高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第二册第四章数列章节复习教案

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第四章 数列 章节复习 夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络重点1 数列的概念、通项公式、前项和、递推关系例1（1）已知数列满足，则【解析】 ，【答案】0,1（2）已知数列的前项和为且第项满足则（ ）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【解析】当时，；当时，，故由，故选B（3）已知数列满足，（1）证明是等差数列，并求出公差；（2）求数列的通项公式.【解析】（1）由已知，，又，所以是以为首项，公差为的等差数列.（2）由（1）得当时，，验证与不符所以重点2 等差数列及其性质、前项和例2（1）记为等差数列的前项和，若，则______.【解析】由已知，得【答案】100例2（2）在等差数列中，，则__________【解析】由等差数列的性质知.【答案】74例2（3）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（ ）A． 　　 B． 　　 C． 　 D．【解析】∵，∴，解之得，∴. 故选D.例2（4）设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时等于（ ）A． B． C． D．【解析】设该数列的公差为，则，解得，方法一：，所以当时，最小，故选A方法二：，由， 因为，所以，于是当时，最小，故选A.例2（5）已知正项数列满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，有，因为，所以． 当时，有，解得． （Ⅱ）由于， ①则有 ②②－①，得由于，所以 ③同样有，， ④③－④，得． 所以，又，即对都成立所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．所以．（Ⅲ）所以 又所以数列是递增数列，故要使不等式对任意的正整数恒成立只须，又 ，所以 所以 实数的取值范围是重点3 等比数列及其性质、前项和例3（1）若等比数列满足，则公比为（ ）A. B. C. D. 【解析】由题有，故选B.例3（2）记为等比数列的前项和.若，，则（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【解析】方法一：，相除得，所以，故选A方法二：∵为等比数列的前项和，∴成等比数列∴，，∴，∴.故选A.例3（3）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【解析】（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．所以或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．例3（4）设数列的前项和为 已知.（Ⅰ）设，证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式.【解析】（Ⅰ）由及，有由，得，相减得，即方法一：（目标明确的证明框架）所以数列是以2为公比，3为首项的等比数列方法二：由得，即所以数列是以2为公比，3为首项的等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，两边同时除以得（如果不这样，就要用到累差法了）　　　数列是首项为，公差为的等比数列．　　　，所以 例3（5）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）当时，不合题意；当时，不合题意.当时，当且仅当时，符合题意；因此 所以 （Ⅱ）因为重点4 数学归纳法及其简单应用例4 设数列满足．（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和．【解析】（1）由题意可得，，可猜想数列是以3为首项，2为公差的等差数列，即，用数学归纳法证明如下： = 1 \* GB3 ①当时，左边，右边，猜想成立. = 2 \* GB3 ②假设时，猜想成立，即.那么时，也成立.由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②可知，对任意的，都有成立.（2）由（1）可知，所以， ， 相减得 ，所以.二、拓展思维，熟知方法重点5 数列的求和例5（1）若数列的通项公式是,则（ ）A. B. C. D. 【解析】方法一：分别求出前10项相加即可得出结论；方法二：，所以.故选A.例5（2）设，则等于 （ ）A． B. C． D．【解析】由已知数列是首项为2，公比为的等比数列，有项所以.故选D例5（3）设若，则________【解析】 由得 ，相加得， 【答案】1011例5（4）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求证.【解析】（Ⅰ）设{}公差为，由题意易知，且 则{}通项，前项和再设{}公比为，则{}通项 由可得 ①又{}为公比为64的等比数列，∴，∴ ②联立①、②及，且可解得 ∴{}通项，，的通项，（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ∴例5（5）设数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）由已知 ①当时， ②两式相减得， 在①中，令，得，所以（Ⅱ） ③ ④相减得重点6 简单的递推数列的求解例6 根据下列条件，求数列的通项公式（1） （待定系数法）【解析】由，所以是以为公比，为首项的等比数列所以 （2）（换元法）【解析】由，是以公差，1为首项的等差数列 于是（3） （累差法、换元法、待定系数法）【解析】由已知，两边除以得，令，则是以为公比，为首项的等比数列，于是 所以（4） （累积法）【解析】由已知得，以上各式相乘，得，于是（5） （换元法）【解析】由已知 是以为公比，为首项的等比数列，所以三、感悟问题，提升能力1. 等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】由已知，当数列为时，满足，但不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选B．2. 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为( )A． B． C．3 D．8【解析】设等差数列的公差为，且，由，，又，所以，，故选A.3. 数列是等差数列，,其中，数列前项和存在最小值.（Ⅰ）求通项公式;（Ⅱ）若，求数列的前项和【解析】（Ⅰ）∵ ∴又数列是等差数列， ∴ ∴，解得或 当时，，此时公差，当时，，公差，此时数列前项和不存在最小值，故舍去.∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ∴（点评：此处有一项为0，但是必须写上，否则会引起混乱）所以（点评：不能打乱原有的结构）相减得 4. 设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设记证明：【解析】（Ⅰ）由已知，是公差为1的等差数列，，.（Ⅱ）5. 已知数列满足.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明【解析】（Ⅰ）由得 又，所以是首项为，公比为的等比数列. ，因此的通项公式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 因为当时，，所以。于是所以 6. 已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】方案一：选①②作条件证明③：设，则，当时，；当时，，因为也是等差数列，所以，解得,所以，所以.方案二：选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.方案三：选②③作条件证明①：设，则，当时，；当时，，因为，所以，解得或，当时，，当时，，满足等差数列的定义，此时为等差数列.当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818