河北省承德市承德县第一中学等校2024-2025学年高三上学期摸底联考数学试题（原卷版）

这是一份河北省承德市承德县第一中学等校2024-2025学年高三上学期摸底联考数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知，则，1587B， 过点可作曲线切线条数为， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题；命题，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
2. 已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 渔民在某次打捞中打捞到的条鱼的质量（单位：斤）分别为：3.5，1.6，4.2，3.2，4.0，4.3，5.3，2.6，则这组数据的上四分位数为（ ）
A. 4.1B. 4.25C. 4.35D. 4.5
4. 已知平面向量，则（ ）
A. B. 1C. D.
5. 已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，若，则的离心率为（ ）
A B. C. D.
6. 已知，则（ ）
（注：若随机变量，则）
A. 0.1587B. 0.8413C. 1D. 0.4206
7. 过点可作曲线切线条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 0
8. 在圆锥中，轴截面为腰长为的等腰直角三角形，为底面圆上一点，且为线段上一动点，为等腰三角形，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递减
D. 在区间的值域为
10. 已知点为抛物线的焦点，为上不重合的两个动点，为坐标原点，若直线（直线斜率存在且不为0）与仅有唯一交点，则（ ）
A. 的准线方程为
B. 若线段与的交点恰好为中点，则
C 直线与直线垂直
D. 若，则
11. 如图所示的曲线被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（为坐标原点）动点到点的距离满足：，则（ ）

A. OP的最大值是
B. 若是曲线上一点，且在第一象限，则
C 与有1个交点
D. 面积的最大值是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
13. 写出函数的一个极值点__________.
14. 已知数列满足，则的前项和__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某智能机器人体验店近日生意火爆，来店的消费者络绎不绝，店长对最近100位消费者的体验机器人时长（不超过25分钟）进行了统计，统计结果如下表所示，已知每位消费者在该人工智能体验店每体验一台机器人的时间为5分钟，该体验店的利润为100元，体验时间为10分钟或者15分钟，其利润为150元，体验时间为20分钟或者25分钟，其利润为200元.用表示该体验店从一名消费者身上获取的利润.
（1）若以频率作为概率，求在该体验店消费的3名消费者中，至多有1名体验者体验15分钟的概率；
（2）求的分布列及期望.
16. 已知数列是以1为首项，2为公比等比数列，等差数列有，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的最大项的值.
17. 正四棱柱中，点分别在上，且四点共面.
（1）若，记平面与底面的交线为，证明：；
（2）已知，若，求四边形面积的最大值.
18. 已知的内角的对边分别为，面积为，且.
（1）证明：为等边三角形；
（2）设的延长线上一点满足，又平面内的动点满足，求的最小值.
19. 对于数列，定义：如果函数使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”.
（1）设，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；
（2）设，判断数列是否为“控制数列”，并说明理由；
（3）仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”.设，其中，证明：数列是“特控数列”.
体验时间
5分钟
10分钟
15分钟
20分钟
25分钟
频数
30
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10
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