福建省福州市部分高中2024-2025学年高二上学期开学联考数学试题

这是一份福建省福州市部分高中2024-2025学年高二上学期开学联考数学试题，共19页。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.已知函数，若对任意的实数t，在区间上的值域均为，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
2.已知复数,则( )
A.B.C.D.
3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，则为( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
4.在三棱锥中,,,E,F分别是AB,CD的中点,,则直线AD与BC所成的角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5.已知平面向量,满足,,则的最大值为( )
A.2B.C.D.3
6.已知函数,若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若关于x的方程在上有且仅有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
7.如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱，，，的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是( )
①与异面；②平面；③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面.
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.已知F为双曲线的左焦点,A是C的右顶点,点P在过点F且斜率为的直线上,且线段的垂直平分线经过点A,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.
9.已知复数（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则下列结论正确的是( )
A.在复平面内复数z所对应的点位于第四象限
B.
C.
D.
10.已知空间中三点,,,则下列说法正确的是( )
A.与是共线向量B.与同向的单位向量是
C.和夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是
11.已知函数的部分图象如图所示下列说法正确的是( )
A.
B.函数的图象的对称轴方程为直线，
C.函数的单调递减区间为，
D.若对于任意，都有成立，实数m的取值范围为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知角，为锐角，且，，则角______.
13.已知,是不共线的向量,,,,若A,B,C三点共线,则实数,满足__________.
14.若曲线与圆恰有4个公共点，则m的取值范围是______.
四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知向量，满足，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16.（15分）已知圆C过点,且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程;
（2）设点D在圆上运动,点,记M为线段的中点,求M的轨迹方程;
17.（15分）已知,.
（1）求的值;
（2）求的值.
18.（17分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，___________？
19.（17分）如图是函数图象的一部分.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）记方程在上的根从小到大依次为，若，试求n与m的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由$
函数值域为，又对任意的实数t，在区间上的值域均为，
则，
解得.
故选：D.
2.答案：A
解析：因为,所以,
所以.
故选:A.
3.答案：B
解析：因为，又，
即，由正弦定理可得，
即，所以为直角三角形且为直角.
故选：B
4.答案：A
解析：取AC的中点N,连接FN,EN,
因为E,F分别是AB,CD的中点,
所以,,故或其补角为直线AD与BC所成的角,
,,
又,
故,
故直线AD与BC所成的角的余弦值为.
故选:A
5.答案：C
解析：设,,如图,
由题意,即在平行四边形中,,,
求的最大值.
延长至,使,则,
由正弦定理,O,A,C三点所在外接圆的直径,
所以,设圆心为G,如图,
所以可知,又,,
所以由余弦定理可得,
则由图象可知,
故选：C.
6.答案：B
解析：将函数向左平移个单位长度后得到函数,
即,
,,
在上有且仅有两个不相等的实根,
,解得,
即实数的取值范围是,
故选：B.
7.答案：C
解析：对于①，连接，，，，四边形是平行四边形，
平面，，平面，平面，
平面，又，所以与AM是异面直线，正确；
对于②，连接EH，则，，四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面AEM，正确；
对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有，E，T，A，四点共面，
即平面截正方体的图形是四边形，如下图：
当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM，
，D，U，C，四点共面，平面，，
即平面截正方体的图形是五边形，如下图：
错误；
对于④，在正方形ABCD内，，，，
所以，又平面ABCD，平面ABCD，
，平面，，平面，
平面AEM，平面平面，正确；
故选：C.
8.答案：C
解析：因为且的垂直平分线经过点A,
所以为等腰三角形且,
在中,,
由,
得,解得,
由正弦定理可知：,即,
有,整理得,
即,解得.
故选：C.
9.答案：AC
解析：,在复平面内复数z所对应的点为，位于第四象限，A正确，
，B错误，
，C正确，
，故D错误，
故选：AC
10.答案：BD
解析：因为,,,
所以,,,
对于A：若存在实数使得,则,显然方程组无解,所以不存在使得,即与不共线,故A错误;
对于B：因为,所以与同向的单位向量,故B正确;
对于C：,故C错误;
对于D：设平面的法向量,则,取,得,故D正确;
11.答案：ABD
解析：对于a，函数的周期
，，解得，A正确；
对于B，由，得，，而，则，，可得，令，，解得，，可得对称轴方程为，，B正确；
对于C，由，可得，，
可得的单调递减区间为，C错误；
对于D，由，可得，可得，可得，
由，显然，，因此，D正确.
故选：ABD.
12.答案：（或）
解析：角，为锐角，且，
，，，
，
解得，
角是锐角，角.
故答案为：.
13.答案：
解析：方法1:因为A,B,C三点共线,所以设,
即:,
所以,消去m得:.
方法2:,
,
因为A,B,C三点共线,所以,
故,所以.
故答案为:.
14.答案：
解析：因为曲线与圆恰有4个公共点，所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，则有解得.
15.答案：（1）4；
（2）
解析：（1），，即
（2），，即
.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）,的中点坐标为,直线的斜率为,
故线段的垂直平分线方程为,即,
联立得,即圆C的圆心为,半径为,
故圆C的方程为
（2）设,,因M为线段的中点,
所以,则,
因点D在圆上运动,所以,则,
即M的轨迹方程为.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,
所以,即.
因为,则,所以,,
因为,所以.
（2）由,解得,,
所以;
所以.
18.答案：选条件①时问题中的三角形存在，此时；选条件②时问题中的三角形存在，此时；选条件③时问题中的三角形不存在
解析：方案一：选条件①.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是，由此可得.
由①，解得，.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时.
方案二：选条件②.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是，由此可得，，.
由②，所以，.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时.
方案三：选条件③.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是，由此可得.
由③，与矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
19.答案：（1）；
（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（3），
解析：（1）由图可得，
函数的最小正周期为，又，
则，所以，
又函数过点，所以，则，
则，，解得，，
因为，所以，
所以.
（2）令，，解得，，
令，，解得，.
因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，.
（3）方程，即，即，
因为，所以，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即，
又的对称轴为，，
不妨设6个解从小到大依次为，，，，，，
则，关于对称，，关于对称，，关于对称，
所以，，，
即，，，
解得，，.
所以，
所以，.