上海市松江二中2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

这是一份上海市松江二中2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，则______．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则______．
3．在的展开式中，的系数为______．
4．双曲线的两条渐近线的夹角为______．
5．已知向量，且，则______．
6．函数在上可导，若，则______．
7．已知随机变量的分布为，且，若，则实数______．
8．正方体的棱长为2，P为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______．
9．已知集合，设函数的值域为，若，则实数的取值范围为______．
10．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为______．
11．如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为______．
12．已知都是平面向量，且，若，则的最小值为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若平行于同一平面，则与可能异面
B．若不平行，则在内不存在与平行的直线
C．若不平行，则与不可能垂直于同一平面
D．若垂直于同一平面，则与可能相交
15．在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则为（ ）
A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形
16．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点．
18．（本题满分14分，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
黄山原名“夥山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”．黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．明代旅行家、地理学家徐霞客两游黄山，赞叹说：“登黄山天下无山，观止矣！”又留“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”的美誉，为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求x的值；
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（保留两位小数）；
（3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流。求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数的表达式（为实数）．
（1）函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；
（2）设，若不等式在上有解，求的取值范围．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，已知是椭圆的左右焦点，是其顶点，直线与相交于两点．
（1）求的面积；
（2）若，点重合，求点的坐标；
（3）设直线的斜率分别为，记以为直径的圆的面积分别为的面积为，若恰好构成等比数列，求的最大值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若的极大值为，求的值；
（3）当时，若对任意的，存在使得，求的取值范围．
松江二中2025届高三数学第一学期开学考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．【答案】
【解析】易知．
2．【答案】
【解析】．
3．【答案】
【解析】．
4．【答案】
【解析】两条渐近线分别为，夹角为．
5．【答案】
【解析】．
6．【答案】12
【解析】
7．【答案】
【解析】．
8．【答案】
【解析】由题意知，为等腰三角形，且，所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴，
和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体，
可得圆锥的底面半径为，所以．
9．【答案】
【解析】，即
因为，所以，所以
因为，所以，解得，所以实数的取值范围为
10．【答案】
【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为，
3次检测结束的概率为，
则恰好检测四次停止的概率为．
11．【答案】
【解析】设椭圆的半焦距为，
如图，延长，与椭圆交于点，连接，由，所以根据对称性可知，，
设，则，从而，故，
在中，，所以，
在中，，即，
所以，所以，所以离心率．
12．【答案】
【解析】如图设，
点在以为圆心，半径为的圆上，
点在以为圆心，半径为1的圆上，，
所以在射线上，所以，
作的关于射线的对称点，则，且，
所以，（当且仅当共线时取等号），的最小值为．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．【答案】A
【解析】“直线与直线垂直”等价于，故选A．
14．【答案】B
【解析】在内与和的交线平行的直线与平行，故B错误．
15．【答案】B
【解析】取的中点的中点，连接（如图所示），则
，
同理，
因为，所以，
即，所以对于边上任意一点都有，因此，
又为中点，为中点，
所以，所以，即，所以，即为针角三角形．
16．【答案】A
【解析】函数的定义域为，
若时，由求导得，，
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，当时，；
若时，由求导得，，
因，故恒有，即在上单调递增，
且当时，，当时，，即时，恒有．
作出函数的大致图像如图所示．
又由可得或，由图知有两个根，此时有2个零点；
要使函数恰有5个不同的零点，
需使有3个零点，由图知，需使，即，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为平面平面平面，
所以，
又平面平面，
所以平面，又平面，所以，
有题意可知，又平面平面，
所以平面．
（2）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
因平面平面，所以，
因为，所以为中点，
故，
平面的一个法向量为，
，
设平面的法向量为，
由得，令得，
则，所以，
因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小为．
18．【答案】
（1）； （2）83.33； （3）
【解析】（1）由图知：，可得．
（2）由，所以分位数在区间内，令其为，
则，解得．所以满意度评分的分位数为83.33．
（3）因为评分在的频率分别为，
则在中抽取人，设为；
在中抽取人，设为；
从这6人中随机抽取2人，则有：，
，共有15个基本事件，
设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，
则有，共有8个基本事件，所以．
19．【答案】（1）；（2）当时，；当时，．
【解析】（1）由题意，任取，且，
则，
因为，所以，即，
由，得，所以，所以，的取值范围是．
（2）由，得，因为，所以，
令，则，所以，令，
于是，要使原不等式在有解，当且仅当，
因为，所以图象开口向下，对称轴为直线，
因为，设：为区间的中点值，，
故当，即，即时，；
当，即，即时，．
综上，当时，；当时，．
20．【答案】（1）； （2） （3）的最大值不存在
【解析】（1）容易求得
所以，．
（2）易求，所以，
代入直线方程得，设，
由得，
由韦达定理得：，解得，
所以，．
（3）设，
由得，
由韦达定理有：，
且．
又，即．
由韦达定理得，即，
由得，
，
（定值）
，
，
当且仅当，即时等号成立．
此时，直线方程为，该直线过，即中有一个不存在，
所以，的最大值不存在．
21．【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），则，
因为，所以切点即，
所以切线为．
（2），
因为，令，解得或，
①当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，不符合题意；
②当时，即时，在R上单调递增，无极大值；
③当时，即时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，符合题意．
综上所述，．
（3）由题意得当时，在上的值域是在的值域的子集，
由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，
①当时，即时，当时，单调递增，，
又因为当时，，
因为，所以当时，使得，
②当时，即时，
当时，单调递增，，
当时，，
若满足题意，只需，即，
③当时，即时，
当时，在上单调递减，上单调递增，
所以函数的最小值为，
所以，
又因为时，，
若满足题意，只需，即，
因为，所以，所以无解，所以不合题意
综上，实数的取值范围为．