高三数学一轮复习第二章函数第六课时对数与对数函数学案

这是一份高三数学一轮复习第二章函数第六课时对数与对数函数学案，共14页。

1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N．
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaMN＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)对数恒等式
algaN＝N(a>0，且a≠1，N >0)．
(4)对数换底公式：lgab＝lgcblgcaa>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1．
[典例1] (1)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－lg34×lg23＝________．
(2)若lg142＝a，14b＝5，用a，b表示lg3528＝________．
(1)－1 (2)1+a1+b-a [(1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 412－2lg2lg3×lg3lg2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1．
(2)因为14b＝5，所以b＝lg145，
lg3528＝lg1428lg1435＝lg1414+lg142lg1414+lg145-lg142＝1+a1+b-a．
故答案为1+a1+b-a．]
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟进训练1 (1)lg1100－lg23×lg52×lg35＋lne＋21＋lg23＝________．
(2)(2024·上海高三校联考阶段练习)若12a＝3b＝m，且1a－1b＝2，则m＝________．
(1)4 (2)2 [(1)lg1100－lg23×lg52×lg35＋lne＋21＋lg23＝－2－lg23×lg22lg25×lg25lg23＋12＋2×2lg23＝－2－12＋12＋6＝4．
(2)∵12a＝3b＝m，且1a－1b＝2，
∴m>0且m≠1，
∴a＝lg12m，b＝lg3m，
∴1a＝lgm12，1b＝lgm3，
∴1a－1b＝lgm12－lgm3＝lgm4＝2，
∴m＝2．
故答案为2．]
考点二 对数函数的图象及应用
1．对数函数
(1)一般地，函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b．由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
3．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[典例2] (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，则函数f (x)＝ax与g(x)＝lg1bx的图象可能是( )
A B
C D
(2)已知函数y＝lga(x＋b)(a，b为常数，其中a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a＝0.5，b＝2
B．a＝2，b＝2
C．a＝0.5，b＝0.5
D．a＝2，b＝0.5
(1)B (2)D [(1)∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴ab＝1，∴a＝1b，
∴g(x)＝lg1bx＝lgax，函数f (x)＝ax与函数g(x)＝lg1bx互为反函数，
∴函数f (x)＝ax与g(x)＝lg1bx的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．
(2)由图象可得函数在定义域上单调递增，所以a>1，排除A，C；
又因为函数过点(0.5，0)，所以b＋0.5＝1，解得b＝0.5．故选D．]
本例(1)直接利用对数运算性质lga(MN)＝lgaM＋lgaN得到lg a＋lg b＝lg (ab)，再由对数的性质lga1＝0得到ab＝1；例(2)主要考查对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)过定点(1，0)，即0.5＋b＝1时y＝0．
跟进训练2 (1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝x＋a与y＝lgax的图象只可能是( )
A B
C D
(2)(2024·云南昆明高三校考阶段练习)函数f (x)＝lga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
(1)C (2)(3，1) [(1)当a>1时，函数y＝lgax为增函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标大于1；当0(2)因为f (3)＝lga(3－2)＋1＝1，
所以该函数的图象恒过的定点是(3，1)，
故答案为(3，1)．]
考点三 对数函数的性质及应用
[典例3] (1)(2024·武汉质检)已知a＝lg30.5，b＝lg3π，c＝lg43，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．a(2)不等式lgx(x＋2)>1的解集是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
(3)(2024·辽宁大连二十四中校联考期末)已知函数f (x)＝ln (ax2－2x＋2)，若f (x)在区间-∞，12上单调递减，则实数a的取值范围是________．
(1)C (2)B (3)[0，2] [(1)a＝lg30.5b＝lg3π>lg33＝1，即b>1；
0＝lg41∴a(2)lgx(x＋2)>1⇔01，x+2>x，②
①无解，②的解为x>1，∴x>1，故选B．
(3)因为函数f (x)＝ln (ax2－2x＋2)在区间-∞，12内单调递减，
设g(x)＝ax2－2x＋2，
所以g(x)＝ax2－2x＋2在区间-∞，12上单调递减，且g(x)>0在区间-∞，12上恒成立，
当a＝0时，g(x)＝－2x＋2，满足题意；
当a<0时，g(x)＝ax2－2x＋2，开口向下，在区间-∞，12上不单调递减，不满足题意；
当a>0时，g(x)＝ax2－2x＋2，
所以a>0a4+1≥0--22a≥12，解得0所以综上可得0≤a≤2．
故实数a的取值范围为[0，2]．]
本例(1)用中间值0和1比较即可；本例(2)注意对数的隐含条件：①底数大于零且不为1，②真数大于零；本例(3)考查复合函数单调性同增异减，一要注意讨论a＝0时是否成立，二要注意真数大于零．
【教师备用】
(2024·浙江杭州高一校考期末)已知函数f (x)＝lga(x2＋2ax＋2a－1)．
(1)当a＝12时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若f (x)在(－∞，－2)上单调递减，求实数a的取值范围．
[解] (1)根据题意，当a＝12时，
f (x)＝lg12 (x2＋x)，
由x2＋x>0，解得x<－1或x>0，
故f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
令t＝x2＋x＝x+122－14，则该函数在(－∞，－1)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
因为函数y＝lg12t为减函数，
所以f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)令函数g(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋a)2－a2＋2a－1，该函数在(－∞，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．
①当a>1时，要使f (x)在(－∞，－2)上单调递减，
则g(x)在(－∞，－2)上单调递减，且g(x)>0恒成立，
故-a≥-2g-2=4-4a+2a-1≥0，又a>1，
所以1②当0则g(x)在(－∞，－2)上单调递增，且g(x)>0恒成立，
因为g(x)在(－∞，－a)上单调递减，故函数g(x)在(－∞，－2)上不能单调递增，此种情况不可能．
综上，实数a的取值范围为1，32．
跟进训练3 (1)(2023·辽宁辽阳二模)若a＝lg0.30.4，b＝1.20.3，c＝lg2.10.9，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．a>c>b D．b>a>c
(2)已知函数f (x)＝lg2(x＋1)－|x|，则不等式f (x)>0的解集是( )
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．∅
(3)(2024·开封模拟)已知函数f (x)＝lga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3] B．(1，3)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
(1)D (2)B (3)A [(1)因为0<0.3<1，所以y＝lg0.3x为减函数，
所以lg0.31因为1.2>1，所以y＝1.2x为增函数，
所以1.20.3>1.20，即b>1．
因为2.1>1，所以y＝lg2.1x为增函数，
所以lg2.10.9所以b>a>c．
故选D．
(2)不等式f (x)>0⇔lg2(x＋1)>|x|，
分别画出函数y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象，
由图象可知y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，
由图象可知lg2(x＋1)>|x|的解集是(0，1)，
即不等式f (x)>0的解集是(0，1)．
(3)令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．
又由函数f (x)＝lga(6－ax)在(0，2)上单调递减，
可得函数t(x)＝6－ax>0在(0，2)上恒成立，且a>1，
故有a>1，6-2a≥0，解得1课后习题(十) 对数与对数函数
1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝lg232x-1的定义域是________．
12，1 [由lg23 (2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1．
∴12＜x≤1．
∴函数y＝lg232x-1的定义域是12，1．]
2．(北师大版必修第一册P112例4改编)比较下列两个值的大小：
(1)；
(2)lg213________lg123．
[答案] (1)< (2)＝
3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(lg43＋lg83)·lg32＝________．
56 [(lg43＋lg83)·lg32＝lg32lg2+lg33lg2·lg2lg3＝56．]
4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若lga 23 <1，则实数a的取值范围是________．
0，23∪(1，＋∞) [当a>1时，满足条件；
当0综上，a的取值范围是0，23∪(1，＋∞)．]
5．(2023·江苏省前黄高级中学校考二模)已知4x＝3y＝m，且1x＋2y＝2，则m＝( )
A．3 B．6
C．12 D．18
B [由4x＝3y＝m>0得，x＝lg4m，y＝lg3m，
由换底公式可得，1x＝lgm4，1y＝lgm3，
则1x＋2y＝lgm4＋2lgm3＝lgm(4×32)＝2，
所以m2＝4×32＝36，
因为m>0，所以m＝6，故选B．]
6．(2023·江西南昌统考二模)已知a＝lg40.4，b＝lg0.40.2，c＝0.40.2，则( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
C [因为a＝lg40.4b＝lg0.40.2>lg0.40.4＝1，
0所以b>c>a．
故选C．]
7．(2023·宝鸡二模)已知函数f (x)＝lg x＋lg (2－x)，则( )
A．f (x)在(0，1)单调递减，在(1，2)单调递增
B．f (x)在(0，2)单调递减
C．f (x)的图象关于直线x＝1对称
D．f (x)有最小值，但无最大值
C [由题易知，函数f (x)＝lg x＋lg (2－x)的定义域为(0，2)，
f (x)＝lg [x(2－x)]＝lg [－(x－1)2＋1]，
由复合函数的单调性可知，函数f (x)＝lg x＋lg (2－x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，故A、B错误；
f (1－x)＝lg (1－x)＋lg (x＋1)，f (1＋x)＝lg (x＋1)＋lg (1－x)，
所以f (1－x)＝f (1＋x)，所以y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；
由函数f (x)＝lg x＋lg (2－x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，可得函数有最大值f (1)＝lg 1＋lg 1＝0，故D错误．故选C．]
8．(2024·四川成都高三校考阶段练习)函数f (x)＝2＋lga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过点________．
(2，2) [由函数f (x)＝2＋lga(x－1)，令x－1＝1，即x＝2，
可得f (2)＝2＋lga(2－1)＝2＋lga1＝2，所以函数f (x)恒过定点(2，2)．
故答案为(2，2)．]
9．计算：12-2＋4lg22 ＋lg24＝________．
10 [12-2＋4lg22＋lg24＝22+22lg22+lg2(2)4＝4＋2＋4＝10．]
10．函数f (x)＝1lg2x-1的定义域为________．
(2，＋∞) [因为f (x)＝1lg2x-1，
所以lg2(x－1)>0，x－1>0，
解得x>2，
即函数f (x)＝1lg2x-1的定义域为(2，＋∞)．
故答案为(2，＋∞)．]
11．已知lg0.45(x＋2)>lg0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．
-2，-12 [由y＝lg0.45x在定义域上是减函数和真数大于零得，x+2<1-x，x+2>0，1-x>0，
解得－2故答案为-2，-12．]
12．(2024·江西省新干中学校考期末)已知函数f (x)＝lga(1－x)，g(x)＝lga(1＋x)．其中a>0且a≠1．
(1)求函数f (x)＋g(x)的定义域；
(2)判断函数f (x)＋g(x)的奇偶性，并证明；
(3)若f (x)>g(x)，求x的取值范围．
[解] (1)由题意得1-x>0，1+x>0，即x<1，x>-1，故－1所以函数f (x)＋g(x)的定义域为(－1，1)．
(2)设F(x)＝f (x)＋g(x)＝lga(1－x)＋lga(1＋x)，F(x)的定义域为(－1，1)．
因为F(－x)＝lga(1＋x)＋lga(1－x)＝F(x)，
所以F(x)为偶函数．
(3)当a>1时，lga(1－x)>lga(1＋x)，1－x>1＋x，x<0，所以－1当0lga(1＋x)，1－x<1＋x，x>0，所以0综上，当a>1时，－1项目
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数