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高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破6.3等比数列(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破6.3等比数列(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了等比数列的有关概念，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
知识点总结
1．等比数列的有关概念
2.等比数列的前n项和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
典型例题分析
考向一 等比数列基本量的运算
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12 C．6 D．3
解析：选D 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝168，,a2－a5＝42，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q3,1－q)＝168，,a1q1－q3＝42，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，))所以a6＝a1q5＝3，故选D.
2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则lg2a4的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选C 根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝eq \f(a11－27,1－2)＝1 016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒lg2a4＝lg226＝6.故选C.
3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝eq \f(7,2)a2，则S4＝______.
解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝eq \f(7,2)a2得，a1＋a2＋a3＝eq \f(7,2)a2，即1＋q2＝eq \f(5,2)q，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝eq \f(1－24,1－2)＝24－1＝15.
答案：15
方法总结
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向二 等比数列的判定或证明
[典例] 已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，
∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，
∵a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，∴a2－a1＝eq \f(1,2)，
∴数列{an＋1－an}是以eq \f(1,2)为首项，4为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1－an＝eq \f(1,2)×4n－1＝22n－3，
当n≥2时，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\f(1,2)1－4n－1,1－4)＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)
当n＝1时，a1＝eq \f(1,3)(2－1＋1)＝eq \f(1,2)满足上式．
所以，an＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)(n∈N*)．
[方法技巧] 等比数列的判定方法
考向三 等比数列的性质
[典例] (1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为( )
A．πeq \r(π) B．－πeq \r(π) C．±πeq \r(π) D．π3
(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝( )
A．6 B．5
C．4 D.eq \f(1＋lg35,2)
[解析] (1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝aeq \\al(2,5)，所以a5＝±eq \r(π)，所以a3a5a7＝aeq \\al(3,5)＝±πeq \r(π).故选C.
(2)lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝lg9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝lg995＝5.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
基础题型训练
一、单选题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0B．3C．4D．6
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则此人第天走了（ ）
A．里B．里C．里D．里
3．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知数列的前项和，则确定的最大正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则( )
A．，，成等差数列B．，，成等差数列
C．，，成等比数列D．，，成等比数列
三、填空题
9．等比数列中，，，则__________
10．等比数列为非常数数列，其前项和是，当时，则公比的值为_____．
11．在递增的等比数列中，，，则________．
12．已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=___________
四、解答题
13．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.
14．已知数列满足，．
(1)证明：存在等比数列，使；
(2)若，求满足条件的最大整数．
15．已知等差数列的公差，且，的前项和为.
（1）若、、成等比数列，求的值.
（2）令，求数列的前项和．
16．已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.
提升题型训练
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A．40B．120C．121D．363
2．记等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．180B．160C．210D．250
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
4．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40B．60C．32D．50
5．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ）．
A．5B．512
C．1024D．64
二、多选题
7．记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（ ）
A．为等差数列B．
C．，，成等比数列D．有最大值，无最小值
8．以下关于数列的结论正确的是（ ）
A．若数列的前n项和，则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．若数列满足，则数列为等差数列
D．若数列满足．则数列为等比数列
三、填空题
9．若等比数列的前n项的和为，且满足，，则=__________.
10．已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．
11．正项等比数列的前项和为，若，则________.
12．已知数列满足，，则满足不等式的的值为___________.
四、解答题
13．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
14．设等比数列的前项和为，公比，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
15．在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
16．已知等差数列的前n项和为，，．数列满足．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
6.3 等比数列
思维导图
知识点总结
1．等比数列的有关概念
2.等比数列的前n项和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
典型例题分析
考向一 等比数列基本量的运算
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12 C．6 D．3
解析：选D 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝168，,a2－a5＝42，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q3,1－q)＝168，,a1q1－q3＝42，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，))所以a6＝a1q5＝3，故选D.
2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则lg2a4的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选C 根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝eq \f(a11－27,1－2)＝1 016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒lg2a4＝lg226＝6.故选C.
3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝eq \f(7,2)a2，则S4＝______.
解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝eq \f(7,2)a2得，a1＋a2＋a3＝eq \f(7,2)a2，即1＋q2＝eq \f(5,2)q，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝eq \f(1－24,1－2)＝24－1＝15.
答案：15
方法总结
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向二 等比数列的判定或证明
[典例] 已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，
∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，
∵a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，∴a2－a1＝eq \f(1,2)，
∴数列{an＋1－an}是以eq \f(1,2)为首项，4为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1－an＝eq \f(1,2)×4n－1＝22n－3，
当n≥2时，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\f(1,2)1－4n－1,1－4)＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)
当n＝1时，a1＝eq \f(1,3)(2－1＋1)＝eq \f(1,2)满足上式．
所以，an＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)(n∈N*)．
[方法技巧] 等比数列的判定方法
考向三 等比数列的性质
[典例] (1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为( )
A．πeq \r(π) B．－πeq \r(π) C．±πeq \r(π) D．π3
(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝( )
A．6 B．5
C．4 D.eq \f(1＋lg35,2)
[解析] (1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝aeq \\al(2,5)，所以a5＝±eq \r(π)，所以a3a5a7＝aeq \\al(3,5)＝±πeq \r(π).故选C.
(2)lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝lg9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝lg995＝5.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
基础题型训练
一、单选题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】利用算出通项，再结合该数列为等比数列可求.
【详解】因为，故，
因为为等比数列，故即，故，
此时即，即为等比数列.
故选：D.
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则此人第天走了（ ）
A．里B．里C．里D．里
【答案】D
【分析】由题意可知，每天走的里数构成以为公比的等比数列，由求出首项，再由等比数列通项公式可求得结果
【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是以公比的等比数列，
因为，所以，解得，
所以，
故选：D
【点睛】此题考查函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式的应用
3．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.
【考点】充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
4．已知数列的前项和，则确定的最大正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用得到并求出，再利用等比数列的通项公式得到，代入，即可得到满足不等式的最大正整数的值.
【详解】，当时，，
两式相减得，
整理得，
是公比为的等比数列，
又，解得，
故，
则由，即，满足要求的，所以最大正整数的值为.
故选：C.
5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等比数列通项公式，结合可直接构造方程求得结果.
【详解】，，
由，得：，即，解得：.
故选：B.
6．已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，利用数列通项与前n项和的关系求解.
【详解】由已知，，则，
∴，
∴，
∴是等比数列．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B
二、多选题
7．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
则有，解得或，
当时数列不是单调数列，所以，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，
，
所以成立，故D正确.
故选:BD.
8．已知函数，则( )
A．，，成等差数列B．，，成等差数列
C．，，成等比数列D．，，成等比数列
【答案】ABD
【分析】根据函数解析式，求出选项对应的函数值，结合等差数列的等差中项和等比数列的等比中项的应用依次判断选项即可.
【详解】A：，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B：，，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C：，，
则，，成等差数列，又，所以C错误；
D：，，，
则，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
9．等比数列中，，，则__________
【答案】4
【分析】由等比数列的性质求解
【详解】由题意得，而，故只能取．
故答案为：4
10．等比数列为非常数数列，其前项和是，当时，则公比的值为_____．
【答案】
【分析】由用表示后可求得．
【详解】，则，0，则，
又数列不是常数列，即，∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查等比数列的前项和与通项公式，属于基础题．
11．在递增的等比数列中，，，则________．
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，，先通过条件得，再利用得答案.
【详解】设等比数列的公比为，，
，
，
解得或（舍去），
.
故答案为：.
12．已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=___________
【答案】
【分析】由等比数列的前n项和，可得数列的前三项，再根据等比数列的定义可得，由此可得结果．
【详解】由等比数列的前n项和，可得首项，
，
，
再由等比数列的定义可得，解得t=−1，
当时，，
当时，，也满足，故
经检验符合题意.
故答案为：−1.
四、解答题
13．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)当或时，有最大值.
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）由已知得，数列的首项， ，
设数列的公比为，即 ∴
即，
（2）
，
即当或5时，有最大值.
14．已知数列满足，．
(1)证明：存在等比数列，使；
(2)若，求满足条件的最大整数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将两边取倒数，得到，即可得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，即可得证；
（2）由（1）可得，利用分组求和法求出，即可得到不等式，解得的取值范围，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，所以，
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以当时，此时，即为以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知，则，
所以，
因为，所以，则，则，
因为为正整数，所以的最大值为.
15．已知等差数列的公差，且，的前项和为.
（1）若、、成等比数列，求的值.
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先求出等差数列的首项，可求出其通项公式和前项和公式，再列方程可求出的值；
（2）将代入，可知数列是等比数列，然后利用等比数列的前项和公式可求出.
【详解】（1）因为，解得，因此，；
，
又，，因为、、成等比数列，所以，
即，整理得，，解得.
（2）∵
【点睛】此题考查的是等差数和等比数列的基本量的计算，属于基础题.
16．已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即得答案;
（2）删去数列中的第项（其中 ）后，求和时讨论n的奇偶性，并且分组求和，即可求得答案.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为q，
由已知得，解得， ，所以；
所以，，所以.
（2）由题意可知新数列为：，，，，…，
则当n为偶数时
，
则当n为奇数时,
，
综上： .
提升题型训练
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A．40B．120C．121D．363
【答案】C
【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】设公比为，由，可得，
所以，所以，
由，可得，即，所以，
所以.
故选：C.
2．记等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．180B．160C．210D．250
【答案】C
【解析】首先根据题意得到，，构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案.
【详解】因为为等比数列，所以，，构成等比数列.
所以，解得.
故选：C
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得S6﹣S3＝16，进而由等比数列的性质可知，，即S9﹣S6＝128，变形可得答案．
【详解】解：根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，
则S6﹣S3＝18﹣2＝16，
根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列，
故，即S9﹣S6＝128，
故S9＝S6+128＝146，
故选：C．
4．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40B．60C．32D．50
【答案】B
【分析】运用等比数列的性质，成等比数列.
【详解】由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此．
故选:B.
5．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件可得新数列是首项为2，公比为9的等比数列，再用等比数列前n项和公式计算作答.
【详解】等比数列中，，则，，
因此，等比数列的奇数项所组成的新数列是首项为2，公比为9的等比数列，
所以新数列的前n项和有：.
故选：C
6．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ）．
A．5B．512
C．1024D．64
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为q，根据已知求出，求出即得解.
【详解】解：设等比数列的公比为q，
因为，所以，解得，
因为与的等差中项为，则有，
即，解得，
所以，故，
则，，，，
所以．
故选：D．
二、多选题
7．记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（ ）
A．为等差数列B．
C．，，成等比数列D．有最大值，无最小值
【答案】AC
【分析】先根据递推公式求出数列 的通项公式，再根据条件求出 ，然后逐项分析.
【详解】由题意 ，
得： ，
， 是首项为 ，公差为1的等差数列，
，
由于 成等比数列， ， ，解得 ；
对于A，正确；
对于B，错误；
对于C， ，正确；
对于D， ，是关于n的二次函数，所以在 或13处取得最小值，无最大值，错误；
故选：AC.
8．以下关于数列的结论正确的是（ ）
A．若数列的前n项和，则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．若数列满足，则数列为等差数列
D．若数列满足．则数列为等比数列
【答案】AC
【分析】利用、等差数列和等比数列的知识求得正确答案.
【详解】A．，时，，
时，，，
当时，上式也符合，所以成立，A选项正确.
B．，时，，
时，，，
所以，数列不是等不数列，B选项错误.
C．由等差中项定义知C选项成立；
D．若，则不成立，D选项错误.
故选：AC
三、填空题
9．若等比数列的前n项的和为，且满足，，则=__________.
【答案】32
【分析】根据题意可得：，解方程组即可得解.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，
根据，，
可得：，
解得：，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列的基本量的运算，主要方法是列方程组求解，属于基础题.
10．已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．
【答案】40
【分析】可结合等比推论也成等比数列直接求解
【详解】因为数列为等比数列，所以也成等比数列，
即也成等比数列，解得，，
即
故答案为：40
11．正项等比数列的前项和为，若，则________.
【答案】63
【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式以及前项和公式，求出与，即可求解.
【详解】根据题意，设等比数列公比为，且.
由，得，则，解得，即，
因为，所以，因此.
故答案为：63.
12．已知数列满足，，则满足不等式的的值为___________.
【答案】8
【分析】先由递推关系式证明数列是等比数列，从而得数列的通项公式，再证明数列为递减数列，从而由得，，，进一步得，再根据，得.
【详解】由得，，
因为，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
有，.
因为，
所以数列为递减数列，
若，则有，
由得，，
又，所以.
故答案为：8.
四、解答题
13．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过题目所给条件列出关于 的两个方程，解出，即可写出数列的通项公式
（2）先写出数列 的通项公式，再根据通项公式的特征进行裂项相消求和
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，既成等差数列，又成等比数列，
所以，，均相等且不为0，
所以即
解之得，，满足条件．
故．
（2）由（1）得，，
所以．
故
14．设等比数列的前项和为，公比，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用基本量法，即可求解.
（2）利用分组求和即可求解.
【详解】（1）解：，解得，
；
（2）
.
15．在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）由，得，利用可得答案；
（2）由，然后利用错位相减可得答案.
【详解】（1）依题意，，
设数列的公比为q，由，可知，
由，得，又，则，
故，又由，得.
（2）依题意，
，①
则，②
①-②得，
即，故.
【点睛】数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
16．已知等差数列的前n项和为，，．数列满足．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）本题先求，再求，；
（2）先求出，再利用错位相减法求即可解题.
【详解】解：（1）由题意知：，解得
所以，
（2）由（1）知．所以
∴
所以．
【点睛】本题考查利用基本量法求等差数列的通项公式、利用错位相减法求前项和，是中档题.
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列
通项公式
设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
注意
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列
通项公式
设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
注意
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可
知识点总结
1．等比数列的有关概念
2.等比数列的前n项和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
典型例题分析
考向一 等比数列基本量的运算
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12 C．6 D．3
解析：选D 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝168，,a2－a5＝42，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q3,1－q)＝168，,a1q1－q3＝42，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，))所以a6＝a1q5＝3，故选D.
2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则lg2a4的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选C 根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝eq \f(a11－27,1－2)＝1 016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒lg2a4＝lg226＝6.故选C.
3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝eq \f(7,2)a2，则S4＝______.
解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝eq \f(7,2)a2得，a1＋a2＋a3＝eq \f(7,2)a2，即1＋q2＝eq \f(5,2)q，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝eq \f(1－24,1－2)＝24－1＝15.
答案：15
方法总结
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向二 等比数列的判定或证明
[典例] 已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，
∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，
∵a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，∴a2－a1＝eq \f(1,2)，
∴数列{an＋1－an}是以eq \f(1,2)为首项，4为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1－an＝eq \f(1,2)×4n－1＝22n－3，
当n≥2时，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\f(1,2)1－4n－1,1－4)＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)
当n＝1时，a1＝eq \f(1,3)(2－1＋1)＝eq \f(1,2)满足上式．
所以，an＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)(n∈N*)．
[方法技巧] 等比数列的判定方法
考向三 等比数列的性质
[典例] (1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为( )
A．πeq \r(π) B．－πeq \r(π) C．±πeq \r(π) D．π3
(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝( )
A．6 B．5
C．4 D.eq \f(1＋lg35,2)
[解析] (1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝aeq \\al(2,5)，所以a5＝±eq \r(π)，所以a3a5a7＝aeq \\al(3,5)＝±πeq \r(π).故选C.
(2)lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝lg9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝lg995＝5.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
基础题型训练
一、单选题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0B．3C．4D．6
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则此人第天走了（ ）
A．里B．里C．里D．里
3．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知数列的前项和，则确定的最大正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则( )
A．，，成等差数列B．，，成等差数列
C．，，成等比数列D．，，成等比数列
三、填空题
9．等比数列中，，，则__________
10．等比数列为非常数数列，其前项和是，当时，则公比的值为_____．
11．在递增的等比数列中，，，则________．
12．已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=___________
四、解答题
13．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.
14．已知数列满足，．
(1)证明：存在等比数列，使；
(2)若，求满足条件的最大整数．
15．已知等差数列的公差，且，的前项和为.
（1）若、、成等比数列，求的值.
（2）令，求数列的前项和．
16．已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.
提升题型训练
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A．40B．120C．121D．363
2．记等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．180B．160C．210D．250
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
4．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40B．60C．32D．50
5．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ）．
A．5B．512
C．1024D．64
二、多选题
7．记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（ ）
A．为等差数列B．
C．，，成等比数列D．有最大值，无最小值
8．以下关于数列的结论正确的是（ ）
A．若数列的前n项和，则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．若数列满足，则数列为等差数列
D．若数列满足．则数列为等比数列
三、填空题
9．若等比数列的前n项的和为，且满足，，则=__________.
10．已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．
11．正项等比数列的前项和为，若，则________.
12．已知数列满足，，则满足不等式的的值为___________.
四、解答题
13．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
14．设等比数列的前项和为，公比，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
15．在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
16．已知等差数列的前n项和为，，．数列满足．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
6.3 等比数列
思维导图
知识点总结
1．等比数列的有关概念
2.等比数列的前n项和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
典型例题分析
考向一 等比数列基本量的运算
1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12 C．6 D．3
解析：选D 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝168，,a2－a5＝42，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q3,1－q)＝168，,a1q1－q3＝42，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝96，,q＝\f(1,2)，))所以a6＝a1q5＝3，故选D.
2．(2023·岳阳模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则lg2a4的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选C 根据题意，“浮雕像”从下到上构成公比为2的等比数列，设首项为a1，前n项和为Sn.于是S7＝eq \f(a11－27,1－2)＝1 016⇒a1＝8，则a4＝8×23＝26⇒lg2a4＝lg226＝6.故选C.
3．(2023·泸州模拟)记Sn为递增的等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝eq \f(7,2)a2，则S4＝______.
解析：设等比数列{an}的公比为q，由S3＝eq \f(7,2)a2得，a1＋a2＋a3＝eq \f(7,2)a2，即1＋q2＝eq \f(5,2)q，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)，∵{an}是递增数列，∴q＝2，∴S4＝eq \f(1－24,1－2)＝24－1＝15.
答案：15
方法总结
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向二 等比数列的判定或证明
[典例] 已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，an＋2＋4an＝5an＋1(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋2＋4an＝5an＋1，n∈N*，
∴an＋2－an＋1＝4(an＋1－an)，n∈N*，
∵a1＝eq \f(1,2)，a2＝1，∴a2－a1＝eq \f(1,2)，
∴数列{an＋1－an}是以eq \f(1,2)为首项，4为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1－an＝eq \f(1,2)×4n－1＝22n－3，
当n≥2时，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝22n－5＋22n－7＋22n－9＋…＋2－1＋2－1
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\f(1,2)1－4n－1,1－4)＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)
当n＝1时，a1＝eq \f(1,3)(2－1＋1)＝eq \f(1,2)满足上式．
所以，an＝eq \f(1,3)(22n－3＋1)(n∈N*)．
[方法技巧] 等比数列的判定方法
考向三 等比数列的性质
[典例] (1)(2023·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为( )
A．πeq \r(π) B．－πeq \r(π) C．±πeq \r(π) D．π3
(2)(2023·辽宁抚顺市第二中学模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝( )
A．6 B．5
C．4 D.eq \f(1＋lg35,2)
[解析] (1)在等比数列{an}中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，所以a2a8＝π＝aeq \\al(2,5)，所以a5＝±eq \r(π)，所以a3a5a7＝aeq \\al(3,5)＝±πeq \r(π).故选C.
(2)lg9a1＋lg9a2＋…＋lg9a10＝lg9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝lg995＝5.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
基础题型训练
一、单选题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】利用算出通项，再结合该数列为等比数列可求.
【详解】因为，故，
因为为等比数列，故即，故，
此时即，即为等比数列.
故选：D.
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”则此人第天走了（ ）
A．里B．里C．里D．里
【答案】D
【分析】由题意可知，每天走的里数构成以为公比的等比数列，由求出首项，再由等比数列通项公式可求得结果
【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是以公比的等比数列，
因为，所以，解得，
所以，
故选：D
【点睛】此题考查函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式的应用
3．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.
【考点】充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
4．已知数列的前项和，则确定的最大正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用得到并求出，再利用等比数列的通项公式得到，代入，即可得到满足不等式的最大正整数的值.
【详解】，当时，，
两式相减得，
整理得，
是公比为的等比数列，
又，解得，
故，
则由，即，满足要求的，所以最大正整数的值为.
故选：C.
5．在各项都为正数的等比数列中，，，则公比的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等比数列通项公式，结合可直接构造方程求得结果.
【详解】，，
由，得：，即，解得：.
故选：B.
6．已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，利用数列通项与前n项和的关系求解.
【详解】由已知，，则，
∴，
∴，
∴是等比数列．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B
二、多选题
7．已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
则有，解得或，
当时数列不是单调数列，所以，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，
，
所以成立，故D正确.
故选:BD.
8．已知函数，则( )
A．，，成等差数列B．，，成等差数列
C．，，成等比数列D．，，成等比数列
【答案】ABD
【分析】根据函数解析式，求出选项对应的函数值，结合等差数列的等差中项和等比数列的等比中项的应用依次判断选项即可.
【详解】A：，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B：，，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C：，，
则，，成等差数列，又，所以C错误；
D：，，，
则，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
9．等比数列中，，，则__________
【答案】4
【分析】由等比数列的性质求解
【详解】由题意得，而，故只能取．
故答案为：4
10．等比数列为非常数数列，其前项和是，当时，则公比的值为_____．
【答案】
【分析】由用表示后可求得．
【详解】，则，0，则，
又数列不是常数列，即，∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查等比数列的前项和与通项公式，属于基础题．
11．在递增的等比数列中，，，则________．
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，，先通过条件得，再利用得答案.
【详解】设等比数列的公比为，，
，
，
解得或（舍去），
.
故答案为：.
12．已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=___________
【答案】
【分析】由等比数列的前n项和，可得数列的前三项，再根据等比数列的定义可得，由此可得结果．
【详解】由等比数列的前n项和，可得首项，
，
，
再由等比数列的定义可得，解得t=−1，
当时，，
当时，，也满足，故
经检验符合题意.
故答案为：−1.
四、解答题
13．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)当或时，有最大值.
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）由已知得，数列的首项， ，
设数列的公比为，即 ∴
即，
（2）
，
即当或5时，有最大值.
14．已知数列满足，．
(1)证明：存在等比数列，使；
(2)若，求满足条件的最大整数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将两边取倒数，得到，即可得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，即可得证；
（2）由（1）可得，利用分组求和法求出，即可得到不等式，解得的取值范围，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，所以，
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以当时，此时，即为以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知，则，
所以，
因为，所以，则，则，
因为为正整数，所以的最大值为.
15．已知等差数列的公差，且，的前项和为.
（1）若、、成等比数列，求的值.
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先求出等差数列的首项，可求出其通项公式和前项和公式，再列方程可求出的值；
（2）将代入，可知数列是等比数列，然后利用等比数列的前项和公式可求出.
【详解】（1）因为，解得，因此，；
，
又，，因为、、成等比数列，所以，
即，整理得，，解得.
（2）∵
【点睛】此题考查的是等差数和等比数列的基本量的计算，属于基础题.
16．已知是递增的等差数列，，，，分别为等比数列的前三项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)删去数列中的第项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即得答案;
（2）删去数列中的第项（其中 ）后，求和时讨论n的奇偶性，并且分组求和，即可求得答案.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为q，
由已知得，解得， ，所以；
所以，，所以.
（2）由题意可知新数列为：，，，，…，
则当n为偶数时
，
则当n为奇数时,
，
综上： .
提升题型训练
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A．40B．120C．121D．363
【答案】C
【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】设公比为，由，可得，
所以，所以，
由，可得，即，所以，
所以.
故选：C.
2．记等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．180B．160C．210D．250
【答案】C
【解析】首先根据题意得到，，构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案.
【详解】因为为等比数列，所以，，构成等比数列.
所以，解得.
故选：C
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得S6﹣S3＝16，进而由等比数列的性质可知，，即S9﹣S6＝128，变形可得答案．
【详解】解：根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，
则S6﹣S3＝18﹣2＝16，
根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列，
故，即S9﹣S6＝128，
故S9＝S6+128＝146，
故选：C．
4．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ）
A．40B．60C．32D．50
【答案】B
【分析】运用等比数列的性质，成等比数列.
【详解】由等比数列的性质可知，数列是等比数列，即数列4，8，是等比数列，因此．
故选:B.
5．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件可得新数列是首项为2，公比为9的等比数列，再用等比数列前n项和公式计算作答.
【详解】等比数列中，，则，，
因此，等比数列的奇数项所组成的新数列是首项为2，公比为9的等比数列，
所以新数列的前n项和有：.
故选：C
6．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ）．
A．5B．512
C．1024D．64
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为q，根据已知求出，求出即得解.
【详解】解：设等比数列的公比为q，
因为，所以，解得，
因为与的等差中项为，则有，
即，解得，
所以，故，
则，，，，
所以．
故选：D．
二、多选题
7．记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（ ）
A．为等差数列B．
C．，，成等比数列D．有最大值，无最小值
【答案】AC
【分析】先根据递推公式求出数列 的通项公式，再根据条件求出 ，然后逐项分析.
【详解】由题意 ，
得： ，
， 是首项为 ，公差为1的等差数列，
，
由于 成等比数列， ， ，解得 ；
对于A，正确；
对于B，错误；
对于C， ，正确；
对于D， ，是关于n的二次函数，所以在 或13处取得最小值，无最大值，错误；
故选：AC.
8．以下关于数列的结论正确的是（ ）
A．若数列的前n项和，则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．若数列满足，则数列为等差数列
D．若数列满足．则数列为等比数列
【答案】AC
【分析】利用、等差数列和等比数列的知识求得正确答案.
【详解】A．，时，，
时，，，
当时，上式也符合，所以成立，A选项正确.
B．，时，，
时，，，
所以，数列不是等不数列，B选项错误.
C．由等差中项定义知C选项成立；
D．若，则不成立，D选项错误.
故选：AC
三、填空题
9．若等比数列的前n项的和为，且满足，，则=__________.
【答案】32
【分析】根据题意可得：，解方程组即可得解.
【详解】设等比数列的首项为，公比为，
根据，，
可得：，
解得：，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列的基本量的运算，主要方法是列方程组求解，属于基础题.
10．已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．
【答案】40
【分析】可结合等比推论也成等比数列直接求解
【详解】因为数列为等比数列，所以也成等比数列，
即也成等比数列，解得，，
即
故答案为：40
11．正项等比数列的前项和为，若，则________.
【答案】63
【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式以及前项和公式，求出与，即可求解.
【详解】根据题意，设等比数列公比为，且.
由，得，则，解得，即，
因为，所以，因此.
故答案为：63.
12．已知数列满足，，则满足不等式的的值为___________.
【答案】8
【分析】先由递推关系式证明数列是等比数列，从而得数列的通项公式，再证明数列为递减数列，从而由得，，，进一步得，再根据，得.
【详解】由得，，
因为，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
有，.
因为，
所以数列为递减数列，
若，则有，
由得，，
又，所以.
故答案为：8.
四、解答题
13．设为等差数列的前项和，已知，，既成等差数列，又成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过题目所给条件列出关于 的两个方程，解出，即可写出数列的通项公式
（2）先写出数列 的通项公式，再根据通项公式的特征进行裂项相消求和
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，既成等差数列，又成等比数列，
所以，，均相等且不为0，
所以即
解之得，，满足条件．
故．
（2）由（1）得，，
所以．
故
14．设等比数列的前项和为，公比，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用基本量法，即可求解.
（2）利用分组求和即可求解.
【详解】（1）解：，解得，
；
（2）
.
15．在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】（1）由，得，利用可得答案；
（2）由，然后利用错位相减可得答案.
【详解】（1）依题意，，
设数列的公比为q，由，可知，
由，得，又，则，
故，又由，得.
（2）依题意，
，①
则，②
①-②得，
即，故.
【点睛】数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
16．已知等差数列的前n项和为，，．数列满足．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）本题先求，再求，；
（2）先求出，再利用错位相减法求即可解题.
【详解】解：（1）由题意知：，解得
所以，
（2）由（1）知．所以
∴
所以．
【点睛】本题考查利用基本量法求等差数列的通项公式、利用错位相减法求前项和，是中档题.
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列
通项公式
设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
注意
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列
通项公式
设{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则通项公式an＝a1qn－1.推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
注意
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可
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