内蒙古包头市第六中学等多校联考2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（解析版）

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由元素与集合的关系判断和集合与集合关系的判断及表示方法，对选项逐一分析.
【详解】集合，
，A选项错误；
，元素与集合不能用符号，B选项错误；
根据子集的定义，有，C选项正确；
集合不是集合中的元素，不能用符号，D选项错误.
故选：C.
2. 已知等比数列前n项和为，若，，则=（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得公比，从而求得正确答案.
【详解】设等比数列的公比为，
依题意，，，
即，
所以，
解得或，
所以或，
所以.
故选：B
3. “数列是等差数列”是“数列是等差数列”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得.
【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为，
则，则，
即数列是以为首项，为公差的等差数列；
若数列是等差数列，取，则，符合要求，
但数列不为等差数列，
故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件.
故选：A,
4. 香农一维纳指数（H）是在生物学中衡量群落中的生物多样性的一个指标，其计算公式为，其中n为群落中物种总数，为第i个物种的个体数量占群落中所有物种个体数量的比例．已知某地区一群落初始指数为，群落中所有物种个体数量为N，在引入数量为M的一个新物种后，指数（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数的含义，表示，再结合，，利用对数的运算法则化简运算可得.
【详解】不妨设引入数量为M的新物种之前，该群落中原有物种总数为，
由题意得，且，
在引入数量为M的一个新物种后，，
故选：B.
5. 若是偶函数，则a的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得的值.
【详解】的定义域为，
由于是偶函数，所以，
所以，
，
，
所以.
故选：A
6. 已知幂函数，直线是曲线的切线，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的函数类型，求得，再利用导数的几何意义，求得即可.
【详解】因为为幂函数，故，解得，则，；
不妨设也即与y=f(x)的切点为，
则，且，解得.
故选：D.
7. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ）
A B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】借助奇函数的性质，结合复合函数的导数公式可得，结合已知条件可得的周期，再利用赋值法结合其周期计算即可得解.
【详解】由函数为奇函数，则，则，
由，则，即，
即有，则，
即具有周期性，且其周期为，则，
对，令，则有，即，即.
故选：D.
8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（ ）
A. B. C. eD. 2e
【答案】B
【解析】
【分析】通过同构得对任意恒成立，令，利用导数得在上单调递增，从而得，即有在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得答案.
【详解】解：因为不等式对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立，
不等式对任意恒成立，
所以不等式对任意恒成立，
令，则，
令，则，
当时，即单调递减；
当时，即单调递增；
所以，
所以在上单调递增，
又因为式对任意恒成立，
即，
所以在上恒成立，
即，即在上恒成立，
令，则，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，所以，
所以a的最小值为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：在利用导数解答恒成立问题时，如果题设中有指数函数和对数函数，经常通过同构法，转化为函数的单调性进行求解.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式性质、结合幂函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，，得，而，则，B错误；
对于C，函数在上单调递增，，则，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
10. 已知等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A. B.
C. 当时，取最小值D. 当时，n的最大值为10
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知条件得到，结合等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意，
所以异号，而，所以，，A选项正确.
则，
所以，B选项正确.
由于，则，所以等差数列的前项为负数，
从第项起为正数，所以当时，最小，所以C选项错误.
，
所以当时，n最大值为10，所以D选项正确.
故选：ABD
11. 已知函数，则（ ）
A. 曲线关于点成中心对称
B. ，无极值
C. 若在上单调递增，则
D. 若曲线与x轴分别交于点，，，且在这三个点处的切线斜率分别为，，，则为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】A项判断是否恒成立即可；B项取特值利用导数研究极值可得；C项转化为在恒成立问题求解；D项求导数可得斜率，再代入化简即可得.
【详解】A项，，
.
当且仅当时，曲线关于点成中心对称.
即当时，曲线不关于点成中心对称，故A错误；
B项，当时，，
，则在上单调递增，不存在极值，
即，无极值，故B正确；
C项，若在上单调递增，
则在恒成立，即，恒成立，
又由，得，所以要使恒成立，则，故C错误；
D项，由题意可知，
，
则；
；.
故，
即为定值，故D正确.
故选：BD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设，，，则的最小值为______
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，结合基本不等式，求解即可.
【详解】因为，，，
故，
当且仅当，也即时取得等号.
故答案为：.
13. 写出一个同时满足下列三个条件的数列的通项公式：______
①；②数列是递减数列；③数列的前n项和恒成立．
【答案】(不唯一)
【解析】
【分析】根据①②，可以联想到指数函数，且底数满足，再根据等比数列的求和公式验证③即可.
【详解】解：因为①，可以联想到指数函数；
又因为②数列是递减数列，可以联想到指数函数中底数满足；
当时，，
所以，满足①；
且数列是递减数列，满足②；
，满足③.
故答案为：(不唯一)
14. 俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得.
【详解】令，
令，
因为，所以，，
由，则，
令，即，解得，
则ymax=maxm,m+4=-m,m≤-2m+4,m>-2，
故当且仅当时，有.
故函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为.
故答案为：-2
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合题意得到ymax=maxm,m+4=-m,m≤-2m+4,m>-2，从而可得出取最小值时，的值.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数．
（1）若曲线过点，求的解集；
（2）若存在使得，，成等差数列，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，根据函数的单调性以及定义域列不等式组来求得正确答案.
（2）根据等差数列的性质列方程，利用分离常数法，以及基本不等式求得的取值范围.
【小问1详解】
若曲线y=fx过点，则，
所以，所以fx=lg2x，在0,+∞上单调递增，
所以不等式等价于2x>0x+1>02x解得，所以不等式的解集为.
【小问2详解】
依题意，存在使得，，成等差数列，
所以存在使得，且x>0，
即存在使得，
即存在使得，
即存在使得，
即存使得，
而当且仅当时等号成立，
所以的取值范围是.
16. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值大于，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）根据有极小值，且极小值大于列不等式，根据函数的单调性求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】
的定义域是，
，在上单调递增，
令，解得，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以在处取得极小值，
依题意，，
即，函数在上单调递增，且当时，，
所以.
17. 已知正项数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前2n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 来求得an的通项公式.
（2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列bn的前2n项和．
【小问1详解】
依题意，，，
当时，，解得，（舍去）.
当时，由得，
两式相减得，
即，由于，
所以，所以数列an是首项为，
公差为的等差数列，所以（也符合）.
【小问2详解】
由（1）得，
所以
.
18. 设函数，
（1）证明：有两个零点；
（2）记是的导数，为的两个零点，证明：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用零点的意义，构造函数，利用导函判断函数单调性，借助零点存在性定理即可推理得证.
（2）求出的导数，化不等式为，利用（1）中函数构造函数，结合零点的意义及单调性推理得证.
【小问1详解】
由，得，即，令，
函数有两个零点，即函数有两个零点，求导得，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
又，因此使得，使得，
所以函数有两个零点.
【小问2详解】
由（1）知函数的零点满足：，
求导得，要证，即证，即证明，
令，求导得
，
函数在上单调递减，则，由，得，
即，由，得，且在上单调递增，
因此，即，命题得证．
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式转化成求证，然后再利用构造函数利用函数单调性证明.
19. 设，x是不超过x的最大整数，当时，x的位数记为，例如：，．
（1）求；（注）
（2）当时，记由曲线y=fx，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求数列an的前n项和；
（3）当，时，证明：．
【答案】（1）8 （2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用对数式的运算得，可求；
（2）根据定义可得当时，，然后求出通项，错位相减法求；
（3）取，可得，，确定的范围和的值，即可证明．
【小问1详解】
，则，所以.
【小问2详解】
当时，，
表示，，以及轴围成的平面图形的面积，
所以，记，
则①，
所以②，
由①②得
，
所以．
【小问3详解】
，
当时，
，，
此时，，
所以，；
，
则有，
所以，
即．
【点睛】方法点睛：
根据定义可得当时，，于对的范围分段讨论，判断和的范围，进而可得和的值，即可得到证明．