24届高三二轮复习解析几何专题5——解析几何（二）原卷及教师版

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一、单焦点三角形的内心模型
1．（2023下·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长到且，延长到且，结合向量的线性关系知是△的重心，根据重心和内心的性质，进而得到，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】如下图示，延长到且，延长到且，
所以，即，
故是△的重心，即，又，
所以，而是的内心，则，
由，则，故，即.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用向量的线性关系构造重心，结合重心和内心的性质得到，再根据双曲线定义得到双曲线参数的齐次方程.
2．（2021·四川成都·校联考三模）已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.
【详解】因为，所以是的角平分线，
又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，
则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，
如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，
，，可知为的重心，
设，，，由重心性质可得，
即，
又为的内心，所以，
因为，所以，，则，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：
设的角，，所对边分别为，，，则
（1）的重心满足；
（2）的内心满足；
（3）的外心满足.
3．（2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
【详解】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.

故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.
4．（2018下·四川雅安·高三雅安中学阶段练习）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点，是椭圆的左右焦点，为的内切圆圆心，若，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取线段的中点为，结合条件可得，再根据及椭圆的定义，即可得到结果.
【详解】
取线段的中点为，点分别为边,上的切点，如图所示：
则，∵，
∴，
∴,,三点共线，，，则点为边上的切点.
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵椭圆的离心率为，
∴，
∵，即，
∴
故选:D.
5．（2023上·四川眉山·高二统考期末）已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据内心及重心的性质，可知点距轴的距离为，再利用等面积法建立关于与的等式，再利用点在椭圆C上可求解.
【详解】设点距轴的距离为，因为，则点距轴的距离为，连接，则，
，
所以，所以，
所以椭圆方程为．
故选：A
二、双焦点三角形的内心模型
6．（2022上·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点. 过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点A在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设上的切点分别为，利用双曲线定义及内心性质可得，同理可得，
设直线的倾斜角为，由均在双曲线右支结合渐近线斜率可得，则通过化简讨论范围即可.
【详解】由题意，，，
设上的切点分别为，则，
由得，
∴，即J与E重合，又x轴，故，同理可得.
设直线的倾斜角为，∵均在双曲线右支，则或，即或，则，
∵，则，
当时，；当，.
综上， 的取值范围是.
故选：B
7．（2021上·安徽·高三校联考开学考试）已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】数形结合，设，，，依据双曲线定义可知，利用直线的倾斜角与大小相等，简单计算即可
【详解】
设圆与的三边的切点分别为，如图，
令，，，
根据双曲线的定义可得，化简得，
由此可知，在中，轴于，同理轴于，
轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；
故选：B
【点睛】关键点睛：得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等便于计算
8．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，和的内心分别为M，N，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先结合切线长定理和双曲线的定义，求出焦点三角形内切圆圆心的横坐标，如图，确定点坐标，再根据内切圆概念，确定，设，用表示出，利用三角函数求的取值范围.
【详解】如图，设圆与的三边分别切于点、、，根据切线长定理得：，，.
又因为，所以，又，故，
所以点坐标为，即.
即圆与轴相切于点，同理圆也与轴相切于点.
又，所以
设，因为、都在双曲线的右支上，且渐近线斜率为，可知，
又，分别平分和，所以，，.
所以，又，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用圆切线的性质、双曲线定义求出圆与x轴坐标相切的点坐标，并得到，结合表示出，注意的范围.
9．（2023上·四川成都·高二成都七中校考期末）已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，根据θ∈(60∘,90∘]，将表示为θ的三角函数可求得范围.
【详解】解：设上的切点分别为H､I､J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程和几何关系即可求解.
【详解】设半焦距为，
由题意知，
，
所以，
所以，
双曲线.

记的内切圆与边，，分别相切于点，
则横坐标相等，
则，，，
由，
即，
得，
即，
记的横坐标为，
则，
于是，得，
同理内心的横坐标也为，则轴.
设直线的倾斜角为，
则，
在中，
，
由于直线与的右支有2个交点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
可得，
即，
可得的范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据双曲线的定义结合三角形内切圆的性质得到的表达式，然后结合三角函数的性质即得.
三、渐近线特征三角形与离心率
11．（2018·全国·高考真题）设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．
详解：由题可知
在中，
在中,
故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
12．（2020上·福建宁德·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用中位线关系求得，再利用双曲线的定义，表示的三边，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.
【详解】连结，因为点分别为和的中点，
所以，且
设点到一条渐近线的距离，所以
，又，所以，
中，满足，
整理为：，
双曲线的离心率.
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的离心率，意在考查数形结合的思想，转化与化归的思想，属于中档题型，本题的关键是利用中位线得到，和焦点到渐近线的距离等于，这个结论记住，做小题时可以直接使用.
13．（2021下·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出渐近线方程并根据平行关系判断出点位置，通过联立渐近线方程与的方程求解出的坐标，即可求解出点坐标，再根据点在双曲线上将坐标代入方程并化简，由此求解出双曲线离心率的值.
【详解】不妨设渐近线的方程为，因为，为的中点，
所以为的中点，
将直线，的方程联立，可得，
又，所以即，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以该双曲线的离心率为，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于通过已知位置关系判断出点位置，其余则是通过坐标运算结合点在曲线上这一条件进行相关计算.
14．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
四、垂直渐近线体系
15．（2021上·福建漳州·高二福建省平和第一中学校考阶段练习）已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】设，与双曲线两渐近线联立可求得坐标，利用可构造齐次方程求得离心率.
【详解】
由题意可设：，
由得：，即；
由得：，即；
，，即，
，即，，解得：，
即双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
16．（2016下·浙江·高三阶段练习）已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：设在渐近线上，直线方程为，由，得，即，由，得，因为在双曲线上，所以，化简得，．故选C．
考点：双曲线和几何性质．
17．（2017·江西·江西师大附中校考三模）已知是双曲线的左右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点,交另一条渐近线于点，且,则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由 到渐近线 的距离为 ，即有 ，则 ，在 中，
，化简可得 ，即有 ，即有 ，故选A.
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.
18．（2018·山东济南·统考一模）设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得，进而得到，分别在直角三角形中运用勾股定理，在中，运用余弦定理，结合双曲线的定义和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】双曲线的方程为，一条渐近线方程为，
设，可得，
若，则，即，
在直角三角形中，，
由双曲线的定义可得，
在中，，
即有，即，
可得，化为，即有，
可得，即有.
故选:B.
19．（2020上·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先根据点到直线距离公式求得，再由，用表示出，根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.
【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，
即，
如下图所示:
由点到直线距离公式可知：，
又，
，
，
即，
设，
由双曲线对称性可知，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，
化简可得：，
即，
由双曲线离心率公式可知：.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于的等量关系，本题主要是根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.
五、极化恒等式
20．（2022上·山东淄博·高二校联考阶段练习）若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.
【详解】由题可得，，
设为坐标原点，则,
所以
,即，
因为，所以，
若存在四个不同的点满足，又，
所以，即，所以，
所以，所以，
故答案为: .
21．（2022·全国·高三专题练习）已知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】使用极化恒等式由得，根据向量运算得 ，结合条件得出的取值范围建立关于的不等关系，从而求出离心率的取值范围.
【详解】设坐标原点为
所以
又
所以，即，故.
故选：C
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的关系式，这个关系式可以用几何关系得到，也可以用代数关系得到.
在本题中主要是通过建立关系 ，一方面由极化恒等式得，另一方面结合条件及向量运算得，从而建立a，b，c的不等关系.
22．（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校考期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案.
【详解】设，，，由，则，
显然，则整理可得，由，
则，
解得，由双曲线的定义可知：，
则，整理可得，
化简可得，由，且，
则，可得或，
解得或，所以，解得.
故选：C.
23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律，化简，结合椭圆的范围可得的最大值，即可求得，即得答案.
【详解】由题意知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，
故
,
由椭圆的范围可知，
故的最大值为，则，
即椭圆C的离心率是，
故选：C
24．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量运算可得，结合椭圆性质可得的最大值是，列式运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
则，
由椭圆可知，则的最大值为，
即，整理得椭圆C的离心率.
故选：B.
六、解析几何小题中的直角界定
25．（2023上·陕西渭南·高二统考期末）如图，已知，为椭圆的左右焦点，椭圆上存在点使为钝角，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由最大当且仅当P在短轴端点处，结合已知条件，利用直角三角形中的边角关系得到的大小关系，进而得到a、c的不等关系，然后得到结果.
【详解】当点为短轴端点时最大，当点为短轴端点时，因为，
由题意可知，只需，所以，所以
所以，即，所以，
又因为，所以
故答案为:
26．（2022上·福建福州·高二福州三中校考期中）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由和正弦值，可设出的三边长，结合椭圆定义和勾股定理求出等量关系，利用点的位置求出的范围，代入等式有解，可求出的关系，即可求出离心率的范围.
【详解】解： 因为，，不妨设，，，
由椭圆定义可知：，，
由勾股定理可知：，即，化简可得：，
点在延长线上，且在椭圆内部，所以，，解得：.
令在上单调递增，所以，解得：，，又，且在椭圆内部，所以，则，.
故选B．
27．（2024·全国·高三专题练习）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点P，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.
【详解】解：如图所示，是与的夹角；
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，
则，
∵向量的夹角为钝角时，，
又，
两边除以得，
解得或；
又∵，∴．
故选：D．
28．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知两动点，在椭圆：上，动点P在直线上，若恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线 与圆 相离, 从而可得出的范围, 进而求出离心率的范围.
【详解】若从圆 上一点引椭圆的两条切线一定互相垂直.
证明如下：设椭圆的切线方程为 ，
过圆上一点 的切线为 ，，
即(1)
又 在圆上, ，即
(i) 当时, (1) 式为, 由根与系数关系知 , 故两条切线互相垂直.
(ii) 当 时, , 此时两条切线 显然互相重直.
故圆 上一点引椭圆的两条切线一定互相垂直.
所以椭圆 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆.
若 恒为锐角, 则直线 与圆 相离
故 , 又,
.
故选:C.

29．（2022上·天津和平·高二天津市汇文中学校考阶段练习）已知椭圆E的左、右焦点分别为，过且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若为直角，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据题干条件得到，由勾股定理得到，，作出辅助线，求出点P坐标为，代入椭圆方程，求出，求出离心率.
【详解】设，则，因为为直角，
所以，设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，所以，，
过点P作PM⊥x轴于点M，
则，
由勾股定理得：，
所以，
所以点P坐标为，
将代入椭圆方程中，
，
又，
解得：，
方程两边同时除以，得：，
解得：或，
因为，
所以.
故选：A
30．（2022·广西柳州·统考三模）如图，､分别是双曲线：的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于点､，若为以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，则，由双曲线的定义得到，求得，在中，利用余弦定理列出方程求得，即可求得双曲线的离心率.
【详解】由题意，等腰直角三角形，设，，则，
由双曲线的定义，可得，
可得，解得，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，即，所以.
故选：D.
31．（2023上·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为
【答案】
【分析】求出给定椭圆的蒙日圆方程，由已知可得直线与该蒙日圆相离，建立不等式求出离心率范围即得.
【详解】依题意，直线都与椭圆相切，
因此直线所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，
由点A、B为椭圆上任意两个动点，动点P满足为锐角，得点在圆外，
又动点P在直线上，因此直线与圆相离，
于是，解得，则，解得，
所以椭圆C的离心率的取值范围为.
故答案为：
七、米勒定理
32．（2015上·江苏盐城·高三阶段练习）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且焦距为，为左右顶点，左准线与轴的交点为， ，若点在直线上运动，且离心率，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】试题分析：,设，则，，当且仅当时取等号，则的最大值为
考点：椭圆性质，基本不等式求最值
33．（2023·浙江杭州·统考一模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】不妨设，，，，直线倾斜角为，直线倾斜角为，由，结合基本不等式可得，由已知可得，进而可求椭圆离心率的取值范围．
【详解】不妨设，，，，
设直线倾斜角为，直线倾斜角为，
则，
，
若的最大值为，则有最小值，
又，当且仅当，即时取等号，
则，即，解得，
又椭圆与直线无公共点，则，所以，
所以椭圆离心率的取值范围是．
故答案为：．
34．（2022上·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）已知双曲线的左顶点为A，左焦点为F，P为渐近线上一动点，且P在第二象限内，O为坐标原点，当∠APF最大时，，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】设出点的坐标，然后表示出的斜率，利用到角公式表示出，最后结合基本不等式求出取得最大值时的条件，结合此时，即可求出离心率.
【详解】由已知得，渐近线方程为，设，
则
所以
，当且仅当即时等号成立，
此时，即，
即解得或（舍去）.
故答案为：
35．（2005·浙江·高考真题）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线l与x轴的交点为M，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P为l上的动点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，设出椭圆方程，根据条件分别求解出即可得到椭圆方程；
（2）由已知，根据题意，设出点P坐标，并表示出直线，直线的斜率，然后利用到角公式借助基本不等式即可求解出取得最大值，从而得到的最大值.
【详解】（1）由已知，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，
设椭圆方程为，半焦距为，
则，，
由，长轴的长为4，
可得： ，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由已知，点为上的动点，
设，且，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
又因为，所以为锐角，
所以，
当，即时，取得最大值，
此时最大，故最大值为.
八、曲率半径
36．（2021·江苏·高二专题练习）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法：
①对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R
②椭圆上一点处的曲率半径的最大值为a
③椭圆上一点处的曲率半径的最小值为
④对于椭圆上点处的曲率半径随着a的增大而减小
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【分析】根据曲率的意义及曲率半径公式计算求解即可.
【详解】①由题设知，圆的方程可写，所以圆上任一点处的曲率半径为，正确；
②③由弯曲最大处为，最小处为，
所以在处有，
在处有，即，故②错误，③正确；
④由题意，处的曲率半径，而，
所以，令，
则在上有恒成立，故R在上随着a的增大而增大，错误.
故选：A
37．（2022·江西·校联考二模）曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值为8，最小值为1，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，将表示为的函数，结合椭圆的范围求出的最大值、最小值的表达式即可计算作答.
【详解】依题意，，即，则，
因，则当时，，，
当时，，，
因此，且，解得，所以椭圆C的标准方程为.
故选：D
38．（2022·浙江·高三专题练习）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
39．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）密切圆（Osculating Circle）），也称曲率圆，即给定一个曲线及其上一点P，会有一个圆与曲线切在P点，而且是与曲线在该点邻近最贴近的圆，换言之，没有一个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此圆称为曲线在点P处的密切圆，密切圆可能是与曲线在该点相切的圆中半径最大的（比如在抛物线顶点处的内切圆），曲线上某点的曲率圆的半径称为曲率半径．抛物线在顶点处的曲率半径为 ．
【答案】
【分析】根据题意，设出抛物线的内切圆方程，联立抛物线与圆的方程，结合曲率圆的定义即可得到结果.
【详解】
如图，做出抛物线的内切圆，设其内切圆的方程为，
联立，化简可得，
由曲率圆的定义可知，其与抛物线只有一个交点，
即原方程有且只有一个解，
则，即曲率半径为，
故答案为:
【点睛】解答本题的关键是数形结合，理解清楚曲率圆的定义，联立方程代入计算，即可得到结果.
40．（2023上·辽宁葫芦岛·高三统考期末）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用距离公式将表示，配方后，分和两种情况讨论即得
【详解】设，
则，
因为，
当即时，，
所以，即
化简得：，
故，两边同除以得，所以；
当，即时，，所以，
由，同除以得，所以
综上，离心率的范围为
故答案为：
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
九、中垂线截距定理
41．（2022·山西·校联考模拟预测）双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则由已知可得点的轨迹方程为，与双曲线方程联立可求出点横坐标，由题意知点在双曲线的右支上，，化简可得，从而可求出离心率的取值范围
【详解】设，
∵，
点的轨迹方程为.
联立得，
解得（舍去），，
由题意知点在双曲线的右支上，即，
故，化简得，
因为，所以，
故选：D.
42．（2018上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中阶段练习）已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将原问题转化为椭圆与圆相交的问题，然后联立方程结合图形整理计算即可求得最终结果.
【详解】∵∠APO=90°，∴点P在以AO为直径的圆上，
∵O(0,0),A(a,0)，
∴以AO为直径的圆方程为,即x2+y2−ax=0，
由消去y,得(b2−a2)x2+a3x−a2b2=0.
设P(m,n)，
∵P、A是椭圆与x2+y2−ax=0两个不同的公共点，
∴,可得.
∵由图形得0