周长，然后判断所得周长的值有几种情况．
【详解】解：设小矩形的宽为，则长为，分四种情况：
（1）如图①，矩形的周长为：；
（2）如图②，矩形的周长为：；
（3）如图③，矩形的周长为：；
（4）如图④，矩形的周长为：；
因此大矩形的周长为、或，共三种情况，
故选：C．
6. 已知b＜0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于
A. －2B. －1C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以，解得b=0，与b＜0相矛盾．
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1，a2=－1（舍去）．
对称轴，解得b＜0，符合题意．故a=1．
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1（舍去），a2=－1．
对称轴，解得b＞0，不符合题意．
综上所述，a的值等于1．故选C．
二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7. 4的算术平方根是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；
根据算术平方根概念即可求出结果．
【详解】解：，
4的算术平方根是2，
故答案为：2．
8. 已知，则点是的黄金分割点，______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了黄金分割，关键是理解黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值，计算时要注意的条件．
根据黄金分割点的定义和得出，再根据即可解答．
【详解】解：点是的黄金分割点，，
，
，
，
，
故答案为：．
9. 在实数范围内因式分解：_______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，则选中男生的可能性是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式求解即可．本题考查可能性的大小，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
【详解】解：某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，共有19种情况，其中男生被选中的有4种结果，
选中男生的可能性是，
故答案为：．
11. 某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的知识及俯角的定义，根据题意画出示意图，然后根据俯角的定义可得，然后可得出的度数，进而根据的正切值可得出的长度，即得出了这个观察点到建筑物的距离．
【详解】解：如图，
由题意得：，米，
，
，
米，
故答案为：．
12. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点，
∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点．
故答案为：．
13. 如图，＝3，G为AF的中点，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】作FHAC交BG于点H，先证明△FGH≌△AGE，得GH＝GE＝HE，设GH＝GE＝m，则HE＝2m，由FHAC得△BFH∽△BCE，则，可推导出BH＝6m，BG＝7m，BE＝8m，即可求得结果．
【详解】解：如图，作FHAC交BG于点H，
∵∠FHG＝∠AEG，∠FGH＝∠AGE，FG＝AG，
∴△FGH≌△AGE（AAS），
∴GH＝GE＝HE，
设GH＝GE＝m，则HE＝2m，
∵FHAC，
∴△BFH∽△BCE，
∵＝3，
∴，
∴
∴BH＝6m，
∴BG＝BH+GH＝6m+m＝7m，BE＝BH+HE＝6m+2m＝8m，
∴，
故答案：．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14. 如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：，，
，
与的周长之比是，
点A到的距离与点E到的距离之比是，
故答案：．
15. 在等腰ΔABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即.例：T（60）=1，那么T（120）=____________ ；
【答案】
【解析】
【详解】作 ，垂足为C.
设



则T（120）=
16. 我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________．
【答案】（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【解析】
【分析】根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论．
【详解】解：设反比例函数y＝在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A（a，b），B（b，a）且a＞b，
∴ab＝10，
∵这两个点之间的距离为3，
∴AB＝＝3，
∴a﹣b＝3，
由解得或（舍去），
∴A（5，2），B（2，5），
∴距离x轴较近的点的坐标为（5，2），
故答案为（5，2）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求出反比例函数图象上的关联点．
17. 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是_____．

【答案】25
【解析】
【分析】由BF=BE+EF结合“小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3”即可得出直角三角形较长直角边的长度，结合三角形的面积公式以及正方形面积公式即可得出结论．
【详解】∵EF=1，BE=3，
∴BF=BE+EF=4，
∴S正方形ABCD=4⋅S△BCF+S正方形EFGH=4× ×4×3+1×1=25.
故答案为25.
【点睛】此题考查勾股定理的证明，解题关键在于掌握勾股定理的应用
18. 定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是_________．

图1 图2
【答案】##
【解析】
【分析】根据调和点列可得，进而得出，证明，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是调和点列，且，
∴
∴
即
解得：（负值舍去）
∵,
∴
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何新定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三.解答题（满分78分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用分数指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝﹣1+3﹣（2﹣）+3，
＝﹣1+﹣2++3，
＝5﹣3．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，结合分数指数幂、绝对值性质和二次根式的性质求解是解题的关键．
20. 求不等式组的非负整数解
【答案】0，1，2，3；
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出非负整数解即可；
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
21. 如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．
22. 正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【答案】（1）总共生产了袋手工汤圆
（2）促销时每袋应降价3元
【解析】
【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；
（2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【小问1详解】
设总共生产了袋手工汤圆，
依题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
答：总共生产了袋手工汤圆
【小问2详解】
设促销时每袋应降价元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，
整理得：
，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
∴依题意得，
解得（舍去）
∵要促销
∴
即促销时每袋应降价3元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
23. 如图，已知直线与坐标轴交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，两直线的交点为．

（1）求，，的值；
（2）连接，试说明（表示面积）；
（3）轴上存在点，使得，求出此时点的坐标．
【答案】（1），，；
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）把代入，求出的值，待定系数法求出的值；
（2）求出的坐标，分别求出，即可得出结论；
（3）设，利用，列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵直线和直线的交点为，
∴，
∴；
又直线与坐标轴交于，
∴，解得：；
小问2详解】
由（1）知：，；
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
设，
∴
∵，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
24.
已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反．

（1）当抛物线经过点时，求抛物线的表达式；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分．
【答案】（1）
（2）直线
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值；
（2）通过题意求出抛物线的解析式，假设点的坐标，代入抛物线求出的值，从而得到抛物线的对称轴；
（3）过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，利用表示点、点的坐标，得到各边的数量关系，通过证明，得到平分．
【小问1详解】
将点代入抛物线，
得，解得，
得抛物线得表达式为；
【小问2详解】
由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为，
把代入抛物线，得，
则抛物线得表达式为，
由点在抛物线上，设点的坐标为，
由点是抛物线的顶点，得，解得，
得点的坐标为，
即抛物线的对称轴为直线；
【小问3详解】
由点是抛物线的顶点，得，
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
设直线表达式为，
代入，，得，
直线表达式为，
把代入，得，
得点的坐标为，
，
，，
，
，
平分．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，全等三角形的性质与判定等知识点．
25. 解图形往往与图形的性质密切相关
（1）由已学的全等判定：可知
结论1：判定两三角形全等的必要元素是___________；
结论2：解三角形时至少需要知道一条边的原因是_____________；
（2）如图，在锐角中至少有两个锐角，始终为锐角，设长为a，请用三个角的三角比和a的代数式表示的周长；
（3）在解各种形状的梯形的过程中，我们最多需要______个条件，最少需要______个条件，最少条件时需要知道的元素可以为_________．
【答案】（1）一条边对应相等；确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值
（2）当和为锐角时，的周长为；当和是锐角时，的周长为；
（3）5；3；三边或两边一角或两角一边
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定，梯形的性质等等：
（1）根据全等三角形的判定定理和解直角三角形的相关知识求解即可；
（2）分当和为锐角时，当和是锐角时，两种情况从第三个角的顶点作其对边的高，再分别解直角三角形表示出的三边长即可得到答案；
（3）直角梯形或等腰梯形时需要的条件最小，普通梯形需要的条件最多，据此求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，判定两三角形全等的必要元素是一条边对应相等，解三角形时至少需要知道一条边的原因是确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值；
【小问2详解】
解：当和为锐角时，如图所示，过点A作于D，
在中，， ，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
当和是锐角时，过点B作于D，
在中，， ，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
综上所述，当和为锐角时，的周长为；当和是锐角时，的周长为；
【小问3详解】
解：当梯形是直角梯形时，需要知道三条边的长或两条边和其中一个角，或两个角和一条边，故最小需要3个条件，当梯形不是特殊梯形（不是等腰梯形，直角梯形时）需要知道四条边和一个角或三边和两个角等共5个条件，故最多需要5个条件；
故答案为：5；3；三边或两边一角或两角一边．
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．