高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题3.6抛物线的标准方程和性质【八大题型】(原卷版+解析)

这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题3.6抛物线的标准方程和性质【八大题型】(原卷版+解析)，共29页。

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\l "_Tc9463" 【题型1 动点的轨迹问题】 PAGEREF _Tc9463 \h 2
\l "_Tc2747" 【题型2 利用抛物线的定义解题】 PAGEREF _Tc2747 \h 2
\l "_Tc15206" 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 PAGEREF _Tc15206 \h 3
\l "_Tc2035" 【题型4 求抛物线的标准方程】 PAGEREF _Tc2035 \h 3
\l "_Tc14676" 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 PAGEREF _Tc14676 \h 4
\l "_Tc2053" 【题型6 抛物线的对称性的应用】 PAGEREF _Tc2053 \h 5
\l "_Tc15270" 【题型7 与抛物线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc15270 \h 6
\l "_Tc10522" 【题型8 与抛物线有关的实际应用问题】 PAGEREF _Tc10522 \h 6
【知识点1 抛物线的标准方程】
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
【题型1 动点的轨迹问题】
【例1】（2023春·陕西安康·高二校联考期末）动点Px,y到点F3,0的距离比它到直线x+2=0的距离大1，则动点P的轨迹是（ ）.
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
【变式1-1】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）动点Mx,y满足方程5x−12+y−22=3x+4y+12，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y到直线x=1的距离比它到定点−2,0的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4x
C．y2=−4xD．y2=−8x
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2=1 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2=−12y B．x2=12yC．y2=12x D．y2=−12x
【题型2 利用抛物线的定义解题】
【例2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）抛物线C：y=ax2过点1,2，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．18B．14C．12D．1
【变式2-1】（2023春·江苏盐城·高二统考期末）若抛物线y2=4x上的一点M到坐标原点O的距离为5，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．23B．1C．2D．3
【变式2-2】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在抛物线C上，若M到直线x=−3的距离为7，则MF=（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式2-3】（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知抛物线C:x2=8y的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且AB=2BD，若FB为∠DFA的平分线，则AF+BF等于（ ）
A．83B．8C．10D．323
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知P−1,2为抛物线C:y2=−2pxp>0上一点，则C的焦点坐标为（ ）．
A．−14,0B．−12,0C．−32,0D．−1,0
【变式3-1】（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）抛物线y2=14x的焦点到其准线的距离为（ ）
A．12B．14C．18D．116
【变式3-2】（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线C与抛物线 y2=4x关于y轴对称，则C的准线方程是（ ）
A．x=− 2B．x=2
C．x=− 1D．x=1
【变式3-3】（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知点P在圆C:x2−4x+y2=0上，其横坐标为1，抛物线x2=−2pyp>0经过点P，则抛物线的准线方程是（ ）
A．y=36B．x=312C．x=36D．y=312
【题型4 求抛物线的标准方程】
【例4】（2023·全国·高二专题练习）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A．y2=8xB．y2=−8xC．y2=8x或y2=−8xD．x2=8y或x2=−8y
【变式4-1】（2023春·四川眉山·高二校考开学考试）已知抛物线y2=2px上的点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是（ ）
A．y2=2xB．y2=4x
C．y2=−2xD．y2=−4x
【变式4-2】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l于D.若AF=2,∠DAF=60∘，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=8xB．y2=4x
C．y2=2xD．y2=x
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD=90°，且△ABF的面积为43，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4x
C．y2=8xD．y2=16
【题型5 根据抛物线的方程求参数】
【例5】（2023秋·高二单元测试）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a=（ ）
A．18B．−18C．8D．−8
【变式5-1】（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线y2=mx绕其顶点顺时针旋转90∘之后，正好与抛物线y=2x2重合，则m=（ ）
A．−12B．12C．-2D．2
【变式5-2】（2023春·北京·高三校考阶段练习）P为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p=（ ）
A．2B．4C．4或9D．2或18
【变式5-3】（2022·江西·校联考二模）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若OM=5，FM=2，则p＝（ ）
A．2B．4
C．2或32D．2或23
【知识点2 抛物线的简单几何性质】
1．抛物线的几何性质
抛物线的简单几何性质：
2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是
e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
3．与抛物线有关的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型6 抛物线的对称性的应用】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，垂直抛物线C:y2=2pxp>0的轴的直线与抛物线C交于A,B两点，OA⋅OB=0，则AB=4，则p=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A．y2=8xB．y2=−8x
C．y2=8x或y2=−8xD．x2=8y或x2=−8y
【变式6-2】（2023·全国·高三对口高考）已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两个点，O为坐标原点，若OA=OB且△AOB的垂心恰是抛物线的焦点，则直线AB的方程是（ ）
A．x=pB．x=3pC．x=52pD．x=32p
【变式6-3】（2020·全国·模拟预测）已知抛物线C:y2=6x的焦点为F ，准线为l，点A在抛物线C上，且点A到准线l的距离为6，AF的垂直平分线与准线l交于点N，点O为坐标原点，则△OFN的面积为（ ）
A．932B．934C．93D．332
【题型7 与抛物线有关的最值问题】
【例7】（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线E:x2=4y，圆C:x2+y−32=1，P为E上一点，Q为C上一点，则PQ的最小值为（ ）
A．5B．22−1C．22D．3
【变式7-1】（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点P在C上，若点Q6,3，则△PQF周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
【变式7-2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点，若A2,3，则MF+MA的最小值为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【变式7-3】（2023·河北沧州·统考三模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A2,4关于P的对称点为B，记P到直线x=−1,x=−3的距离分别d1，d2，则d1+d2+AB的最小值为（ ）
A．217+2B．213+2
C．17+2D．13+17+2
【题型8 与抛物线有关的实际应用问题】
【例8】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为12dm，镜深2dm．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位dm）．
【变式8-1】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为x2100+y225=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，0,365为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）.已知观测点A的坐标6,0，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点C的坐标；
(2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离.
【变式8-2】（2023秋·河南周口·高二统考期末）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．
（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m）
【变式8-3】（2023春·上海浦东新·高二校考期中）如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，OP=10km，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
专题3.6 抛物线的标准方程和性质【八大题型】
【人教A版（2019）】
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\l "_Tc9463" 【题型1 动点的轨迹问题】 PAGEREF _Tc9463 \h 2
\l "_Tc2747" 【题型2 利用抛物线的定义解题】 PAGEREF _Tc2747 \h 3
\l "_Tc15206" 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 PAGEREF _Tc15206 \h 5
\l "_Tc2035" 【题型4 求抛物线的标准方程】 PAGEREF _Tc2035 \h 6
\l "_Tc14676" 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 PAGEREF _Tc14676 \h 8
\l "_Tc2053" 【题型6 抛物线的对称性的应用】 PAGEREF _Tc2053 \h 11
\l "_Tc15270" 【题型7 与抛物线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc15270 \h 13
\l "_Tc10522" 【题型8 与抛物线有关的实际应用问题】 PAGEREF _Tc10522 \h 16
【知识点1 抛物线的标准方程】
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程
抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
【题型1 动点的轨迹问题】
【例1】（2023春·陕西安康·高二校联考期末）动点Px,y到点F3,0的距离比它到直线x+2=0的距离大1，则动点P的轨迹是（ ）.
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
【解题思路】根据抛物线的定义即可判断.
【解答过程】解：∵动点到点3,0的距离比它到直线x=−2的距离大1，
∴动点到点3,0的距离等于它到直线x=−3的距离，
∴由抛物线的定义知：该动点的轨迹是以点3,0为焦点，以直线x=−3为准线的抛物线.
故选：D.
【变式1-1】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）动点Mx,y满足方程5x−12+y−22=3x+4y+12，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【解题思路】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.
【解答过程】由5(x−1)2+(y−2)2=3x+4y+12得(x−1)2+(y−2)2=3x+4y+125，
等式左边表示点x,y和点1,2的距离，等式的右边表示点x,y到直线3x+4y+12=0的距离，整个等式表示的意义是点x,y到点1,2的距离和到直线3x+4y+12=0的距离相等，且点1,2不在直线3x+4y+12=0上，所以其轨迹为抛物线.
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y到直线x=1的距离比它到定点−2,0的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4x
C．y2=−4xD．y2=−8x
【解题思路】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【解答过程】由题意知动点Px,y到直线x=2的距离与定点−2,0的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以−2,0为焦点，x=2为准线的抛物线，
所以p=4，轨迹方程为y2=−8x，
故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2=1 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2=−12y B．x2=12yC．y2=12x D．y2=−12x
【解题思路】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2=1外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【解答过程】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以p2=3,2p=12，其方程为x2=-12y.，
故选：A.
【题型2 利用抛物线的定义解题】
【例2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）抛物线C：y=ax2过点1,2，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．18B．14C．12D．1
【解题思路】根据条件求出a的值，从而得出抛物线的方程，进而可求出结果.
【解答过程】因为抛物线C：y=ax2过点1,2，所以a=2，故抛物线C：x2=12y，
所以C的焦点到准线的距离为14.
故选：B.
【变式2-1】（2023春·江苏盐城·高二统考期末）若抛物线y2=4x上的一点M到坐标原点O的距离为5，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）
A．23B．1C．2D．3
【解题思路】求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=4x的准线的距离即可．
【解答过程】设点My24,y，∵MO=5，
∴y24−02+(y−0)2=5，
∴y2=4或y2=−20（舍去），
∴x=y24=1，
∴M到抛物线y2=4x的准线x=−1的距离d=1−(−1)=2，
∵点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=4x的准线的距离，
∴点M到该抛物线焦点的距离为2．
故选：C.
【变式2-2】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在抛物线C上，若M到直线x=−3的距离为7，则MF=（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解题思路】根据题意转化为点M到准线x=−1的距离为5，结合抛物线的定义，即可求解.
【解答过程】由抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1，如图，
因为点M在C上，且M到直线x=−3的距离为7，
可得M到直线x=−1的距离为7−2=5，即点M到准线的距离为5，
根据抛物线的定义，可得点M到焦点的距离等于点M到准线的距离，
所以MF=5.
故选：B.
【变式2-3】（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知抛物线C:x2=8y的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且AB=2BD，若FB为∠DFA的平分线，则AF+BF等于（ ）
A．83B．8C．10D．323
【解题思路】由题意可得F0,2，D0,−2，从而可求DF=4．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1//BB1．根据抛物线的定义，结合角平分线的性质及相似三角形的性质即可求解.
【解答过程】F0,2，D0,−2，所以DF=4．
过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1//BB1．
因为FB为∠DFA的平分线．则ABBD=AFDF，又AB=2BD，∴AA1=AF=2DF=8，又BB1AA1=DBDA=13，∴BF=BB1=13AA1=83．
∴AF+BF=8+83=323．
故选：D．
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知P−1,2为抛物线C:y2=−2pxp>0上一点，则C的焦点坐标为（ ）．
A．−14,0B．−12,0C．−32,0D．−1,0
【解题思路】将点P的坐标代入抛物线C的方程，求出p的值，可得出抛物线C的方程，进而可求得抛物线C的焦点坐标.
【解答过程】将点P的坐标代入抛物线C的方程可得22=2p，解得p=2，
所以，抛物线C的方程为y2=−4x，其焦点坐标为−1,0.
故选：D.
【变式3-1】（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）抛物线y2=14x的焦点到其准线的距离为（ ）
A．12B．14C．18D．116
【解题思路】根据抛物线的标准方程和几何性质，即可求解.
【解答过程】由抛物线y2=14x，可得2p=14，所以p=18，
所以抛物线的焦点坐标为F(116,0)，准线方程为x=−116
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为18.
故选：C.
【变式3-2】（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线C与抛物线 y2=4x关于y轴对称，则C的准线方程是（ ）
A．x=− 2B．x=2
C．x=− 1D．x=1
【解题思路】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线C的准线方程.
【解答过程】抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，因为抛物线C与抛物线 y2=4x关于y轴对称，所以两个抛物线的准线也关于y轴对称，所以C的准线方程是x=1.
故选：D.
【变式3-3】（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知点P在圆C:x2−4x+y2=0上，其横坐标为1，抛物线x2=−2pyp>0经过点P，则抛物线的准线方程是（ ）
A．y=36B．x=312C．x=36D．y=312
【解题思路】结合圆的方程可求得P点坐标，代入抛物线方程可确定p的值，进而确定准线方程.
【解答过程】将x=1代入圆C方程得：y2=3，解得：y=±3，∴P1,3或P1,−3，
∵P在抛物线x2=−2pyp>0上，∴1=−23p或1=23p，
解得：p=−36（舍）或p=36，∴抛物线方程为x2=−33y，
∴抛物线的准线方程为：y=312.
故选：D.
【题型4 求抛物线的标准方程】
【例4】（2023·全国·高二专题练习）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A．y2=8xB．y2=−8xC．y2=8x或y2=−8xD．x2=8y或x2=−8y
【解题思路】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【解答过程】依题意设抛物线方程为y2=±2pxp>0．
因为焦点到准线的距离为4，
所以p=4，所以2p=8，
所以抛物线方程为y2=8x或y2=−8x．
故选：C．
【变式4-1】（2023春·四川眉山·高二校考开学考试）已知抛物线y2=2px上的点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是（ ）
A．y2=2xB．y2=4x
C．y2=−2xD．y2=−4x
【解题思路】由抛物线知识得出准线方程，再由点M(2,y0)到焦点的距离等于其到准线的距离求出p，从而得出方程.
【解答过程】由题意知p>0，则准线为x=−p2，
点M(2,y0)到焦点的距离等于其到准线的距离，
即|−p2−2|=3，∴p=2，则y2=4x
故选：B.
【变式4-2】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l于D.若AF=2,∠DAF=60∘，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=8xB．y2=4x
C．y2=2xD．y2=x
【解题思路】根据抛物线的定义求得DF=2，然后在直角三角形中利用∠DAF=60°可求得p=2，从而可得答案．
【解答过程】如图，连接DF，设准线与x轴交点为M

抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0，准线l：x=−p2
又抛物线的定义可得AF=AD，又∠DAF=60∘，所以△DAF为等边三角形，
所以DF=AF=2，∠DFM=60∘
所以在Rt△DFM中，DF=2MF=2p=2，则p=1，所以抛物线C的方程为y2=2x.
故选：C.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD=90°，且△ABF的面积为43，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4x
C．y2=8xD．y2=16
【解题思路】利用圆和抛物线的定义得到△ABF是等边三角形，再△ABF面积得到BF的长度，进而建立关于p的等式即可求解.
【解答过程】解：∵以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD=90°，结合抛物线的定义可得：AB=AF=BF
∴△ABF是等边三角形，
∴∠FBD=30°．
∵△ABF的面积为：34BF2=43，
∴BF=4．
又点F到准线的距离为BFsin30°=2=p，则该抛物线的方程为y2=4x．
故选：B．
【题型5 根据抛物线的方程求参数】
【例5】（2023秋·高二单元测试）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a=（ ）
A．18B．−18C．8D．−8
【解题思路】将抛物线方程标准化后写出抛物线准线方程即可求得结果.
【解答过程】抛物线y=ax2化为标准方程x2=1ay，
所以准线方程是y=−14a，
所以−14a=2，
解得a=−18.
故选：B.
【变式5-1】（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线y2=mx绕其顶点顺时针旋转90∘之后，正好与抛物线y=2x2重合，则m=（ ）
A．−12B．12C．-2D．2
【解题思路】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从x轴负半轴旋转到y轴正半轴，即可得m=−12.
【解答过程】根据题意可得抛物线y2=mx的焦点坐标为m4,0，
抛物线y=2x2的标准方程为x2=12y，可得其焦点坐标为0,18，
易知m4,0绕原点顺时针旋转90∘之后得到0,18，即可得m4=−18，
解得m=−12.
故选：A.
【变式5-2】（2023春·北京·高三校考阶段练习）P为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p=（ ）
A．2B．4C．4或9D．2或18
【解题思路】由抛物线y2=2px(p>0)可得准线l的方程为：x=−p2，设点P(x,y)，再由点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得x+p2=10，y=±6，再与抛物线方程y2=2px(p>0)，联立解方程组，即可求解.
【解答过程】解：由题意可得：抛物线y2=2px(p>0)的准线l的方程为：x=−p2
设点P(x,y)，又因点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，
所以有{x+p2=10y=±6y2=2px，解得{x=1p=18或{x=9p=2，
即p的值分别为18或2.
故选：D.
【变式5-3】（2022·江西·校联考二模）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若OM=5，FM=2，则p＝（ ）
A．2B．4
C．2或32D．2或23
【解题思路】由抛物线的定义设M点坐标，由题意列方程求解
【解答过程】依题意，设Mx0,y0，则x0=2−p2，
OM2=x02+y02=2−p22+2p2−p2=5，解得p=2或p=23，
故选：D.
【知识点2 抛物线的简单几何性质】
1．抛物线的几何性质
抛物线的简单几何性质：
2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是
e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
3．与抛物线有关的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型6 抛物线的对称性的应用】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，垂直抛物线C:y2=2pxp>0的轴的直线与抛物线C交于A,B两点，OA⋅OB=0，则AB=4，则p=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解题思路】由题知△AOB为等腰直角三角形，进而得A2,2，再代入方程求解即可.
【解答过程】解：∵OA⋅OB=0，∴OA⋅OB⋅cs∠AOB=0，∴∠AOB=90∘，
∵AB=4，且AB⊥x轴，
∴由抛物线的对称性△AOB为等腰直角三角形，
设AB与x轴的交点为D，
∴AD=BD=OD=2，即A2,2，
∴将A2,2代入y2=2px得4=4p，解得p=1．
故选：D．
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A．y2=8xB．y2=−8x
C．y2=8x或y2=−8xD．x2=8y或x2=−8y
【解题思路】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【解答过程】依题意设抛物线方程为y2=±2pxp>0．因为焦点与原点之间的距离为2，所以p2=2，所以2p=8，所以抛物线方程为y2=8x或y2=−8x．
故选：C．
【变式6-2】（2023·全国·高三对口高考）已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两个点，O为坐标原点，若OA=OB且△AOB的垂心恰是抛物线的焦点，则直线AB的方程是（ ）
A．x=pB．x=3pC．x=52pD．x=32p
【解题思路】根据题意，结合抛物线的对称性，得到A,B关于x轴对称，设直线AB的方程为x=m，由△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F(p2,0)，得到AF⊥OB，根据kAF⋅kOB=−1，列出方程，即可求解.
【解答过程】由点A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA=OB，
根据抛物线的对称性，可得A,B关于x轴对称，
设直线AB的方程为x=m，则A(m,2pm),B(m,−2pm)，
因为△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F(p2,0)，
所以AF⊥OB，可得kAF⋅kOB=−1，即2pm−0m−p2⋅−2pm−0m−0=−1，
解得m=5p2，即直线AB的方程为x=5p2.
故选：C.
【变式6-3】（2020·全国·模拟预测）已知抛物线C:y2=6x的焦点为F ，准线为l，点A在抛物线C上，且点A到准线l的距离为6，AF的垂直平分线与准线l交于点N，点O为坐标原点，则△OFN的面积为（ ）
A．932B．934C．93D．332
【解题思路】解法一：先根据焦半径公式求出A的坐标，再求出AF的垂直平分线的方程，从而可求N的坐标，故可求△OFN的面积.
解法二：先根据焦半径公式求出A的坐标，过点A作l的垂线，垂足为B，利用抛物线的定义可得B,N重合，从而可求△OFN的面积.
【解答过程】解法一：抛物线C：y2=6x的焦点为F32,0，准线为l：x=−32，
设A(m,n)，由点A到准线l的距离为6，得m+32=6，得m=92，
代入抛物线的方程得n2=6×92=27，所以n=±33．
由抛物线的对称性，不妨设A92,33，则直线AF的斜率为kAF=3392−32=3，
又A,F的中点坐标为3,332，故AF的垂直平分线的方程为y−332=−33(x−3)，
令x=−32，得y=33，即N−32,33．
所以△OFN的面积为12×32×33=934．
故选：B.
解法二：抛物线C：y2=6x的焦点为F32,0，准线为l：x=−32，
设A(m,n)，由A到准线l的距离为6，得m+32=6，得m=92，
代入抛物线的方程得n2=6×92=27，所以n=±33．
由抛物线的对称性，不妨设A92,33，则直线AF的斜率为kAF=3392−32=3，
所以∠AFx=60°．过点A作l的垂线，垂足为B，则B−32,33，连接BF，
则∠FAB=∠AFx=60°，而AF=AB，所以△FAB是等边三角形，于是边AF的垂直平分线过点B，即点B与点N重合，所以△OFN的面积为12×32×33=934．
故选：B.
【题型7 与抛物线有关的最值问题】
【例7】（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线E:x2=4y，圆C:x2+y−32=1，P为E上一点，Q为C上一点，则PQ的最小值为（ ）
A．5B．22−1C．22D．3
【解题思路】先利用配方法求得P到圆心C的最小距离，从而求得P到Q的最小距离.
【解答过程】由题意知C(0,3)，r=1，设Px0,y0，则x02=4y0，
所以PC=x02+y0−32=y02−2y0+9=y0−12+8，

故当y0=1时，PCmin=22，
所以PQmin=PCmin−r=22−1.
故选：B.
【变式7-1】（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点P在C上，若点Q6,3，则△PQF周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
【解题思路】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
【解答过程】y2=2×4x，故F2,0,
记抛物线C的准线为l，则l：x=−2，
记点P到l的距离为d，点Q6,3到l的距离为d′，
则PQ+PF+QF=PQ+d+6−22+3−02≥d'+5=8+5=13.
故选：A.
【变式7-2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点，若A2,3，则MF+MA的最小值为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【解题思路】由抛物线的焦点坐标求得p，设M,A在准线l上的射影为M1,A1，利用抛物线的定义进行转化后易得最小值．
【解答过程】由焦点F到其准线的距离为4,得p=4；
设M,A在准线l:x=−2上的射影为M1,A1如图,
则MA+MF =MA+MM1≥AA1=2+2=4，
当且仅当A1,M,A共线时取得等号．所以所求最小值是4．
故选：D．
【变式7-3】（2023·河北沧州·统考三模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A2,4关于P的对称点为B，记P到直线x=−1,x=−3的距离分别d1，d2，则d1+d2+AB的最小值为（ ）
A．217+2B．213+2
C．17+2D．13+17+2
【解题思路】根据题意得到d1+d2+AB=2d1+2+2PA=2d1+PA+2，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.
【解答过程】解：如图，

因为d2=d1+2，且A2,4关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点F1,0，
所以d1+d2+AB=2d1+2+2PA=2d1+PA+2 =2PF+PA+2
≥2AF+2 =217+2.
当P在线段AF上时，d1+d1+AB取得最小值，且最小值为217+2.
故选：A.
【题型8 与抛物线有关的实际应用问题】
【例8】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为12dm，镜深2dm．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位dm）．
【解题思路】（1）先建立直角坐标系，得到A点坐标，然后设出抛物线方程进而求得p的值，从而可以确定抛物线的方程和焦点的位置.
（2）根据盛水或食物的容器在焦点处，结合两点间距离公式可得每根铁筋的长度.
【解答过程】（1）如图，
在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，
使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是(2,6)，
设抛物线方程为y2=2px(p>0)，则36=2p×2，解得p=9，
则抛物线的标准方程是y2=18x，
焦点坐标是F(4.5,0).
（2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长，
所以每根铁筋长为2+p2=2+4.5=6.5dm，
所以架子所用钢筋总长度为6.5×6=39dm.
【变式8-1】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为x2100+y225=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，0,365为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）.已知观测点A的坐标6,0，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点C的坐标；
(2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离.
【解题思路】（1）设出点C，利用A,C的距离和椭圆方程可求出点C的坐标；
（2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案.
【解答过程】（1）设Cx,y，由题意，AC=4，即x−62+y2=4，
又x2100+y225=1，联立解得x=6或x=10（舍），当x=6时， y=4，
故C的坐标为6,4.
（2）由题意设抛物线的方程为y=−mx2+n，
因为抛物线经过点C6,4，0,365，
所以n=365，4=−36m+365，解得m=445，即y=−445x2+365；
令y=0可得x=9或x=−9（舍），即B9,0；
所以|AB|=|OB|−|OA|=3，
所以航天器降落点B与观测点A之间的距离为3.
【变式8-2】（2023秋·河南周口·高二统考期末）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．
（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m）
【解题思路】（1）根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两交点分别为A，B，由坐标系可知A,B两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即可得；（2）根据船顶宽6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度h，再由6.5+1.54−(8−ℎ)，可知船身应降低高度。
【解答过程】解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A(−12,−8)，B(12,−8)，
设拱桥所在的抛物线方程为x2=−2py(p>0)，
因点A(−12,−8)在抛物线上，代入解得p=9，
故拱桥所在的抛物线方程是x2=−18y．
（2）因x2=−18y，故当x=3时，y=−0.5，
故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低6.5+1.54−(8−0.5)=0.54，
因精确到0.1m，故船身应降低0.6m．
答：船身应降低0.6m，才能安全通过桥洞．
【变式8-3】（2023春·上海浦东新·高二校考期中）如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，OP=10km，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
【解题思路】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程；
（2）由抛物线的定义，公路总长=QF+QP≥PF，即可求公路总长最小值.
【解答过程】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，p2=0.4，则抛物线C:y2=1.6x．
（2）如图，设抛物线C的焦点为F，则F0.4,0，
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，OP=10km，∴P5,53，
根据抛物线的定义知，公路总长=Q′F+Q′P≥PF=5−0.42+53−02≈9.806．
当Q′与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为9.806km．
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0