高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第四课时基本不等式学案

这是一份高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第四课时基本不等式学案，共22页。
考点一 基本不等式的内容及求最值
1．重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
如果a>0，b>0，则ab≤a+b2，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．即正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
变形：若a>0，b>0，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
[典例1] (1)(2023·重庆渝中巴蜀中学校考期末)下列不等式一定成立的是( )
A．x2＋1>2x(x>0)
B．sin x＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．1x2+1≥1(x∈R)
D．t＋1t≥2(t>0)
(2)(2023·山东济南统考三模)已知正数x，y满足4x＋2y＝xy，则x＋2y的最小值为________．
(3)①已知0－1，求函数y＝x2+x+4x+1的最小值．
(1)D (2)18 [(1)对于A，当x＝1时，x2＋1＝2x，A不正确；
对于B，当x≠kπ，k∈Z时，－1≤sin x≤1，且sin x≠0，若－1≤sin x－1，
y＝x2+x+4x+1＝x+12-x+1+4x+1＝(x＋1)＋4x+1－1≥2x+1·4x+1－1＝3，
当且仅当x＋1＝4x+1，即x＝1时，等号成立．
所以函数y＝x2+x+4x+1的最小值是3．
使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可，特别注意“一正”“三相等”这两类陷阱．
跟进训练1 (1)若x＜23，则f (x)＝3x＋1＋93x-2有( )
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
(2)(2024·安徽滁州定远中学校考模拟预测)已知实数a>0，b>0，a＋b＝1，则2a＋2b的最小值为________．
(3)已知0＜x＜22，则x1-2x2的最大值为________．
(4)已知a>0，b>0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________．
(1)C (2)22 (3)24 (4)22 [(1)∵x＜23，∴3x－2＜0，
f (x)＝3x－2＋93x-2＋3＝－2-3x+92-3x＋3≤－22-3x·92-3x＋3＝－3．
当且仅当2－3x＝92-3x，
即x＝－13时取“＝”．
(2)∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴2a＋2b≥22a·2b＝22a+b＝22，当且仅当2a＝2b，即a＝b＝12时取等号．
故答案为：22．
(3)∵0＜x＜22，∴1－2x2＞0，
x1-2x2＝22·2x2·1-2x2≤22·2x2+1-2x22＝24．
当且仅当2x2＝1－2x2，
即x＝12时等号成立．
(4)因为ab＝a－b＋3，解得b＝a+3a+1＝1＋2a+1，
则a＋b＝a＋1＋2a+1≥22，
当且仅当a＝2－1，b＝2＋1时，“＝”成立．
故答案为：22．]
考点二 利用基本不等式判断或证明不等式关系
1．几个重要的不等式变形
(1)ab≤a2+b22(沟通积ab与平方和a2＋b2的不等关系式)；
(2)a2＋b2≥a+b22(沟通和a＋b与平方和a2＋b2的不等关系式)；
(3)ab≤a+b22(沟通积ab与和a＋b的不等关系式)．
2．基本不等式链
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)．
提醒：(1)当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三相等”．
(3)基本不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
[典例2] (1)已知x，y都是正数，且x≠y，则下列选项不恒成立的是( )
A．x+y2>xyB．xy＋yx>2
C．2xyx+y2
(2)(2023·云南昆明统考期末)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1．
①证明：1a+b＋1c≥4；
②证明：a2＋b2＋c2≥13．
(1)D [x，y都是正数，
x+y2≥xy，yx＋xy≥2，2xyx+y≤2xy2xy＝xy这三个不等式都是当且仅当x＝y时等号成立，而题干中x≠y，因此等号都取不到，所以A、B、C三个不等式恒成立；
xy＋1xy≥2中当且仅当xy＝1时取等号，如x＝12，y＝2可取等号，D中不等式不恒成立．
故选D．]
(2)[证明] ①1a+b＋1c＝(a＋b＋c)·1a+b+1c＝2＋ca+b＋a+bc≥2＋2ca+b·a+bc＝4，
当且仅当a＋b＝c＝12时取等号，
所以1a+b＋1c≥4．
②由a＋b＋c＝1，得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1，
又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2＋b2，2ac≤a2＋c2，2bc≤b2＋c2，
当且仅当a＝b＝c＝13时，上述不等式等号均成立，
所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3a2＋3b2＋3c2，
即3(a2＋b2＋c2)≥1，
所以a2＋b2＋c2≥13，当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．
本例(1)解决的关键是熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．
本例(2)中的①由a＋b＋c＝1，1a+b＋1c＝(a＋b＋c)·1a+b+1c＝2＋ca+b＋a+bc，利用基本不等式求解即可．
②由a＋b＋c＝1，两边同时平方，结合基本不等式求a2＋b2＋c2的最小值．
跟进训练2 (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
BC [由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤x+y24，
即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－3x+y24＝x+y24，
∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤x2+y22，
∴x2＋y2≤2，故C正确；
∵x2＋y2≥－2xy，∴－xy≤x2+y22，
∴1＝x2＋y2－xy≤32(x2＋y2)，∴x2＋y2≥23，D错误．故选BC．]
考点三 基本不等式的恒成立问题
[典例3] (2024·四川南充高级中学校考模拟预测)已知实数x，y满足x＋y－xy＝0且xy>0, 若不等式4x＋9y－t≥0恒成立， 则实数t的最大值为( )
A．9 B．12
C．16 D．25
D [因为x＋y－xy＝0，所以1x＋1y＝1，
∴4x＋9y＝(4x＋9y)1x+1y＝13＋9yx＋4xy≥13＋29yx·4xy＝25,
当且仅当9yx＝4xy，即x＝52，y＝53时，等号成立．
因为不等式4x＋9y－t≥0恒成立，只需(4x＋9y)min≥t，
因此t≤25，故实数t的最大值为25．
故选D．]
对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值，大于最大，小于最小．
跟进训练3 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝xy，若不等式x＋2y≥m2－2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，4]
B．(－2，4)
C．(－∞，－2]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
A [x＋2y＝xy可化为2x＋1y＝1，
则x＋2y＝(x＋2y)2x+1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，
当且仅当x＝2y＝4时等号成立，即x＋2y的最小值为8，
因为x＋2y≥m2－2m恒成立，所以m2－2m≤8，解得－2≤m≤4，
则实数m的取值范围是[－2，4]．故选A．]
考点四 利用基本不等式解决实际问题
[典例4] 某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝12x2－200x＋80 000，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
[解] (1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为yx＝12x＋80 000x－200≥212x·80 000x－200＝200，
当且仅当12x＝80 000x，即x＝400时等号成立，
故该单位当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元．
(2)不获利．设该单位每个月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－12x2-200x+80 000＝－12x2＋300x－80 000＝－12(x－300)2－35 000，
因为x∈[400，600]，则S∈[－80 000，－40 000]，
故该单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40 000元才能不亏损．
(1)理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．
(2)注意定义域，验证取得条件．
(3)注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．
跟进训练4 (2024·广西南宁开学考试)某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)万元．当年产量低于30千件时，C(x)＝14x2＋10x；当年产量不低于30千件时，C(x)＝50x＋4 500x-15－1 300．每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完．
(1)写出年利润L(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？
[解] (1)当02(a－1)(b－1)＝2，故B正确；
ab＝(1＋lg35)(1＋lg53)＝2＋lg35＋lg53>2＋2lg35×lg53＝4，故C错误；
a2＋b2＝2＋2(lg35＋lg53)＋(lg35)2＋(lg53)2＝2(lg35＋lg53)＋(lg35＋lg53)2，
设t＝lg35＋lg53，则t>2，则a2＋b2＝t2＋2t＝(t＋1)2－1在t∈(2，＋∞)上单调递增，
所以a2＋b2>8，故D错误．故选B．]
12．(2023·山东日照三模)设x>－1，y>0且x＋2y＝1，则1x+1＋1y的最小值为________．
3+222 [因为x>－1，y>0，
所以x＋1>0，2yx+1>0，x+1y>0，
因为x＋2y＝1，所以x＋1＋2y＝2，
所以1x+1＋1y＝121x+1+1y(x＋1＋2y)
＝123+2yx+1+x+1y≥12(3＋22)，
当且仅当2yx+1＝x+1y，即x＝22－3，y＝2－2时取等号．
故答案为：3+222．]
阶段提能(二) 逻辑用语、一元二次不等式及基本不等式
1．(北师大版必修第一册P23B组T1)填空：
(1)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根”的充要条件是________；
(2)“一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是________；
(3)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是________．
(1)(－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)a│－12