高三数学一轮复习第二章函数第九课时函数模型及其应用学案

这是一份高三数学一轮复习第二章函数第九课时函数模型及其应用学案，共28页。

考点一 用函数图象刻画实际问题
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．
[典例1] (1)输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，如图所示．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13．则函数h＝f (x)的图象为( )
A B
C D
(2)(2024·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：
①0时到3时只进水不出水；
②3时到4时不进水只出水；
③4时到5时不进水也不出水．
则一定正确的论断是________(填序号)．
(1)C (2)① [(1)由题意，液体的流动速度不变，宽口瓶内液面下降比窄口瓶内液面下降慢，故选C．
(2)由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确．]
例(1)中，解题的关键是注意到组合体是由两个圆柱组成，可根据两圆柱大小特征和匀速滴液，来快速分析高度的变化快慢．例(2)中，解题的关键是抓住甲、乙、丙三图中斜率的意义．
跟进训练1 (多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
ABC [从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．]
考点二 已知函数模型解决实际问题
1．几种常见的函数模型
2．已知函数模型解决实际问题需注意的问题
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知条件利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
(4)解决实际问题时，要注意自变量的取值范围．
[典例2] (1)(2024·北京通州潞河中学校考阶段练习)被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C＝Wlg21+SN，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；SN为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当SN＝99，W＝2 000 Hz时，最大数据传输速率记为C1；当SN＝9 999，W＝3 000 Hz时，最大数据传输速率记为C2，则C2C1为( )
A．13B．52
C．154D．3
(2)(2024·云南昆明高三统考期中)工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的关系为P＝P0e-0.02t(P0为污染物的初始含量)，则污染物减少到初始含量的20%大约需要(参考数据：ln 5≈1.6)( )
A．60 h B．70 h
C．80 h D．90 h
(3)燃放烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝1+x8，0①若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
②若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求a的最小值．
(1)D (2)C [(1)根据题意，将SN＝99，W＝2 000 Hz代入可得C1＝2 000lg2(1＋99)＝
2 000lg2100＝2 000×2lg210＝4 000lg210；
将SN＝9 999，W＝3 000 Hz代入可得C2＝3 000lg2(1＋9 999)＝3 000lg210 000＝3 000×4lg210
＝12 000lg210；
所以可知C2C1＝12 000lg2104 000lg210＝3．
故选D．
(2)设污染物减少到最初含量的20%需要经过t小时，则15P0＝P0e-0.02t，
两边取自然对数得ln 15＝－0.02t，ln 5＝0.02t，1.6≈0.02t，解得t≈80，
所以大约需要经过80个小时的时间才能使污染物减少到最初含量的20%．
故选C．]
(3)[解] ①释放的去污剂浓度为f (x)＝41+x8，0当0当4解得x≤7，即4故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天．
②设从第一次喷洒起，经x(6所以a≥169，当且仅当18x+2＝2x+29，即x＝7等号成立．
所以a的最小值为169．
例(1)中，将已知条件代入模型中，求C2与C1比值即可，需注意的是要熟练掌握对数的运算；例(2)中，先将已知条件代入模型中，结合指、对数转化及参考数据求得时间即可；例(3)中，解题的关键是对题意的准确理解，依题意列出不等关系求解即可．
跟进训练2 (1)“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t(单位：时)变化的趋势由函数y＝-10t+290，0≤t≤12，56t-24，12A．5小时 B．6小时
C．7小时 D．8小时
(2)2023年10月，自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮子王高程数据为4 981.3 m，夏诺多吉高程数据为5 951.3 m．已知大气压强p(单位：Pa)随高度h(单位：m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝10-4，记夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为p1，狮子王山峰峰顶的大气压强为p2，则p2p1＝( )
A．e0.097 B．e1 00097
C．e-0.097 D．e-1 00097
(1)C (2)A [(1)由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，
即当AQI小于等于200时，适宜开展户外活动，
即y≤200，
因为y＝-10t+290，0≤t≤12，56t-24，12所以当0≤t≤12时，
只需－10t＋290≤200，
解得9≤t≤12，
当12只需56t－24≤200，
解得12综上，适宜开展户外活动的时间段为9≤t≤16，
共计7个小时．
故选C．
(2)由题意可得lnp0-lnp1=5 951.3k，lnp0-lnp2=4 981.3k，两式相减得ln p2p1＝970k，
即p2＝e970kp1＝e0.097p1．
∴p2p1＝e0.097，故选A．]
考点三 构建函数模型解决实际问题
选择函数模型，求解实际应用问题，其方法与步骤可以归纳为四步八字：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结果；
(4)还原：将数学结果还原为实际结果，并进行必要的检验．
[典例3] (2024·陕西安康高三校联考阶段练习)某公园池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系如下表所示：
现有以下三种函数模型可供选择：①y＝kt＋b，②y＝p·at＋q，③y＝m·lgat＋n，其中k，b，p，q，m，n，a均为常数，a>0且a≠1．
(1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y关于t的函数解析式；
(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15 m2，31 m2，211 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，写出一种t1，t2，t3满足的等量关系式，并说明理由．
[解] (1)应选择函数模型②y＝p·at＋q．
依题意，得p×a1+q=3，p×a2+q=5，p×a3+q=9，
解得p=1，a=2，q=1，
所以y关于t的函数解析式为y＝2t＋1．
(2)t1＋t2＝t3＋1．
理由：依题意，得2t1＋1＝15，2t2＋1＝31，2t3＋1＝211，
所以2t1＝14，2t2＝30，2t3＝210，
所以2t1·2t2＝420，
所以2t1·2t2＝2t1+t2＝420＝2×2t3＝2t3＋1，
所以t1＋t2＝t3＋1．
本例中，解题的关键是分析所给数据，浮萍的面积随时间增长越来越快，进而选取指数型函数模型，然后求解析式，第二问中根据指数幂运算公式计算．
跟进训练3 (2024·重庆模拟)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系：当0≤x<7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝13x-m．测得的部分数据如表所示．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．
[解] (1)当0≤x＜7时，y是x的二次函数，设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得，c=-4，8=4a+2b+c，8=36a+6b+c，解得a=-1，b=8，c=-4，
即y＝－x2＋8x－4(0≤x＜7)．
当x≥7时，y＝13x-m，由x＝10，y＝19可得m＝8，
即y＝13x-8(x≥7)．
综上可得，y＝-x2+8x-4，0≤x<7，13x-8，x≥7．
(2)当0≤x＜7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，
即当x＝4时，y取得最大值12；
当x≥7时，y＝13x-8单调递减，即当x＝7时，y取得最大值3．
综上所述，该新合金材料的含量x为4时，产品的性能达到最佳．
课后习题(十三) 函数模型及其应用
1．(人教A版必修第一册P141习题4.4T10改编)声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为：L＝10×lg I10-12，若女高音的声强级是75 dB，普通女性的声强级为45 dB，则女高音声强是普通女性声强的( )
A．10倍 B．100倍
C．1 000倍 D．10 000倍
C [设女高音声强为I1，普通女性声强为I2，
则10lg I110-12＝75，所以I110-12＝107.5，①
10lg I210-12＝45，所以I210-12＝104.5，②
则①÷②得：I1I2＝1 000，故女高音声强是普通女性声强的1 000倍．
故选C．]
2．(多选)(湘教版必修第一册P148习题4.5T4改编)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．
给出下列四种说法，其中正确的说法是( )
A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
BC [由图(1)可设y关于x的函数为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当x＝0时，y＝b，则－b为固定成本．由图(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图(3)知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．故选BC．]
3．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积(单位：m2)与时间(单位：月)的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有( )
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从9 m2蔓延到36 m2历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到9 m2，20 m2，40 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t3<2t2
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
BC [由题图可知野生水葫芦第一个月增长面积为2 m2，第二个月增长面积为6 m2，A错误；
由题图可知野生水葫芦从9 m2蔓延到36 m2历时超过1个月，B正确；
野生水葫芦的面积与时间的函数关系为f (t)＝3t，f (t1)＝3t1＝9⇒t1＝2，f (t2)＝3t2＝20⇒t2＝lg320，f (t3)＝3t3＝40⇒t3＝lg340，
t1＋t3＝lg3360，2t2＝2lg320＝lg3400，所以t1＋t3<2t2，C正确；
野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为27-33-1＝12 m2/月，
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为81-94-2＝36 m2/月，D错误．
故选BC．]
4．(多选)(人教A版必修第一册P126例5改编)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M，则下列说法正确的是( )
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1 000倍
D．记地震里氏震级为n(n＝1，2，…，9，10)，地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
ACD [对于A：当E＝1015.3时，由题意得lg 1015.3＝4.8＋1.5M，
解得M＝7，即地震里氏震级约为七级，故A正确；
对于B：八级地震即M＝8时，lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，解得E1＝1016.8，
所以E1E＝1016.81015.3＝101.5>10≠6.3，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的101.5倍，故B错误；
对于C：六级地震即M＝6时，lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，解得E2＝1013.8，
所以E1E2＝1016.81013.8＝103＝1 000，
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1 000倍，故C正确；
对于D：由题意得lg an＝4.8＋1.5n(n＝1，2，…，9，10)，
所以an＝104.8+1.5n，
所以an＋1＝104.8+1.5(n+1)＝106.3+1.5n，
所以an+1an＝106.3+1.5n104.8+1.5n＝101.5，
即数列{an}是等比数列，故D正确．
故选ACD．]
5．(2023·四川攀枝花三模)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km
B．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗约10 L汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D [对于A：当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1 L汽油行驶的里程都超过了5 km，所以A错误；
对于B：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h消耗约8 L汽油，所以B错误；
对于C：以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，所以C错误；
对于D：机动车最高限速80 km/h，相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确，
故选D．]
6．药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度C(t)(单位：μg/ml)随时间t(单位：h)的变化规律可近似表示为C(t)＝C0·e－kt，其中C0表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数k＝0.5(单位：h-1)，某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为4.5 μg/ml，当患者清醒时测得其血药浓度为0.9 μg/ml，则该患者的麻醉时间约为(参考数据：ln 5≈1.609)( )
A．3.5 h B．3.2 h
C．2.2 h D．0.8 h
B [由题意得，0.9＝4.5e-0.5t，即e-0.5t＝15，
则0.5t＝ln 5，解得t＝2ln 5≈3.2．
故选B．]
7．(2023·河南新乡三模)中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg21+SN．它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W增大到原来的2倍，信号功率S增大到原来的10倍，噪声功率N减小到原来的15，则信息传递速度C大约增加了(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．87% B．123%
C．156% D．213%
D [提升前的信息传递速度C＝Wlg2SN
＝Wlg21 000＝3Wlg210＝3Wlg2≈10W，
提升后的信息传递速度C′＝2Wlg210S15N
＝2Wlg250SN＝2Wlg250 000＝2W·4+lg5lg2＝2W·5-lg2lg2≈94W3，
所以信息传递速度C大约增加了C'-CC＝943W-10W10W≈2.13＝213%．
故选D．]
8．(2024·天津市第七中学模拟预测)一种药在病人血液中的量不少于1 500 mg才有效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1 h)( )
A．2.3小时 B．3.5小时
C．5.6小时 D．8.8小时
A [设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，
由题意可得，2 500×(1－20%)x<1 500，
整理得，45x<35，
两边取对数，得x>lg45 35，
因为lg4535＝lg35lg45＝lg3-lg5lg4-lg5
＝lg3-1-lg22lg2-1-lg2
＝0.477 1-1-0.301 03×0.301 0-1≈2.3，
所以x>2.3．
即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药．
故选A．]
9．(2024·河北泊头市第一中学校联考期中)推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4 000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12 000元的年份大约是(参考数据：ln 3≈1.10，ln 10≈2.30，ln 11≈2.40)( )
A．2033年 B．2034年
C．2035年 D．2036年
C [设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，
由题得y＝4 000·(1＋10%)n>12 000，即1.1n>3，
则n ln 1.1>ln 3，n>ln3ln1.1＝ln3ln11-ln10≈11，
又n∈N*，则n＝12．所以所求年份大约是2035年．
故选C．]
10．(2024·湖南长沙统考期末)某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·ekt(t≥0)，其中k为常数，k>0，P0为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的( )
A．1% B．2%
C．3% D．5%
C [由题意得，当x＝4时，P＝P0·e4k＝10%P0，
所以ek ＝0.114，
则当x＝6时，P＝P0·e6k＝P0·(ek)6＝0.132P0＝0.110P0≈0.03P0，
即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的3%．
故选C．]
11．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2 500万元，每生产x(单位：百辆)新能源汽车需另投入成本C(x)(单位：万元)，且C(x)＝10x2+100x，0(1)求2024年的利润P(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
[解] (1)∵C(x)＝10x2+100x，0∴当0当x≥40时，P(x)＝500x－501x－10 000x＋4 500－2 500＝2 000－x+10 000x．
故P(x)＝-10x2+400x-2 500，0(2)由(1)得P(x)＝-10x2+400x-2 500，0当0∴P(x)max＝P(20)＝1 500；
当x≥40时，P(x)＝2 000－x+10 000x≤2 000－2x·10 000x＝2 000－200＝1 800，当且仅当x＝10 000x，即x＝100时等号成立，故P(x)max＝P(100)＝1 800．
∵1 800>1 500，故当2024年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1 800万元．
12．(2024·上海静安校考)有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度y (单位：km/min) 和候鸟每分钟耗氧量的单位数x，满足关系式y＝12lg3x100－lg x0，其中常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．
(1)若x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？(答案四舍五入到整数)
(2)若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min，雌鸟的飞行速度为1 km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？
参考数据：lg 2≈0.30，31.40≈4.66．
[解] (1)由题意得函数y＝12lg3x100－lg 5，令y＝0得，12lg3x100－lg 5＝0，
即lg3x100＝2lg 5＝2(1－lg 2)≈1.40，
所以x100≈31.40≈4.66，所以x≈466，
所以候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x2，
由题意可得1.5=12lg3x1100-lgx0，1=12lg3x2100-lgx0，
两式相减可得0.5＝12lg3x1x2，
所以lg3x1x2＝1，解得x1x2＝3，
所以此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．
阶段提能(四) 幂、指、对(型)函数及其图象、函数零点问题
1．(湘教版必修第一册P152复习题四T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48，从数量级的角度考虑，下列各数中与MN最接近的是( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
D [由题意可得：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3＝10lg 3≈100.48，
∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，
∴MN≈101731080＝1093，故选D．]
2．(人教A版必修第一册 P160T5(3))已知函数f (x)＝2x＋x，g(x)＝lg2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．b>a>c
B [由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，∴c＝0，
由f (x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得lg2x＝－x．
在同一平面直角坐标系中画出y＝2x、y＝lg2x、y＝－x的图象，
由图象知a<0，b>0，∴a故选B．]
3．(湘教版必修第一册P105习题4.1T13)已知幂函数f (x)＝x2m2－m－6 (m∈Z)在区间(0，＋∞)上单调递减．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)讨论函数f (x)的奇偶性和单调性；
(3)求函数f (x)的值域．
[解] (1)依题意2m2－m－6<0，即(2m＋3)(m－2)<0，解得－32因为m∈Z，所以m＝－1或m＝0或m＝1，
所以f (x)＝x-3或f (x)＝x-6或f (x)＝x-5．
(2)若f (x)＝x-3，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x)＝x-3为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；
若f (x)＝x-6，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则f (x)＝x-6为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；
若f (x)＝x-5，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则f (x)＝x-5为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减．
(3)若f (x)＝x-3，则f (x)为奇函数，当x>0时f (x)∈(0，＋∞)，所以x<0时f (x)∈(－∞，0)，
所以函数f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
若f (x)＝x-6，则f (x)为偶函数，当x>0时f (x)∈(0，＋∞)，所以x<0时f (x)∈(0，＋∞)，所以函数f (x)的值域为(0，＋∞)；
若f (x)＝x-5，则f (x)为奇函数，当x>0时f (x)∈(0，＋∞)，所以x<0时f (x)∈(－∞，0)，所以函数f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
4．(湘教版必修第一册P125习题4.3T7)溶液的酸碱度(pH)是由公式pH＝－lg[H＋]计量的，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位为ml/L．pH的范围为0～14．
(1)[H＋]为0.1 ml/L，0.01 ml/L的溶液的pH分别是多少？
(2)随着氢离子浓度的降低，pH会发生怎样的变化？
(3)试确定橙汁(pH＝3.5)的氢离子浓度．
(4)试确定人体血液在pH＝7.4时的氢离子浓度．
[解] (1)由溶液的酸碱度pH的公式为pH＝－lg[H＋]，
当[H＋]为0.1 ml/L时，可得pH＝－lg 0.1＝1；
当[H＋]为0.01 ml/L时，可得pH＝－lg 0.01＝2，
即[H＋]为0.1 ml/L和0.01 ml/L的溶液的pH分别是1和2．
(2)由溶液的酸碱度pH的公式为pH＝－lg[H＋]，
结合对数函数的性质，可得随着氢离子浓度的降低，pH会逐渐增大．
(3)由溶液的酸碱度pH的公式为pH＝－lg[H＋]，
当pH＝3.5时，可得lg[H＋]＝－3.5，
解得[H＋]＝10-3.5ml/L．
(4)由溶液的酸碱度pH的公式为pH＝－lg[H＋]，
当pH＝7.4时，可得lg[H＋]＝－7.4，
解得[H＋]＝10-7.4ml/L．
5．(2019·全国Ⅲ卷)设f (x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f lg314＞f 2-32＞f 2-23
B．f lg314＞f 2-23＞f 2-32
C．f 2-32＞f 2-23＞f lg314
D．f 2-23＞f 2-32＞f lg314
C [根据函数f (x)为偶函数可知，f lg314＝f (－lg34)＝f (lg34)，因为0＜2-32＜2-23＜20＜lg34，且函数f (x)在(0，＋∞)单调递减，
所以f (2-32)＞f (2-23)＞f lg314．]
6．(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x)＝x2-2x+a(ex-1＋e－x+1)有唯一零点，则a＝( )
A．－12B．13
C．12 D．1
C [法一：f (x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)＝(x－1)2＋a[ex-1＋e－(x-1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f (t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1．
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f (x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝12．
故选C．
法二：f (x)＝0⇔a(ex-1＋e－x+1)＝－x2＋2x．
ex-1＋e－x+1≥2ex-1·e-x+1＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a＞0，则a(ex-1＋e－x+1)≥2a，
要使f (x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝12．
若a≤0，则f (x)的零点不唯一．
故选C．]
7．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
C [由题意知，4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝10-110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8．]
8．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是( )
A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
D [A选项：lg P＝lg 1 026>3，T＝220，由图易知处于固态；B选项：lg P＝lg 128>2，T＝270，由图易知处于液态；C选项：lg P＝lg 9 987≈3.999，T＝300，由图易知处于固态；D选项：lg P＝lg 729>2，T＝360，由图易知处于超临界状态．故选D．]
9．(2023·全国乙卷)已知f (x)＝xexeax-1是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
D [法一：f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)，即xexeax-1＝-xe-xe-ax-1，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D．
法二：f (x)＝xexeax-1＝xea-1x-e-x，f (x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D．]
10．(2021·天津卷)函数y＝lnxx2+2的图象大致为( )
A B
C D
B [设f (x)＝y＝lnxx2+2，则函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f (－x)＝ln-x-x2+2＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，排除AC；
当x∈(0，1)时，ln |x|<0，x2＋2>0 ，
所以f (x)<0，排除D．
故选B．]
11．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg pp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
ACD [因为Lp＝20×lg pp0随着p的增大而增大，且Lp1∈60，90，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg pp0，得p＝p010Lp20，因为Lp3＝40，所以p3＝p0104020＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010Lp220＞10p010Lp320，所以10Lp220-Lp320＞10，所以Lp2－Lp3＞20，不可能成立，故B不正确；因为100p2p1＝100p010Lp220p010Lp120＝10Lp220-Lp120＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，故选ACD．]
12．(2022·全国乙卷)若f x＝ln a+11-x＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
－12 ln 2 [因为函数f x＝ln a+11-x＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a＋11-x≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，
所以x≠a+1a＝－1，解得，a＝－12，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f (0)＝0可得，b＝ln 2．即f (x)＝ln -12+11-x＋ln 2＝ln 1+x1-x，在定义域内满足f -x＝－f x，符合题意．]
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f (x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型
f (x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)
与指数函数相关的模型
f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)
与对数函数相关的模型
f (x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)
与幂函数相关的模型
f (x)＝axn＋b(a，b为常数，n≠0，a≠0)
时间t/月
1
2
3
4
浮萍的面积y/m2
3
5
9
17
x
0
2
6
10
…
y
－4
8
8
19
…
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40