高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破专题2.6幂函数(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破专题2.6幂函数(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了五个幂函数的性质，其中幂函数的个数为，“”是“函数在上单调递增”的，已知函数的图象经过点，则等内容，欢迎下载使用。

知识点总结
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ．
2．当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当01)．其中幂函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知是幂函数，求m，n的值．
反思感悟 判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
考向二 幂函数的图象及应用
例2 (1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
反思感悟 (1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
考向三 比较幂值的大小
例3 比较下列各组数的大小．
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；
(3)与.
反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
考向四 幂函数性质的应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．
基础题型训练
一、单选题
1．已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．和
3．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（ ）
A．1B．0，2C．－1，1，3D．0，1，2
4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．下列比较大小中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．关于幂函数是常数），结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过原点
B．幂函数图象都经过点
C．幂函数图象有可能关于轴对称
D．幂函数图象不可能经过第四象限
8．已知函数的图象经过点，则（ ）
A．的图象经过点（2，4）B．的图象关于原点对称
C．在上单调递减D．在内的值域为
三、填空题
9．已知幂函数在上单调递增，则m＝______．
10．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
11．若函数为奇函数，则的取值范围为__________．
12．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为_________．
四、解答题
13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：
（1），；
（2），.
14．已知函数为幂函数，且为奇函数.
（1）求的值；
（2）求函数在的值域.
15．已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
16．已知函数为奇函数，其中
求的值；
求使不等式成立的的取值范围.
提升题型训练
一、单选题
1．幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的一个单调递减区间是（ ）
A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）
2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格元相比.
A．相等B．略有提高C．略有降低D．无法确定
3．已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（ ）
A．的图象关于原点对称B．的值域为
C．在上单调递减D．
5．定义在R上的偶函数在[0，＋∞)上是增函数，则方程＝的所有实数根的和为( )
A．1B．2C．3D．4
6．下列命题中，正确的有（ ）个
①对应：是映射，也是函数；
②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；
③幂函数与图像有且只有两个交点；
④当时，方程恒有两个实根.
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
7．已知函数f（x）=xa的图象经过点（，2），则（ ）
A．f（x）的图象经过点（2，4）B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）在（0，+∞）上单调递增D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）
8．设函数，则（ ）
A．存在实数，使的定义域为R
B．函数一定有最小值
C．对任意的负实数，的值域为
D．若函数在区间上递增，则
三、填空题
9．已知幂函数f(x)=xa的图象过点(4,2),则a=_______
10．实数满足，则实数的取值集合为__________.
11．已知幂函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为______．
12．设函数，则使成立的的取值范围是___________.
四、解答题
13．已知幂函数的图像经过点，求这个幂函数的解析式.
14．已知幂函数图像不经过第三象限；
(1)求的值；
(2)求函数的值域.
15．已知函数.
（1）若是实数集上的奇函数，求的值；
（2）用定义证明在实数集上的单调递增；
（3）若的值域为，且[，求的取值范围.
16．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)

值域
R

R

奇偶性


奇


单调性
增
在[0，＋∞) ，
在(－∞，0] 上


在(0，＋∞)上 ，
在(－∞，0)上
2.6 幂函数
思维导图
知识点总结
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0eq \f(1,3)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，
又在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以＝1，所以.
反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
考向四 幂函数性质的应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
考点 幂函数的性质
题点 利用幂函数的性质解不等式
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－90或3－2a