高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题3.5指数与指数函数【原卷版+解析】

这是一份高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题3.5指数与指数函数【原卷版+解析】，共41页。


【核心素养】
1.以指数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与对数函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
根式和分数指数幂
1．n次方根
2.根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①(eq \r(n,a))n＝a.
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

知识点二
指数函数的图象和性质
1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
2.指数函数的图象与性质
常考题型剖析
题型一：根式、指数幂的化简与求值
【典例分析】
例1-1. （2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
例1-2. （2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________.
②＝________.
【规律方法】
1.化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
2.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
【变式训练】
变式1-1. 计算：×0＋×－＝________.
变式1-2. （2023·全国·高三专题练习）计算化简：
（1）＝________；
（2）＝________.
题型二：根式、指数幂的条件求值
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2-2. 已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；（3）
【规律方法】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x−12)2=x+2+x−1，(x+x−1)2=x2+2+x−2，x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)，解题时要善于应用公式变形．
【变式训练】
变式2-1. （2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
变式2-2.设，求 的值．
题型三：指数函数的解析式、求值
【典例分析】
例3-1．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若函数为偶函数， 且当时，， 则________.
例3-2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，且，，则的解析式为____________．
【方法技巧】
1.确定函数的解析式，常常利用“待定系数法”.
2.求指数函数相关函数值，可以先求解析式，再求值，也可以利用函数的其它性质，如函数的奇偶性，如例3-2.
【变式训练】
变式3-1. （2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.
题型四：指数函数相关定义域、值域问题
【典例分析】
例4-1. 【多选题】（2023·全国·高三专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．的定义域为[0，1]
C．的值域为[2，6]D．的值域为[2，20]
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【总结提升】
指数函数相关定义域、值域问题，一般要结合函数的图象和性质，特别是函数的单调性；另外，含
的复合函数问题，一般利用“换元法”转化求解.
【变式训练】
变式4-1. （2020秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）若定义运算，则函数的值域是（ ）
A．(-∞，+∞)B．[1，+∞)C．(0.+∞)D．(0，1]
变式4-2. （山东省高考真题）已知函数的定义域和值域都是，则 .
题型五：指数函数的图象及其应用
【典例分析】
例5-1.（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
例5-2.（2020·北京高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
例5-3．【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
例5-4.（2020·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【总结提升】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
= 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
= 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复；
= 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
= 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
4.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
【变式训练】
变式5-1. （2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式5-2.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )
A．B．
C．D．
变式5-3.（2021·北京高三其他模拟）已知函数则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
变式5-4.（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型六：指数函数的性质及其应用
【典例分析】
例6-1.（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例6-2.（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例6-3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
例6-4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．
【规律方法】
1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．
【变式训练】
变式6-1. （2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
变式6-2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
变式6-3.（2023·全国·高三专题练习）不等式对任意都成立，则实数的取值范围____________．
变式6-4.（2023·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.
一、单选题
1．（2023·天津滨海新·统考三模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则下列选项中可能为的解析式的是（ ）

A．B．
C．D．
3．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2018年新课标I卷文）设函数fx=2−x ， x≤01 ， x>0，则满足fx+1A. −∞ ， −1 B. 0 ， +∞ C. −1 ， 0 D. −∞ ， 0
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，则对任意非零实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
7.（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2023·全国·高三专题练习）若，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9.【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知（k为常数），那么函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）若指数函数且在上的最大值为，则________.
11．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.
12．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是__________.
专题3.5 指数与指数函数

【核心素养】
1.以指数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与对数函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
根式和分数指数幂
1．n次方根
2.根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①(eq \r(n,a))n＝a.
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

知识点二
指数函数的图象和性质
1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
2.指数函数的图象与性质
常考题型剖析
题型一：根式、指数幂的化简与求值
【典例分析】
例1-1. （2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用同底数幂的运算法则进行计算.
【详解】
故选：C.
例1-2. （2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________.
②＝________.
【答案】 1 102
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】①原式＝.
②原式=.
故答案为：1；102
【规律方法】
1.化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
2.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
【变式训练】
变式1-1. 计算：×0＋×－＝________.
【答案】
【解析】原式＝×1＋×－.
变式1-2. （2023·全国·高三专题练习）计算化简：
（1）＝________；
（2）＝________.
【答案】 0.09
【分析】由分数指数幂定义计算即可得答案.
【详解】（1）＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
（2）＝ ＝ ＝
故答案为：0.09；
题型二：根式、指数幂的条件求值
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据指数幂运算法则计算即可得到A正确；根据基本不等式得到，根据等号取等条件判断等号不可取从而得到B正确；通过指数幂运算直接计算得到C正确；通过对平方后进行比大小即可得到D错误.
【详解】因为，所以，故A正确；
易知，，由基本不等式得，所以，当且仅当时取等号，又因为，即，所以等号不成立，所以，故B正确；
，故C正确；
由，得，故D错误．
故选：ABC
例2-2. 已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；（3）
【答案】
【解析】（1）将两边平方得，所以.
（2）将两边平方得，所以.
（3）由（1）（2）可得
【规律方法】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x−12)2=x+2+x−1，(x+x−1)2=x2+2+x−2，x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)，解题时要善于应用公式变形．
【变式训练】
变式2-1. （2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
变式2-2.设，求 的值．
【答案】7
【解析】
,
.
题型三：指数函数的解析式、求值
【典例分析】
例3-1．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若函数为偶函数， 且当时，， 则________.
【答案】/
【分析】利用偶函数的定义即可求解.
【详解】当时，，所以，
又因为为偶函数，所以．
故答案为：.
例3-2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，且，，则的解析式为____________．
【答案】
【分析】根据，求出，可得函数解析式.
【详解】因为函数解析式为，则，则，
由可得，，解得，所以.
【方法技巧】
1.确定函数的解析式，常常利用“待定系数法”.
2.求指数函数相关函数值，可以先求解析式，再求值，也可以利用函数的其它性质，如函数的奇偶性，如例3-2.
【变式训练】
变式3-1. （2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作答.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，B正确；
又函数是奇函数，则，因此，即有，
于是，即函数的周期为4，有，C正确；
因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确；
当时，，所以，D错误．
故选：ABC
变式3-2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.
【答案】
【分析】由奇函数的性质可得出的值，利用奇函数的定义可求得函数在时的解析式，综合可得出函数在上的解析式.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，
当时，，
当时，，则，
所以当时，，
所以.
题型四：指数函数相关定义域、值域问题
【典例分析】
例4-1. 【多选题】（2023·全国·高三专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．的定义域为[0，1]
C．的值域为[2，6]D．的值域为[2，20]
【答案】ABC
【分析】根据指数函数图像恒过定点求出m，n的值，根据的定义域求的定义域，再根据指数函数和二次函数的单调性，求出的值域.
【详解】令，得，此时，
所以函数的图象过定点，即，，故选项A正确；
因为，，所以，，
所以，
由得，
所以的定义域为[0，1]，故B正确；
易知在[0，1]上单调递增，
所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值6，
所以的值域为[2，6]，故选项C正确，选项D错误．
故选:ABC．
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】．
【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.
【详解】设，则，
换元得，
显然当时，函数取到最小值，
所以函数的值域为．
故答案为：.
【总结提升】
指数函数相关定义域、值域问题，一般要结合函数的图象和性质，特别是函数的单调性；另外，含
的复合函数问题，一般利用“换元法”转化求解.
【变式训练】
变式4-1. （2020秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）若定义运算，则函数的值域是（ ）
A．(-∞，+∞)B．[1，+∞)C．(0.+∞)D．(0，1]
【答案】D
【分析】作出函数的图像，结合图像即可得出结论.
【详解】由题意分析得：
取函数与中的较小的值，
则，如图所示（实线部分）：
由图可知：函数的值域为：.
故选：D.
变式4-2. （山东省高考真题）已知函数的定义域和值域都是，则 .
【答案】
【解析】
若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；
若，则在上为减函数,所以，解得，所以.
题型五：指数函数的图象及其应用
【典例分析】
例5-1.（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
例5-2.（2020·北京高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
例5-3．【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.
【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，
且当时，，可得.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.
故选：ABD.
例5-4.（2020·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出函数和的图像，转化为两个函数的图象有两个交点，结合图象观察可得结果.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
画出函数的图象，如图：
因为方程有两个不同实根，
所以函数和函数的图象有两个不同的交点.
由直线过，得；
由直线过，得；
由直线过，得；
而函数不过，
因此有当时，函数和函数的图象有两个不同的交点.，即方程有两个不同实根.
故选：A
【总结提升】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
= 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
= 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复；
= 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
= 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
4.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
【变式训练】
变式5-1. （2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
就、分类讨论可得正确的选项.
【详解】
当时，为增函数，当时，且，
故A,B 不符合.
当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.
故选：D.
变式5-2.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由于过点，故D选项错误.
当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.
当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.
综上所述，正确的选项为C.
故选：C
变式5-3.（2021·北京高三其他模拟）已知函数则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
作出函数以及的大致图象，数形结合即可求解.
【详解】
在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象，

观察的区域，
由图象可知，在区间和上
，由此的解集.
故选：A
变式5-4.（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由不等式可知，或，结合图象，分析可得的取值范围.
【详解】
当时，，得，，不能满足都有解；
当时，，得或，
如图，当或时，只需满足或，满足条件.
所以，时，满足条件.
故选：A
题型六：指数函数的性质及其应用
【典例分析】
例6-1.（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
例6-2.（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
例6-3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
例6-4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【分析】令，将原指数度等式的问题可转化成二次函数的问题进行处理.
【详解】，令，由于，根据指数函数性质，，
于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值.
根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远，
故，于是.
故答案为：
【规律方法】
1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．
【变式训练】
变式6-1. （2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性可得，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得.
【详解】因为函数在R上单调递减，，
所以，
因为函数在R为增函数，所以，
又在上单调递增，所以，
综上，.
故选：A.
变式6-2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定函数的图象关于中心对称，在上单调递减，且，不等式转化为或或，解得答案.
【详解】依题意，，，
故，
故函数的图象关于中心对称，
当时，，，单调递减，
故在上单调递减，且，
函数的图象关于中心对称，在上单调递减，，
而，故或或，
解得或，故所求不等式的解集为，
故选：B.
变式6-3.（2023·全国·高三专题练习）不等式对任意都成立，则实数的取值范围____________．
【答案】．
【分析】分离参数，换元法求最值，可得实数的取值范围.
【详解】原不等式可化为对恒成立，
令，则，所以，
当时，，所以.
故答案为: .
变式6-4.（2023·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.
【答案】
【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，
且满足，所以函数为奇函数，
因为，即，
可得恒成立，即在上恒成立，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
一、单选题
1．（2023·天津滨海新·统考三模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取特值排除即可.
【详解】因为，故A、C错误；
又因为，故B错误；
故选：D.
2．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则下列选项中可能为的解析式的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到，结合选项中的函数，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，可得
对于A中，函数，当时，，当时，，
其函数为单调递减函数，符合题意；
对于B中，对于，当时，，不符合题意；
对于C中，对于，当时，，不符合题意；
对于D中，对于，当时，，不符合题意.
故选：A.
3．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】注意到，，后利用指数函数，幂函数单调性可比较大小.
【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，则，，.
又函数在上单调递增，则，又，则.
综上，.
故选：A
4.（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
5．（2018年新课标I卷文）设函数fx=2−x ， x≤01 ， x>0，则满足fx+1A. −∞ ， −1 B. 0 ， +∞ C. −1 ， 0 D. −∞ ， 0
【答案】D
【解析】将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知会有2x<02x6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，则对任意非零实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的函数式，计算及即可判断作答.
【详解】函数，，
则，显然，且，AB错误；
，D正确，C错误.
故选：D
7.（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）若，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先根据指数函数的单调性解不等式求出的取值范围，再利用指数函数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以可化为，
由指数函数的单调性可得，
解得，所以，故函数的值域是.
故选：B
二、多选题
9.【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知（k为常数），那么函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当时，为偶函数，当时，为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．
当时，为偶函数，
当时，且单调递增，而在上单调递增，
故函数在上单调递增，故选项C正确，D错误；
当时，为奇函数，
当时，且单调递增，而在上单调递减，
故函数在上单调递减，故选项B正确，A错误.
故选:AD．
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）若指数函数且在上的最大值为，则________.
【答案】或
【分析】根据指数函数的单调性，分类讨论即可求出的值.
【详解】若，则在上为增函数，所以，即.
若，则在上为减函数，所以，即.
综上或.
故答案为：或.
11．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集.
【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意，
所以，，由可得，
因为函数的定义域为，所以，，解得，
所以，，则，
由可得，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
12．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由有两个解，对应的解的个数确定范围，进而求m的范围.
【详解】由题设，若，则，
所以，值域为R，函数图象如下：

当时，只有一个与之对应；
当时，有两个对应自变量，
记为，则；
当时，有三个对应自变量且；
当时，有两个对应自变量，
记为，则；
当时，有一个与之对应；
令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，
若有三个解，则，此时有7个解，不满足；
若有两个解且，此时和各有一个解，
结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；
若有一个解，则有两个解，此时，
所以对应的，
综上，.
故答案为：.
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为eq \r(n,a)
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±eq \r(n,a)
a＜0
x不存在
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为eq \r(n,a)
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±eq \r(n,a)
a＜0
x不存在
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数