湖南省益阳市沅江市南大膳镇小波学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题（解析版）

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（ ）．
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，由三角形的任意两边之和大于第三边可得答案．
【详解】解：由，故A不符合题意；
由，故B不符合题意；
由，故C不符合题意；
由，故D符合题意；
故选D
2. 如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段CED. 线段DE
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论．
【详解】解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴，
∴线段是的中线，
故选：A．
3. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A. 两点之间的线段最短B. 长方形的四个角都是直角
C. 长方形是轴对称图形D. 三角形有稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：用木条固定长方形门框，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
4. 如图，，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中由三角形外角的性质可求得，在中，利用三角形外角的性质可求得．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．
5. 一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个角等于（ ）
A. 108°B. 90°C. 72°D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的内角和定义（n−2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．
【详解】（n−2）×180°＝720°，
∴n−2＝4，
∴n＝6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6＝120°．
故选：D．
【点睛】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n−2）×180°．
6. 如图，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．根据全等的性质得到，然后根据等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选B．
7. 若，，则的值为（ ）
A. 68B. 52C. 20D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据推出，再根据完全平方公式展开运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
把代入可得：，
解得：；
故选：A．
8. 如图，在中，，是的角平分线，的角平分线交 于点，若，，则（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点分别作，垂足分别为，根据角平分线的性质定理可得，再利用勾股定理解得；结合，可解得；证明四边形为正方形，由正方形的性质可得，然后在中，利用勾股定理解得的值即可．
【详解】解：如下图，过点分别作，垂足分别为，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
即，解得，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴在中，．
故选：D．
9. 如图，在和中，点B，C，E，F在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
当时，不能判定，故选项A不符合题意；
当时，则，根据可证，故选项B符合题意；
当时，不能判定，故选项C不符合题意；
当时，不能判定，故选项A不符合题意；
故选：B．
10. 如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（ ）
A. 120°B. 70°C. 60°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角互补可得∠AEB=60°，再根据全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，再利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】∵∠AEC=120°，
∴∠AEB=60°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，
∴∠DAC=180°−50°−60°=70°，
故选B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质定理以及三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等，是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 如图，在中，，，以为斜边作等腰直角．连接，则的面积为 ______．
【答案】2或6
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，分当点D在上方时，当点D在下方时，两种情况通过构造全等三角形证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当点D在上方时，取中点E，连接，设交于T，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图所示，过点D作于F，
∴，
∴；
如图所示，当点D在下方时，延长到E使得，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上所述，的面积为2或6，
故答案为：2或6．
12. 如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是_______．

【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键．
【详解】解：如图所示，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，
使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
13. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得平行，则等于______．

【答案】##50度
【解析】
【分析】本题主要考查的是旋转的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数．
【详解】解：∵，
∴．
∵由旋转性质可知：，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
14. 两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度
【答案】108
【解析】
【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可
【详解】∵五边形是正五边形，
∴每一个内角都是108°，
∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，
∴∠COD=36°，
∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
故答案为108°
【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.
15. 定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 __．
【答案】3或6
【解析】
【分析】由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：∵等腰是倍长三角形，
∴腰长＝底边长的2倍或底边长＝腰长的2倍，
如果腰长是6，底边长是3或，
∵，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是3，腰长是6；
如果底边长是6，腰长是12或3，
∵，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是6，腰长是，
∴的底边长是3或6．
故答案：3或6．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论．
16. 如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形判定与性质， 根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可．
【详解】解∶∵和都是等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴，
故答案为∶3．
17. 如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为________．
【答案】4
【解析】
【分析】过F作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质求得FG=EF=2，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可．
【详解】解：过F作FG⊥BC于G，
∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB，
∴FG=EF=2，
∵AD为△ABC的BC边上的中线，
∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8，
∴S△CDF= S△BFC= BC·FG= ×8×2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．
18. 已知a，b，c为三角形三边，则=______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．
【详解】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、二次根式的运算，掌握理解三角形的三边关系定理是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
19. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
【答案】40°
【解析】
【分析】根据三角形的内角和求得的度数，再根据角平分线的性质求得，根据高的性质求得，即可求解．
【详解】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°－30°－110°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵∠B＝30°，AD是BC边上的高线，
∴∠BAD＝90°－30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理以及角平分线和高的性质．
20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC经过一次轴对称变换后得到（图中已标出点C的对应点）．
（1）在给定方格纸中画出；
（2）画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接，线段的垂直平分线即为对称轴，作出，的对应点，即可．
（2）根据三角形中线，高的定义画出图形即可．
（3）求出的面积即可．
【小问1详解】
如图，即为所求作．
【小问2详解】
如图，线段，即为所求作．
【小问3详解】
．
21. 如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E．
（1）求证：；
（2）试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由；
（3）过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2），理由见解析
（3）的度数为或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．
（1）根据，，即可证得；
（2）根据，可得，再结合，，可证得，从而求得的长；
（3）根据题意画出草图，利用等腰三角形性质证明，得到，根据为等腰三角形，分①当时， ②当时， ③，三种情况讨论，再结合等腰三角形性质以及三角形外角性质求解，即可解题．
【小问1详解】
证明：由图可知：，
，
；
【小问2详解】
解：时，理由如下：
，
为等腰三角形，，
又，
在与中：
，
，
此时；
【小问3详解】
解：，，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
①当时，
，
；
②当时，
，
，
，
③，
，
与点D为边上一动点产生矛盾，
故此类型不存在；
综上所述，的度数为或．
22. 如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
（1）若，求的度数；
（2）若点F是的中点，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）求得的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质得到，，又易证，即得出．
【小问1详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形的内角和、三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，合理转化角与角之间的关系．
23. 如图，，．判断与的关系，并证明你的结论．
【答案】且．证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键．
先根据得出，再由可知，，由可知，故，由此可得出结论．
【详解】解：且，证明如下：
，
，
，
，
，
，
，即．
24. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：
如图1，在中，，，点D为边中点，点E为边上的动点，过点D作交于点F．
【初步感知】
（1）在点E的运动过程中，线段与始终相等，请证明；
【深入探究】
（2）取线段中点P，连接交于点H，试探究线段，之间的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，连接．当平分时，求的值．
【答案】（1），理由见解析；（2），，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接，利用证明，即可得出结论；
（2）过D作交于点Q，由（1）同理可得，利用证明，得出，再证明，得出是的中位线，即可得出结论；
（3）过点A作于G，于N，则四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，然后证明，得出，最后证得，即可得出答案．
【详解】解∶（1）
理由：如图1，连接，
∵，，点D为边中点，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴；
（2），
理由：如图2，过D作交于点Q，
由（1）同理可得，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵E是中点，
∴，
∴，
又，
∴，，
又
∴，；
（3）如图3，过点A作于G，于N，
则四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形求解是解题的关键．
25. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，．由角平分线的性质可知，由垂直平分线的性质可知，利用证明，即可证得．
【详解】证明：如图，连接，．

平分，，，
．
垂直平分，
，
，
．
【点睛】本题考查角平分线性质定理，垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，掌握相关性质及定理是解决问题的关键．
26. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
（1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，．
证明：；
（2）请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果．
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．
（）先证明，得出，然后利用面积法证明即可；
（）利用面积法计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴梯形的面积，
梯形的面积，
∴，
化简可得：；
；
【小问2详解】
解：如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
∴．