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初中数学北师大版（2024）八年级下册4 角平分线同步达标检测题
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册4 角平分线同步达标检测题，共36页。
1.过角平分线上一点向角的两边作垂线段：
2.在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：
3.构造等腰三角形：
类型一、作垂线、分两边
例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．
【变式训练1】如图所示，，是的中点，平分．
（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．
【变式训练2】如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．4
【变式训练3】四边形中，，连接．
（1）如图1，若平分，求证：．
（2）如图2，若，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．
类型二、截线段、构全等
例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
【变式训练1】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
【变式训练2】（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
类型三、角平分线+垂直=等腰
例．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.
【变式训练1】已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.
【变式训练2】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．
【变式训练3】 如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.
类型四、角平分线+垂直=等腰
例. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．
【变式训练1】如图，已知，平分，，则（ ）
A. 105°B. 120°C. 130°D. 150°
【变式训练2】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．
【变式训练3】 如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
课后训练
1．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．
2. 如图，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC，交AB 于 E，∠A=60º， ∠BDC=95º，则∠BED的度数是（ ）
A. 35°B. 70°C. 110°D. 130°
3．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求证：BE=AD．
5．如图，在中，，，，分别平分,，，交于点O．
(1)求的度数；
(2)请你判断，与之间的数量关系，并说明理由．
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．
（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
专题01 与角平分线有关辅助线的四种做法
【基础知识点】
1.过角平分线上一点向角的两边作垂线段：
2.在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：
3.构造等腰三角形：
类型一、作垂线、分两边
例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．
【答案】5
【详解】过D作，，交延长线于F，
∵AD平分，，，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【变式训练1】如图所示，，是的中点，平分．
（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）8cm.
【详解】
（1）证明：过点E分别作于F，
∴∠DFE=∠AFE=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．
∴CB⊥AB，CB⊥CD．
∵DE平分∠ADC．
∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴BE=EF．
在Rt△AEB和Rt△AEF中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），
∴∠EAB=∠EAF，
∴AE是∠DAB的平分线；
（2）解：∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线，
， ，，
∵∠C=90°
∴ ， ，
.
故答案为（1）详见解析；（2）8cm.
【变式训练2】如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【详解】做分别关于的轴对称图形延长交于点，连接，如图：
∵是的对称三角形
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴四边形是正方形
设，在 中：即：
解得：（舍）
∴的长为4．
【变式训练3】四边形中，，连接．
（1）如图1，若平分，求证：．
（2）如图2，若，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）如图，过点分别作于点，交的延长线于点，
平分，
，
在与中
（HL）
即
（2）如图，过点作交的延长线于点，过点作，
，
即
（3）如图，过点分别作于点，交的延长线于点，
，
四边形是矩形
在与中
，
四边形是正方形
设
在中
在中，
类型二、截线段、构全等
例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
【答案】AC+BD=AB，理由见见解析
【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：
在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：
∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，
，
∴（SAS），∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，
，∴（AAS），∴AF=AC，
∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．
【变式训练1】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【详解】解：（1）、分别是与的角平分线，
，
，
，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得，
，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在与中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
【变式训练2】（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13
【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OD=OD，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD．
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，
∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，
∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，
∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．
（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：
同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，
∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，
∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，
∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，
∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．
【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60°
【详解】（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS），∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD＋BD，
∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等边三角形，∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
类型三、角平分线+垂直=等腰
例．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.
【答案】详见解析
【详解】延长BO，AE并交于F，
∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，
∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，
在△ABE和△FBE中
，
∴△ABE≌△FBE，
∴AE=EF，
∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO，
∴∠2=∠OAF，
∵∠AOB=90°，
∴∠DOB=∠FOA=90°，
∴在△OBD和△OAF中
，
∴△OBD≌△OAF，
∴BD=AF，
∵AE=EF，
∴BD=2AE．
【变式训练1】已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.
【答案】见解析.
【详解】如图，延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，
又AD＝AD
∴△ADC≌△ADF(ASA)，∴CD=DF，AC=AF，
∵点E是BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=BF，
∵BF=AB-AF=AB-AC，
∴DE=(AB-AC)．
【变式训练2】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．
【答案】
【详解】解：延长CG交AB于点E．
AG平分，于，
，，，
∵ ，为的中点，．
故答案为.
【变式训练3】 如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】证明：（1）连接DF，
∵OF⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEO＝90°，
∵AD平分∠FAO，
∴∠FAE＝∠OAE，
在△FAE和△OAE中，
∴△FAE≌△OAE（ASA），∴AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，
∵AD⊥OF，∴FE＝OE，∴DF＝DO，∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠AFO＝∠AOF，∴∠AFD＝∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝90°，AO＝BO，∴∠B＝45°，
∴∠FDB＝∠AFO−∠B＝90°−45°＝45°＝∠B，∴BF＝DF，∴OD＝BF；
（2）解：在AD上截AM＝OF，连接OM，
∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB，∴∠OAM＝22.5°，
∵OD＝DF，∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF，∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM，
在△AMO和△OFB中，
∴△AMO≌△OFB（SAS），∴MO＝BF＝OD，
∵OF⊥AD，∴DE＝ME，∴AD−OF＝DM＝2DE．
类型四、角平分线+垂直=等腰
例. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．
【答案】12
【详解】∵BG平分∠EBC
∴∠EBG=∠GBC
∵ED∥BC
∴∠EGB=∠GBC
∴∠EBG=∠EGB
∴EB=EG
同理可得DF=DC
∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12
故答案为：12．
【变式训练1】如图，已知，平分，，则（ ）
A. 105°B. 120°C. 130°D. 150°
【答案】B
【详解】∵∠CDE＝150°，∴∠CDB＝180−∠CDE＝30°，
又∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝30°；
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，
∴∠C＝180°−60°＝120°．
故选B．
【变式训练2】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．
【答案】13
【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，
由∵MNlBC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，
∴MO=MB，NO=NC，·
又∵AB=5，AC=8，
∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13
【变式训练3】 如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．
【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
课后训练
1．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．
【答案】
【详解】解析：连接，过点作于点，于点，
，
，
，，
，
，，
，．
设，则，
．
．
设，则，
，，
在中，由勾股定理得
解得．
．
2. 如图，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC，交AB 于 E，∠A=60º， ∠BDC=95º，则∠BED的度数是（ ）
A. 35°B. 70°C. 110°D. 130°
【答案】C
【详解】∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=95°−60°=35°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD=70°，
∵DE∥BC，
∴∠BED+∠ABC=180°，
∴∠BED=180°−70°=110°．
故选C．
3．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．
【答案】证明过程见详解
【详解】解：如图所示，过点作的延长线于，
∵平分，，
∴，为公共边，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴在，中，
，
∴，
∴，
∴．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
【答案】见解析
【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE与△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝BF．
在△CFE与△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，∴∠F＝∠ADC．
在△BFA与△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．
∴BE＝CD．
4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求证：BE=AD．
【答案】见解析.
【详解】证明：延长AC、BE交于F，
∵∠1=∠3，BE⊥AE，
在△AEF和△AEB中，，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，
∴BE=BF，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，
在△ACD和△BCF中，，
∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，
∴BE=AD.
5．如图，在中，，，，分别平分,，，交于点O．
(1)求的度数；
(2)请你判断，与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）在中，，,
∴,
∵平分,平分,,
,；
（2）在上取一点F，使,
在与中：
，，
，，
∵，,
在与中：
，
，
.
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．
（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）不变化，．
【详解】解：（1）∵
∴，
∴ ，即．
∴，．
（2）如图，过点O作于M，于N，
根据题意可知．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴OA＝OB＝6．
在和中， ，
∴．
∴， ，．
∴，
∴，
∴点O一定在∠CDB的角平分线上，
即OD平分∠CDB．
（3）如图，连接OF，
∵是等腰直角三角形且点F为AB的中点，
∴，，OF平分∠AOB．
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
在和中 ，
∴．
∴，
∴．
故不发生变化，且．
1.过角平分线上一点向角的两边作垂线段：
2.在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：
3.构造等腰三角形：
类型一、作垂线、分两边
例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．
【变式训练1】如图所示，，是的中点，平分．
（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．
【变式训练2】如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．4
【变式训练3】四边形中，，连接．
（1）如图1，若平分，求证：．
（2）如图2，若，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．
类型二、截线段、构全等
例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
【变式训练1】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
【变式训练2】（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
类型三、角平分线+垂直=等腰
例．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.
【变式训练1】已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.
【变式训练2】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．
【变式训练3】 如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.
类型四、角平分线+垂直=等腰
例. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．
【变式训练1】如图，已知，平分，，则（ ）
A. 105°B. 120°C. 130°D. 150°
【变式训练2】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．
【变式训练3】 如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
课后训练
1．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．
2. 如图，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC，交AB 于 E，∠A=60º， ∠BDC=95º，则∠BED的度数是（ ）
A. 35°B. 70°C. 110°D. 130°
3．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求证：BE=AD．
5．如图，在中，，，，分别平分,，，交于点O．
(1)求的度数；
(2)请你判断，与之间的数量关系，并说明理由．
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．
（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
专题01 与角平分线有关辅助线的四种做法
【基础知识点】
1.过角平分线上一点向角的两边作垂线段：
2.在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：
3.构造等腰三角形：
类型一、作垂线、分两边
例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．
【答案】5
【详解】过D作，，交延长线于F，
∵AD平分，，，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【变式训练1】如图所示，，是的中点，平分．
（1）求证：是的平分线；（2）若，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）8cm.
【详解】
（1）证明：过点E分别作于F，
∴∠DFE=∠AFE=90°．
∵∠B=∠C=90°，
∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．
∴CB⊥AB，CB⊥CD．
∵DE平分∠ADC．
∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴BE=EF．
在Rt△AEB和Rt△AEF中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），
∴∠EAB=∠EAF，
∴AE是∠DAB的平分线；
（2）解：∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线，
， ，，
∵∠C=90°
∴ ， ，
.
故答案为（1）详见解析；（2）8cm.
【变式训练2】如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【详解】做分别关于的轴对称图形延长交于点，连接，如图：
∵是的对称三角形
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴四边形是正方形
设，在 中：即：
解得：（舍）
∴的长为4．
【变式训练3】四边形中，，连接．
（1）如图1，若平分，求证：．
（2）如图2，若，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）如图，过点分别作于点，交的延长线于点，
平分，
，
在与中
（HL）
即
（2）如图，过点作交的延长线于点，过点作，
，
即
（3）如图，过点分别作于点，交的延长线于点，
，
四边形是矩形
在与中
，
四边形是正方形
设
在中
在中，
类型二、截线段、构全等
例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
【答案】AC+BD=AB，理由见见解析
【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：
在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：
∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，
，
∴（SAS），∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，
，∴（AAS），∴AF=AC，
∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．
【变式训练1】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【详解】解：（1）、分别是与的角平分线，
，
，
，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得，
，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在与中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
【变式训练2】（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13
【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OD=OD，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD．
（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，
∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，
∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，
∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．
（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：
同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，
∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，
∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，
∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，
∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．
【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60°
【详解】（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS），∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD＋BD，
∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，
∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等边三角形，∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
类型三、角平分线+垂直=等腰
例．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.
【答案】详见解析
【详解】延长BO，AE并交于F，
∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，
∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，
在△ABE和△FBE中
，
∴△ABE≌△FBE，
∴AE=EF，
∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO，
∴∠2=∠OAF，
∵∠AOB=90°，
∴∠DOB=∠FOA=90°，
∴在△OBD和△OAF中
，
∴△OBD≌△OAF，
∴BD=AF，
∵AE=EF，
∴BD=2AE．
【变式训练1】已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.
【答案】见解析.
【详解】如图，延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，
又AD＝AD
∴△ADC≌△ADF(ASA)，∴CD=DF，AC=AF，
∵点E是BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=BF，
∵BF=AB-AF=AB-AC，
∴DE=(AB-AC)．
【变式训练2】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．
【答案】
【详解】解：延长CG交AB于点E．
AG平分，于，
，，，
∵ ，为的中点，．
故答案为.
【变式训练3】 如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】证明：（1）连接DF，
∵OF⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEO＝90°，
∵AD平分∠FAO，
∴∠FAE＝∠OAE，
在△FAE和△OAE中，
∴△FAE≌△OAE（ASA），∴AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，
∵AD⊥OF，∴FE＝OE，∴DF＝DO，∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠AFO＝∠AOF，∴∠AFD＝∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝90°，AO＝BO，∴∠B＝45°，
∴∠FDB＝∠AFO−∠B＝90°−45°＝45°＝∠B，∴BF＝DF，∴OD＝BF；
（2）解：在AD上截AM＝OF，连接OM，
∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB，∴∠OAM＝22.5°，
∵OD＝DF，∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF，∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM，
在△AMO和△OFB中，
∴△AMO≌△OFB（SAS），∴MO＝BF＝OD，
∵OF⊥AD，∴DE＝ME，∴AD−OF＝DM＝2DE．
类型四、角平分线+垂直=等腰
例. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．
【答案】12
【详解】∵BG平分∠EBC
∴∠EBG=∠GBC
∵ED∥BC
∴∠EGB=∠GBC
∴∠EBG=∠EGB
∴EB=EG
同理可得DF=DC
∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12
故答案为：12．
【变式训练1】如图，已知，平分，，则（ ）
A. 105°B. 120°C. 130°D. 150°
【答案】B
【详解】∵∠CDE＝150°，∴∠CDB＝180−∠CDE＝30°，
又∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝30°；
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，
∴∠C＝180°−60°＝120°．
故选B．
【变式训练2】如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．
【答案】13
【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，
由∵MNlBC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，
∴MO=MB，NO=NC，·
又∵AB=5，AC=8，
∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13
【变式训练3】 如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．
【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
课后训练
1．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．
【答案】
【详解】解析：连接，过点作于点，于点，
，
，
，，
，
，，
，．
设，则，
．
．
设，则，
，，
在中，由勾股定理得
解得．
．
2. 如图，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC，交AB 于 E，∠A=60º， ∠BDC=95º，则∠BED的度数是（ ）
A. 35°B. 70°C. 110°D. 130°
【答案】C
【详解】∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=95°−60°=35°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD=70°，
∵DE∥BC，
∴∠BED+∠ABC=180°，
∴∠BED=180°−70°=110°．
故选C．
3．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．
【答案】证明过程见详解
【详解】解：如图所示，过点作的延长线于，
∵平分，，
∴，为公共边，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴在，中，
，
∴，
∴，
∴．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
【答案】见解析
【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE与△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝BF．
在△CFE与△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，∴∠F＝∠ADC．
在△BFA与△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．
∴BE＝CD．
4．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求证：BE=AD．
【答案】见解析.
【详解】证明：延长AC、BE交于F，
∵∠1=∠3，BE⊥AE，
在△AEF和△AEB中，，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，
∴BE=BF，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，
在△ACD和△BCF中，，
∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，
∴BE=AD.
5．如图，在中，，，，分别平分,，，交于点O．
(1)求的度数；
(2)请你判断，与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）在中，，,
∴,
∵平分,平分,,
,；
（2）在上取一点F，使,
在与中：
，，
，，
∵，,
在与中：
，
，
.
6．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．
（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）不变化，．
【详解】解：（1）∵
∴，
∴ ，即．
∴，．
（2）如图，过点O作于M，于N，
根据题意可知．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴OA＝OB＝6．
在和中， ，
∴．
∴， ，．
∴，
∴，
∴点O一定在∠CDB的角平分线上，
即OD平分∠CDB．
（3）如图，连接OF，
∵是等腰直角三角形且点F为AB的中点，
∴，，OF平分∠AOB．
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
在和中 ，
∴．
∴，
∴．
故不发生变化，且．
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