2023年上海市闵行区中考三模数学试题

这是一份2023年上海市闵行区中考三模数学试题，共27页。试卷主要包含了方程的根是　 　等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）|﹣2019|的相反数是（ ）
A．2019B．﹣2019C．D．﹣
2．（4分）将数据0.000000007米用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣6米B．7×10﹣7米C．7×10﹣8米D．7×10﹣9米
3．（4分）若关于x的分式方程有增根，则k的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
4．（4分）下列说法中：①﹣a一定是负数；②|a|一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（4分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．外离
6．（4分）高斯函数也称取整函数，记作[x]，表示不超过x的最大整数．例如[2.2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．已知函数y＝x﹣[x]，若关于x的方程x﹣[x]＝k（x+1）有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）一元二次方程x2﹣5＝0的根是 ．
8．（4分）方程的根是 ．
9．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
10．（4分）若分式的值为零，则x的值为 ．
11．（4分）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ m．
12．（4分）一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为 ．
13．（4分）2023年亚洲杯足球联赛将在中国举行，掀起学校足球运动热潮，某校足球队计划吸收一名新球员，组织了4轮技能考试，其中A和B的成绩（百分制）较为突出，具体如下：若教练要从中选出一名技术稳定的球员，则被选中的是 ．（填写序号）
14．（4分）如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，斜边上的高AD交BC于D，若BD＝9，CD＝4，则AD的长度等于 ．
15．（4分）若菱形的两对角线长分别为a、b，且满足，则该菱形的面积为 ．
16．（4分）若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两段，则该矩形的周长为 ．
17．（4分）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+bx﹣2与y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标 ．
18．（4分）在边长为2的正方形ABCD中，点M和点N分别在直线BC和CD上运动，连接AN，DM，点O为AC的中点，连接OM，ON，得OM⊥ON，当CM＝4时，MN＝ ．
三.解答题（满分78分）
19．（10分）计算：（结果保留带分数形式）．
20．（10分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
21．（10分）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，DE＝10公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，FG＝8公里，G→H为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：
◆第一枪发令时间7：30，A区选手出发；
◆第二枪发令时间7：35，B区选手出发；
◆第三枪发令时间7：40，C区选手出发．
若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里；乙为A区选手，平均配速为5.5分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间）
（1）在整个赛程中，甲、乙共有 次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇；
（2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速．
22．（10分）阅读以下微信群聊，完成任务．
23．（12分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别是线段OA、OB和BC的中点．
（1）求证：四边形OEFG是平行四边形；
（2）当AC＝2AB时，求证；四边形GCAF是等腰梯形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点C是抛物线上对称轴左侧的动点，点C的横坐标为m，将线段OC绕点O顺时针旋转90°得线段OD，连接BD，过点C作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点E．
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣2的函数表达式；
（2）当m＝﹣2时，点F在y轴上，连接CF且CF⊥BD，求线段CF的长；
（3）连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得线段BN，连接ON，在点C运动过程中，当△BOD与△BON的面积之和为，且点D与点N分别位于x轴两侧时，请直接写出m的值．
25．（14分）如图1，AB是⊙O的直径，点P是直径AB上一动点，过点P作直径AB的垂线交⊙O于C，D两点．
（1）若⊙O的半径为2，，连接CO，DO，求劣弧的长度；
（2）如图2，点K是劣弧上一点，连接AK，BK，AK交CD于点Q，连接BQ，记∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；
（3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接AK，DK，AK交CD于点Q，DK交AB于点N，连接AD，QN．
①求证：△DAQ∽△AND；
②记∠OND＝θ，△ANQ的面积为S1，△DON的面积为S2，求的值（结果用含有θ的三角函数值的式子进行表示）．
参考答案
一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）|﹣2019|的相反数是（ ）
A．2019B．﹣2019C．D．﹣
【解答】解：|﹣2019|＝2019，
2019的相反数为﹣2019，
故选：B．
2．（4分）将数据0.000000007米用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣6米B．7×10﹣7米C．7×10﹣8米D．7×10﹣9米
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故选：D．
3．（4分）若关于x的分式方程有增根，则k的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x﹣6＝0，
解得x＝6，
原方程化为：，
﹣2k﹣x+6＝x﹣5，
将x＝6代入得：﹣2k﹣6+6＝6﹣5，
解得．
故选：B．
4．（4分）下列说法中：①﹣a一定是负数；②|a|一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①﹣a不一定是负数，故本选项错误；
②|a|是非负数，故本选项错误；
③倒数等于它本身的数是±1，正确；
④绝对值等于它本身的数是0和正数，故本选项错误；
其中正确的个数有1个．
故选：A．
5．（4分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．外离
【解答】解：分别取AB、DC中点M和N，连接MN，
∴MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN＝（AD+BC）＝×（3+9）＝6，
∵分别以AB、CD为直径的圆的圆心是M和N，
∴⊙M和⊙N的圆心距d＝MN＝6，
∵⊙M的半径R＝AB＝×6＝3，⊙N的半径r＝CD＝×4＝2，
∴d＞R+r，
∴这两圆的位置关系是外离．
故选：D．
6．（4分）高斯函数也称取整函数，记作[x]，表示不超过x的最大整数．例如[2.2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．已知函数y＝x﹣[x]，若关于x的方程x﹣[x]＝k（x+1）有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【解答】解：当0≤x＜1时，[x]＝0，
∴y＝x﹣[x]＝x；
当1≤x＜2时，[x]＝1，
∴y＝x﹣[x]＝x﹣1；
当2≤x＜3时，[x]＝2，
∴y＝x﹣[x]＝x﹣2；
当3≤x＜4时，[x]＝3，
，
∴y＝x﹣[x]＝x﹣3；
当﹣1≤x＜0时，[x]＝﹣1，
∴y＝x﹣[x]＝x+1；
当﹣2≤x＜﹣1时，[x]＝﹣2，
∴y＝x﹣[x]＝x+2；
当﹣3≤x＜﹣2时[x]＝﹣3，
y＝x﹣[x]＝x+3；
，
∴函数y＝x﹣[x]的图象如图所示：
y＝kx+k表示恒过A （﹣1，0 ）点斜率为k的直线若方程x﹣[x]＝k（x+1）有3个相异的实根，
则函数y＝x﹣[x]与函数y＝kx+k的图象有且仅有3个交点，
由图可得：
当y＝kx+k过（2，1）点时，k＝；
当y＝kx+k过（3，1）点时，k＝；
当y＝kx+k过（﹣2，l）点时，k＝l；
当y＝kx+k过（﹣3，l）点时，k＝﹣，
则实数k满足﹣≤k≤1．
故选：C．
二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）一元二次方程x2﹣5＝0的根是 x1＝，x2＝﹣ ．
【解答】解：∵x2﹣5＝0，
∴x2＝5，
则x＝±，即x1＝，x2＝﹣，
故答案为：x1＝，x2＝﹣．
8．（4分）方程的根是 4 ．
【解答】解：两边平方得到：2x﹣4＝4，
解得x＝4，
经检验：x＝4是原方程的解，
故答案为4．
9．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即9﹣8m＝0，
解得m＝；
故答案为：．
10．（4分）若分式的值为零，则x的值为 2 ．
【解答】解：依题意，x2﹣4＝0且x+2≠0
解得：x＝2，
故答案为：2．
11．（4分）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝ 10 m．
【解答】解：令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10m．
故答案为：10．
12．（4分）一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为 （0，3） ．
【解答】解：∵令x＝0，则y＝3，
∴一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
13．（4分）2023年亚洲杯足球联赛将在中国举行，掀起学校足球运动热潮，某校足球队计划吸收一名新球员，组织了4轮技能考试，其中A和B的成绩（百分制）较为突出，具体如下：若教练要从中选出一名技术稳定的球员，则被选中的是 A ．（填写序号）
【解答】解：A的平均成绩为：，
A成绩的方差为：，
B的平均成绩为：，
B成绩的方差为：，
∵2＜7.5，
∴被选中的是A，
故答案为：A．
14．（4分）如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，斜边上的高AD交BC于D，若BD＝9，CD＝4，则AD的长度等于 6 ．
【解答】解：由射影定理得，AD2＝BD•CD，
则AD2＝9×4＝36，
∴AD＝6，
故答案为：6．
15．（4分）若菱形的两对角线长分别为a、b，且满足，则该菱形的面积为 1 ．
【解答】解：∵≥0，|b﹣2|≥0，且+|b﹣2|＝0，
∴＝0，|b﹣2|＝0，
∴|a﹣1|＝0，b＝2，
∴a＝1，
∵菱形的两条对角线互相垂直，且两条对角线长分别为a＝1，b＝2，
∴该菱形的面积为S＝ab＝×1×2＝1，
故答案为：1．
16．（4分）若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两段，则该矩形的周长为 22cm或26cm ．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
当AE＝3cm时，AB＝AE＝3＝CD，AD＝3cm+5cm＝8cm＝BC，
∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝3cm+8cm+3cm+8cm＝22cm；
当AE＝5cm时，AB＝AE＝5cm＝CD，AD＝3cm+5cm＝8cm＝BC，
∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝5cm+8cm+5cm+8cm＝26cm；
故答案为：22cm或26cm．
17．（4分）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+bx﹣2与y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标 （﹣，2） ．
【解答】解：根据题意得，
解得．
∴点P的坐标为（﹣，2），
故答案为：（﹣，2）．
18．（4分）在边长为2的正方形ABCD中，点M和点N分别在直线BC和CD上运动，连接AN，DM，点O为AC的中点，连接OM，ON，得OM⊥ON，当CM＝4时，MN＝ 或． ．
【解答】解：当点M在线段CB的延长线上时，
∵CM＝4，BC＝2，
∴BM＝2，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，点O为AC中点，
∴AO＝CO＝BO，∠ABO＝∠ACB＝45°，OB⊥AC，
∴∠OCN＝∠OBM＝135°，∠BOC＝∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠BOM，
∴△OCN≌△OBM（ASA），
∴BM＝CN＝2，
∴MN＝；
当点M在线段BC的延长线上时，
同理可得：∴MN＝；
综上所述：MN的长为或．
故答案为：或．
三.解答题（满分78分）
19．（10分）计算：（结果保留带分数形式）．
【解答】解：
＝
＝．
20．（10分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤1，
在数轴上表示不等式的解集为：
，
所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1．
21．（10分）半马，即半程马拉松，又称二分之一马拉松，目前国际上从众增长最快的赛跑项目，路程长度大约是21公里．如图为某次半马的路线，DE＝10公里，E，E为折返点，拐弯路段EF的长度忽略不计，FG＝8公里，G→H为半圆路段，O为圆心，半径为1公里．根据选手报名人数和赛道宽度等情况，为保证赛道畅通和补给有序，组委会决定采取分区检录、分枪起跑、同地出发的发令方式，具体发令时间如下：
◆第一枪发令时间7：30，A区选手出发；
◆第二枪发令时间7：35，B区选手出发；
◆第三枪发令时间7：40，C区选手出发．
若甲为B区选手，平均配速为5分钟/公里；乙为A区选手，平均配速为5.5分钟/公里．（平均配速是指每公里所需要的时间）
（1）在整个赛程中，甲、乙共有 1 次相遇，并求甲、乙在距离起点多少公里处相遇；
（2）此次比赛，冠军用时1小时3分钟．已知丙为C区选手，甲出发17分钟时，甲、乙、丙三人所在的位置分别为S，R，T，当S，R，T三点中，有一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，求丙的平均配速．
【解答】解：（1）设甲、乙在距离起点x公里处相遇，则
5.5x﹣5x＝5，
解得：x＝10，
故甲、乙在距离起点10公里处相遇，且甲乙共有1次相遇．
故答案为：1．
（2）∵冠军用时1小时3分钟，
∴冠军的平均配速约为3分钟/公里，
∴丙的平均配速≥3分钟/公里，
设丙的平均配速为y分钟/公里，
∵DS＝×17＝3.4，DR＝×（17+5）＝4，
∴SR＝DR﹣DS＝0.6，
①如图，
当S为中点时，得DT＝DR﹣2SR＝2.8，
即2.8y＝17﹣5，
解得：y＝，
故丙的平均配速为分钟/公里；
②如图，
当T为中点时，得DT＝DR﹣SR＝3.7，
即3.7y＝17﹣5，
解得：y＝，
故丙的平均配速为分钟/公里；
③如图，
当R为中点时，得DT＝DR+SR＝4.6，
即4.6y＝17﹣5，
解得：y＝＜3（舍去），
综上丙的平均配速为分钟/公里或分钟/公里．
22．（10分）阅读以下微信群聊，完成任务．
【解答】解：（任务一）由微信聊天记录可知，小骆家5人，小红家6人，小雷家6人，小绿家4人，“我”家5人，共26人．
∵420÷（5﹣1）＝105（元/人），650÷（7﹣1）≈108.33（元/人），
∴尽可能坐五座车更划算．
26÷4＝6（辆）…2（人）．
打车方案为：
①7辆5座车，0辆7座车，费用为7×420＝2940（元）；
②6辆5座车，1辆7座车，费用为6×420+650＝3170（元）；
③5辆5座车，1辆7座车，费用为5×420+650＝2750（元）；
④4辆5座车，2辆7座车，费用为4×420+2×650＝2980（元）；
⑤3辆5座车，3辆7座车，费用为3×420+3×650＝3210（元）；
⑥2辆5座车，3辆7座车，费用为2×420+3×650＝2790（元）；
⑦1辆5座车，4辆7座车，费用为420+4×650＝3020（元）；
⑧0辆5座车，5辆7座车，费用为5×650＝3250（元）．
∴有8种打车方案．打5辆5座车，1辆7座车比较划算．
（任务二）根据题意可知，小绿家要2间“亲子家庭房”，“我”家要2间“亲子家庭房”，共4间“亲子家庭房”，花费3000元．
∴每间“亲子家庭房”的价格是3000÷4＝750（元），
∴小胡家的两间“亲子家庭房”共花费750×2＝1500（元）．
（任务三）设该“旅行团”购买了“380”的门票x张，则购买了“580”的门票为（26﹣x）张．设“我”朋友一家6人，每人的票价为m元．
∴380x+580（26﹣x）＝6m，
∴x＝（x为整数，且x≤26）．
①当m＝380时，x＝＝64（不符合题意）；
②当m＝580时，x＝＝58（不符合题意）；
③当m＝880时，x＝＝49（不符合题意）；
④当m＝1280时，x＝＝37（不符合题意）；
⑤当m＝1880时，x＝＝19（符合题意）；
⑥当m＝2880时，x＝＝﹣11（不符合题意）；
⑦当m＝3880时，x＝＝﹣41（不符合题意）．
∴该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张和7张．
23．（12分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别是线段OA、OB和BC的中点．
（1）求证：四边形OEFG是平行四边形；
（2）当AC＝2AB时，求证；四边形GCAF是等腰梯形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∵点E、F和G分别是线段OA、OB和BC的中点．
∴CG＝BG，OE＝AE，OF＝BF，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝，OG∥AB，
同理，EF＝AB，EF∥AB，
∴OG＝EF，OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形；
（2）如图，连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AC＝2AB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△ABO是等边三角形，
∴AF⊥OB，AF＝AB，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴BC＝AB，
∴CG＝AB，
∴AF＝CG，
∵四边形OEFG是平行四边形，
∴FG∥AC，
∴四边形GCAF是等腰梯形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点C是抛物线上对称轴左侧的动点，点C的横坐标为m，将线段OC绕点O顺时针旋转90°得线段OD，连接BD，过点C作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点E．
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣2的函数表达式；
（2）当m＝﹣2时，点F在y轴上，连接CF且CF⊥BD，求线段CF的长；
（3）连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得线段BN，连接ON，在点C运动过程中，当△BOD与△BON的面积之和为，且点D与点N分别位于x轴两侧时，请直接写出m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当m＝﹣2时，即点C的横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2﹣×（﹣2）﹣2＝，
∴C（﹣2，），
将线段OC绕点O顺时针旋转90°得线段OD，
则OC＝OD，∠COD＝90°，
如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设CE交y轴于点G，
则∠DHO＝90°，
∵CE∥x轴，
∴∠CGO＝90°＝∠DHO，
∵∠COG+∠DOG＝90°，∠DOH+∠DOG＝90°，
∴∠COG＝∠DOH，
∴△COG≌△DOH（AAS），
∴CG＝DH＝2，OG＝OH＝，
∴BH＝OH﹣OB＝﹣3＝，
在Rt△BDH中，BD＝＝＝，
∵CF⊥BD，x轴⊥y轴，即FG⊥BH，且∠CFG和∠DBH均为锐角，
∴∠CFG＝∠DBH，
∵∠AGF＝∠DHB＝90°，
∴△CFG≌△DBH（AAS），
∴CF＝BD＝；
（3）由题意得：C（m，m2﹣m﹣2），
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点E与点C关于直线x＝1对称，
∴E（2﹣m，m2﹣m﹣2），
当m＜0时，过点C作CG⊥x轴于G，过点D作DH⊥x轴于H，过点E作EK⊥x轴于K，过点N作NL⊥x轴于L，如图2，
则CG＝EK＝m2﹣m﹣2，OG＝﹣m，BK＝2﹣m﹣3＝﹣m﹣1，
由旋转得：OD＝OC，BN＝BE，∠COD＝∠EBN＝90°，
∴∠COG+∠DOH＝90°，
∵∠OGC＝∠DHO＝90°，
∴∠COG+∠OGC＝90°，
∴∠OGC＝∠DOH，
∴△COG≌△ODH（AAS），
∴DH＝OG＝﹣m，
同理可得：△BNL≌△EBK（AAS），
∴NL＝BK＝﹣m﹣1，
∴S△BOD+S△BON＝OB•（DH+NL）＝×3（﹣m﹣m﹣1）＝﹣3m﹣，
∵S△BOD+S△BON＝，
∴﹣3m﹣＝，
解得：m＝﹣；
当0≤m＜1时，过点C作CG⊥x轴于G，过点D作DH⊥x轴于H，过点E作EK⊥x轴于K，过点N作NL⊥x轴于L，如图3，
则OG＝EK＝﹣m2+m+2，CG＝m，BK＝3﹣（2﹣m）＝m+1，
由旋转得：OD＝OC，BN＝BE，∠COD＝∠EBN＝90°，
∵∠COG+∠DOG＝∠DOH+∠DOG＝90°，
∴∠COG＝∠DOH，
∵∠OGC＝∠OHD＝90°，
∴△COG≌△DOH（AAS），
∴DH＝CG＝m，
同理可得：△BNL≌△EBK（AAS），
∴NL＝BK＝m+1，
∴S△BOD+S△BON＝OB•（DH+NL）＝×3（m+m+1）＝3m+，
∵S△BOD+S△BON＝，
∴3m+＝，
解得：m＝；
综上所述，m的值为﹣或．
25．（14分）如图1，AB是⊙O的直径，点P是直径AB上一动点，过点P作直径AB的垂线交⊙O于C，D两点．
（1）若⊙O的半径为2，，连接CO，DO，求劣弧的长度；
（2）如图2，点K是劣弧上一点，连接AK，BK，AK交CD于点Q，连接BQ，记∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；
（3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接AK，DK，AK交CD于点Q，DK交AB于点N，连接AD，QN．
①求证：△DAQ∽△AND；
②记∠OND＝θ，△ANQ的面积为S1，△DON的面积为S2，求的值（结果用含有θ的三角函数值的式子进行表示）．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，，
∴，
∴∠AOC＝60°，∠COD＝120°，
∴，
∴劣弧的长度为；
（2）解：同理（1）可知QP⊥BP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AKB＝90°，即QK⊥BK，
∵BQ平分∠ABK，
∴QP＝QK，
∵QB＝QB，QP＝QK，
∴Rt△BPQ≌Rt△BKQ（HL），
∴BP＝BK，
由题意知，
设BP＝BK＝3m，则AB＝5m，
由勾股定理得，
设QP＝QK＝n，则AQ＝4m﹣n，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴β的正切值为；
（3）①证明：由题意知CD⊥AB，
∵动点P移动到点O，
∴CD为直径，
∴，
∴∠ADQ＝∠NAD＝∠AKD，
∵∠DAQ＝∠KAN+∠NAD，∠AND＝∠KAN+∠AKD，
∴∠DAQ＝∠AND，
∴△DAQ∽△AND；
②解：设⊙O的半径为r，则AO＝DO＝r，
由勾股定理得，
∵∠OND＝θ，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∵△DAQ∽△AND，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴的值为tmnθ＝﹣1．序号
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
A
90
88
92
90
B
89
92
86
93
任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？
任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？
任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？


序号
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
A
90
88
92
90
B
89
92
86
93
任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？
任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？
任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？