高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.9直线与圆的方程大题专项训练(30道)(原卷版+解析)

这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.9直线与圆的方程大题专项训练(30道)(原卷版+解析)，共38页。
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）已知圆C过三个点0,2,1,1,2,2，过点P2,0引圆C的切线，求：
(1)圆C的一般方程；
(2)圆C过点P的切线方程.
2．（2023春·河北张家口·高二校考阶段练习）已知一圆C的圆心为2,−1，且该圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点P4,3的该圆的切线方程.
3．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x+y−1=0相切于点P2,−1.
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
4．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆C经过点A(1,2)和B(5,−2)，且圆C关于直线2x+y=0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)过点D(−3,1)作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
5．（2023春·河南信阳·高二校考阶段练习）已知直线l:mx−y+1−m=0和圆C:x2+y−12=5.
(1)求证：对任意实数m，直线l和圆C总有两个不同的交点；
(2)设直线l和圆C交于A，B两点.
①若|AB|=17，求l的倾斜角；
②求弦AB的中点M的轨迹方程.
6．（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为50m.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求桥面在圆拱内部分CD的长度.（结果精确到0.1m）
7．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知圆P过两点M(0,2)，N(3,1)，且圆心P在直线y=x上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点Q(−1,2)的直线交圆P于A,B两点，当AB=23时，求直线AB的方程．
8．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知圆C1:(x+3)2+(y−2)2=8与圆C2关于直线4x−2y+1=0对称.
(1)求圆C2的标准方程；
(2)直线3x+4y+m−5=0与圆C2相交于M,N两点，且△MC2N的外接圆的圆心在△MC2N内部，求m的取值范围.
9．（2023秋·高一单元测试）已知以点Ct,2tt∈R,t≠0为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点．
(1)试写出圆C的标准方程；
(2)设直线y=−2x+4与圆C交于M，N两点，若OM=ON，求圆C的标准方程．
10．（2023春·江西赣州·高二校考期末）已知圆C：x2+y2−6x−8y+21=0．
(1)若直线l1过定点A1，1，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x−y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
11．（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系中，圆C过点A(4,0)，B(2,2)，且圆心C在x+y−2=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若已知点P(4,23)，过点P作圆C的切线，求切线的方程．
12．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆心为C的圆经过A0,3，B1,2两点，且圆心C在直线l:x+y=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求与直线AB平行且与圆C相切的直线方程．
13．（2023秋·高一单元测试）已知直线l：y=kx+22与圆O：x2+y2=4相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求k的取值范围；
(2)△ABO的面积为S，求S的最大值，并求取得最大值时k的值．
14．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知圆C的圆心在直线2x+y−4=0上，且与y轴相切于点O0,0．
(1)求圆C的方程；
(2)已知过点P1,3的直线l被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程．
15．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x−m2+y−2m−32=1，m∈R．
(1)当m=−1时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于P−2,2，若圆C上存在点M，使MP=MO，求实数m的取值范围．
16．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆E经过点A(0,1)，B(1,4)，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线x−5y−5=0与直线x−2y−8=0的交点C；②圆E恒被直线l:(m+1)x+(m−3)y−6m−2=0(m∈R)平分；③与y轴相切.
(1)求圆E的方程；
(2)求过点P(10,11)的圆E的切线方程.
17．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）已知直线l过点P1,−1，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①与圆(x+1)2+y2=5相切；②倾斜角的余弦值为55；③直线l的一个方向向量为a=−2,−4.
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若直线l与曲线C:x2+y2−6x−2y+6=0相交于M,N两点，求弦长MN.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知圆C:x2+y2=16，直线l:2+kx+1+ky+k=0.
(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；
(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.
19．（2023秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x−3y−4=0相切
(1)求圆O的方程；
(2)若已知点P(3，2)，过点P作圆O的切线，求切线的方程．
20．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知圆C：x−32+y2=4．
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)设直线l：x=my+2m∈R
①求证：直线l与圆C恒相交；
②若直线l与圆C交于A，B两点，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
21．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1:x2+y2+12x−14y+60=0.设圆O2与x轴相切，与圆O1外切，且圆心O2在直线x=−6上.
(1)求圆O2的标准方程；
(2)设垂直于OO2的直线l与圆O1相交于B，C两点，且BC=37，求直线l的方程.
22．（2023春·上海徐汇·高二校考期中）已知圆M方程为x2+y−22=1，直线l的方程为x−2y=0，点P在直线l上，过P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
(1)若P点坐标为0,0，求∠APB
(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点M的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
23．（2023春·广西柳州·高二校考期中）已知圆C：x2+y−12=5，直线l：mx−y+1−m=0.
(1)设直线l与圆C相交于A,B两点，且AB=17，求直线l的方程；
(2)设直线l与圆C相交于A,B两点，求弦AB中点的轨迹方程.
24．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知圆C:x2+y2+2x−4y+3=0.
(1)若直线l过点−2,0且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足PM=PO，求点P的轨迹方程.
25．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知直线l：y=kxk≠0与圆C：x2+y2−2x−3=0相交于A、B两点．
(1)若AB=13，求k；
(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
26．（2023春·四川内江·高二校考开学考试）已知点P0,2，设直线l：y=kx+b（b，k∈R）与圆C:x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点.
(1)若PA⊥PB，求b的值；
(2)若|AB|=23，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为233，求直线l的斜率k的值；
(3)当|PA|⋅|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
27．（2023春·安徽安庆·高二校考期中）已知半径小于6的圆C过点A8,1，且圆C与两坐标轴均相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C与直线l:x−y+m=0交于A,B两点，__________，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120∘；条件②：AB=53．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
28．（2023春·上海黄浦·高二校考期中）已知直线l:x=my−1，圆C:x2+y2+4x=0.
(1)证明：直线l与圆C相交；
(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
29．（2023春·上海嘉定·高二校考期中）已知过点A−1,0的直线l与圆C:x2+y−32=4相交于P、Q两点，M是弦PQ的中点，且直线l与直线m:x+3y+6=0相交于点N．
(1)当直线l与直线m垂直时，求证：直线l经过圆心C；
(2)当弦长PQ=23时，求直线l的方程；
(3)设t=AM⋅AN，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．
30．（2023春·江西宜春·高二校联考期中）已知半径为 83 的圆C的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)已知A0,−1，P为圆C上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若点D4,6，试求 12PA+PD的最小值．
专题2.9 直线与圆的方程大题专项训练（30道）
【人教A版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）已知圆C过三个点0,2,1,1,2,2，过点P2,0引圆C的切线，求：
(1)圆C的一般方程；
(2)圆C过点P的切线方程.
【解题思路】（1）设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，代入三点的坐标，求解即可；
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，再结合点线距离公式即可求解.
【解答过程】（1）设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，
代入三个点0,2,1,1,2,2得，4+2E+F=0,2+D+E+F=0,8+2D+2E+F=0,解得D=−2,E=−4,F=4,
所以圆C的一般方程为x2+y2−2x−4y+4=0.
（2）圆C的一般方程化为标准形式为(x−1)2+(y−2)2=1.
当切线斜率不存在时，易知切线方程x=2符合题意.
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx−2，即kx−y−2k=0，
则依题意可得k−2−2kk2+1=1，解得k=−34，
此时切线方程为−34x−y+32=0，即3x+4y−6=0.
综上所述，圆C过点P的切线方程为x=2和3x+4y−6=0.
2．（2023春·河北张家口·高二校考阶段练习）已知一圆C的圆心为2,−1，且该圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22.
(1)求该圆的方程；
(2)求过点P4,3的该圆的切线方程.
【解题思路】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程.
【解答过程】（1）设圆C的方程为x−22+y+12=r2r>0，
∵圆心到直线x−y−1=0的距离为d=2+1−112+−12=2，
又圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22，∴r2=22+22=4，
∴圆的方程为：x−22+y+12=4.
（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为y−3=kx−4，即kx−y−4k+3=0，
由2k+1−4k+3k2+1=2得：k=34，∴切线方程为34x−y=0，即3x−4y=0，
综上所述：过点P4,3的圆的切线方程为x=4或3x−4y=0.
3．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x+y−1=0相切于点P2,−1.
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
【解题思路】（1）求出过点P2,−1且与直线x+y−1=0垂直的直线方程，与y=−2x联立求出圆心M，根据两点间的距离求出半径，即可得圆M的方程；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
【解答过程】（1）过点P2,−1且与直线x+y−1=0垂直的直线方程为x−y−3=0，
联立x−y−3=0y=−2x，解得x=1y=−2，所以M1,−2,
所以圆M的半径为MP=2−12+−1+22=2,
所以圆M的方程为x−12+y+22=2.

（2）由（1）可知圆M的方程为x−12+y+22=2，
因为直线l被圆M截得的弦长为6，
所以M到直线l的距离为d=2−64=22，
若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设方程为y=kx，
则d=k+2k2+1=22,即k2+8k+7=0,解得k=−1或−7,
所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0.

4．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆C经过点A(1,2)和B(5,−2)，且圆C关于直线2x+y=0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)过点D(−3,1)作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
【解题思路】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与2x+y=0的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可；
（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.
【解答过程】（1）∵A(1,2)，B(5,−2)，故AB的中点坐标为3,0，kAB=−2−25−1=−1，
∴AB的垂直平分线为：y−0=−1−1x−3⇒y=x−3，
由y=x−32x+y=0解得圆心C(1,−2)，半径r=CA=CB=4
故圆C的方程为(x−1)2+(y+2)2=16；
（2）若直线l的斜率存在，方程可设为y−1=kx+3，即kx−y+3k+1=0
圆心C(1,−2)到直线l的距离为d=k+2+3k+11+k2=r=4，解得k=724，
所求的一条切线为7x−24y+45=0；
当直线l的斜率不存在时，圆心C(1,−2)到x=−3的距离为4，即x=−3与圆相切，
所以直线l的方程为x=−3和7x−24y+45=0．
5．（2023春·河南信阳·高二校考阶段练习）已知直线l:mx−y+1−m=0和圆C:x2+y−12=5.
(1)求证：对任意实数m，直线l和圆C总有两个不同的交点；
(2)设直线l和圆C交于A，B两点.
①若|AB|=17，求l的倾斜角；
②求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解题思路】（1）解法1，联立消元，根据Δ>0，即可得证；
解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明；
解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明；
（2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可；
②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数m，即可得解；
【解答过程】（1）解法1：将y=1+m(x−1)代入x2+(y−1)2=5，
得1+m2x2−2m2x+m2−5=0，因为Δ=16m2+20>0，
故直线l和圆C总有两个不同的交点.
解法2：圆心C(0,1)到直线l的距离d=|m|1+m2=1−11+m2