河北省衡水市安平县实验初级中学2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试题（解析版）

这是一份河北省衡水市安平县实验初级中学2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 某班有40人，参加数学兴趣小组的有15人，制作扇形统计图后，数学兴趣小组所在的扇形的圆心角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出数学兴趣小组占总数的百分比，再利用百分比即可求出相应圆心角的度数．
【详解】解：根据题意可知，数学兴趣小组占总数的百分比是，
所以数学所在的扇形的圆心角是．
故选D．
【点睛】本题考查了扇形统计图及相关计算，掌握在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比是关键．
2. 石家庄市某中学为了解八年级1200名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计．给出下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②1200名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200是样本容量．其中正确的判断有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象,从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：①这种调查方式是抽样调查故①正确；
②1200名学生的数学成绩是总体，故②错误；
③每名学生的数学成绩是个体，故③正确；
④200名学生的数学成绩是总体的一个样本，故④错误；
⑤200是样本容量，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3. 已知点P（a+1，2a-3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案．
【详解】解：点P（a＋1，2a−3）关于x轴对称的点为（a＋1，−2a＋3）在第二象限，
故 ，
解得：a＜−1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质和解一元一次不等式组，正确记忆横纵坐标符号是解题关键．
4. 若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴
∴
∴一次函数图象第一、二、三象限，
故选：B．
5. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查函数图像，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．
【详解】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米，
∴甲步行的速度为（米/分），故①正确；
由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故③错误；
∴乙的速度为（米/分），
则乙走完全程的时间为（分），故②错误；
当乙到达终点时，甲步行了（米），
∴甲离终点还有（米），故④正确；
综上，正确的结论有①④．
故选：B．
6. 数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）

A. 嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以B. 嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C. 嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以D. 嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，用两种方法都可以证明结论，得到答案．
【详解】解：
嘉嘉的作法：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴,
∴四边形为平行四边形，
∴
能够用来证明三角形中位线定理；
淇淇的作法：,
∴四边形为平行四边形，
∴,
∵,
∴，，
又∵
∴,
∴，，
∴,四边形为平行四边形，
∴
能够用来证明三角形中位线定理；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
7. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ＝CM，再由勾股定理得BD＝5，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论．
【详解】解：连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得：，
∵，
∴此时，
∴PQ的最小值为，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
8. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ）
A 只有①②B. 只有①②④
C. ①②③④D. 只有①②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可．
【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确；
若方程有两个不相等的实根，则：，
则：的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
若是方程的一个根，则，
当时，，故③错误；
若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故选B．
9. 如图，在中，，顶点O与原点重合，，点B的坐标为，点C为边的中点，将向右平移，当点C的对应点在直线上时，点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题是一次函数综合题，涉及的知识包括坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
先求得点，的坐标，根据平移后纵坐标相等，求得点的坐标，进而求得平移距离，即可求得点的坐标．
【详解】过点作轴于点，过作于点，如图所示:
则有，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
点C为边的中点，
，
将向右平移，纵坐标还是，
代入，
得，
解得
，
向右平移4个单位到
∴坐标为 ，
故选B．
10. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是( )
A. 4≥x＞2.4B. 4≥x≥2.4C. 4＞x＞2.4D. 4＞x≥2.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM=EF=AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．
【详解】
解：连接AP．
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
∴AM=EF=AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC=×6×8=×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．
故选D．
【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，直角三角形的性质，关键是求出AP的范围和得出AM=AP．
11. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出．
【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∵，
∴，
∴．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
12. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解．
【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，
∴
故选：D．
二、填空题（每空4分，共16分）
13. 如果m、n是一元二次方程的两个实数根，则多项式的值是______
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则．
【详解】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：
14. 已知：α，β是方程有两个实数根．
（1）__________
（2）__________
【答案】 ① ②. 0
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
（1）根据根与系数关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可；
（2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可．
【详解】解：（1），方程有两个实数根，
，，
；
故答案为：；
（2），是方程有两个实数根，
，
，
；
故答案为：0．
15. 如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB=CE，BE=CF，由点F是CD的中点，进而根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB=CE，BE=CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF=CD，
∴BE=CF=AB，
∵BE+CE=BC=12，
∴AB+AB=12，
∴AB=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
三． 解答题（共四题）
16. 用适当方法解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法是解本题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：
，；
【小问2详解】
解：
或
，．
17. “一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的进价为元/个，经测算当售价为元/个时，月销售量为个；售价每上涨元，则月销售量减少个，为使月销售利润达到元，并尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的售价应定为每个多少元．
【答案】元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设该品牌头盔的售价定为元/个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，列出一元二次方程，解之可得出值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设该品牌头盔的售价定为每个元，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为：（个），
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴．
答：该品牌头盔的售价应定为每个元．
18. 已知：如图，是的角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，试求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）120
【解析】
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，，再证，即，即可得出结论；
（2）连接交于点O，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求得，从而可得，再利用菱形的面积公式计算即可．本题考查平行四边形的判定、勾股定理、菱形的判定与性质、菱形的面积公式及角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形菱形．
【小问2详解】
解：如图，连接交于点O，

由（1）可知，四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
19. 云南拥有丰富的野生菌资源，被称为野生菌王国，某批发商购进A、B两个品种的野生菌共20千克，其中A品种的野生菌价格为每千克30元，购进B品种野生菌所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：千克）的函数关系式如图所示：
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若购买B品种的野生菌的重量不超过12千克，但不少于A品种野生菌的重量，试问如何购买能使购买费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）
（2）当购买10千克A品种野生菌，10千克B品种野生菌时，总费用最少，最少费用是740元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）分及两种情况考虑，根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出与的函数关系式；
（2）根据“购买B品种的野生菌的重量不超过12千克，但不少于品种野生菌的重量”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，设该批发商购进A、B两个品种的野生菌的总费用为元，利用购买费用品种的野生菌的单价购买数量（1）的结论，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为y=kx+bk≠0．
当时，将，代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为；
当时，将，代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为．
综上所述，y与x的函数关系式为y=50x(0≤x≤4)40x+40(x>4)；
【小问2详解】
∵该批发商购进A、B两个品种的野生菌共20千克，购进B品种野生菌x千克，
∴购进A品种野生菌千克．
根据题意得：，
解得：．
设该批发商购进A、B两个品种的野生菌的总费用为w元，则，
即，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，最小值为，此时．
答：当购买10千克A品种野生菌，10千克B品种野生菌时，总费用最少，最少费用是740元．