高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第一课时导数的概念、几何意义及运算学案

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【教师备选资源】
第1课时 导数的概念、几何意义及运算
[考试要求] 1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．2．通过函数图象，理解导数的几何意义．3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax＋b))的导数．
考点一 导数的概念
1．导数的概念
函数f (x)在x＝x0处瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx，我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或y'|x＝x0．
2．导数概念的诠释
(1)增量Δx可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0．Δx→0的意义：Δx与0之间距离要多近有多近，即|Δx→0|可以小于给定的任意小的正数；
(2)当Δx→0时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与ΔyΔx＝fx0+Δx-fx0Δx无限接近；
(3)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即f ′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx．
[典例1] (2024·长春吉大附中模拟预测)利用导数的定义计算limΔx→0lne+2Δx-lneΔx值为( )
A．1 B．2e
C．0 D．2
B [依题意，令函数f (x)＝ln x，求导得f ′(x)＝1x，所以limΔx→0lne+2Δx-lneΔx
＝2limΔx→0fe+2Δx-fe2Δx＝2f ′(e)＝2e．故选B．]
在本例中，解题的关键是熟知导数定义的内涵．
跟进训练1 设函数f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝2x＋1，则limΔx→0f1+Δx-f12Δx＝( )
A．4 B．2
C．1 D．12
C [∵函数f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴f ′(1)＝2，
则limΔx→0f1+Δx-f12Δx
＝12limΔx→0f1+Δx-f1Δx＝12f ′(1)
＝1．
故选C．]
考点二 导数的运算法则
1．基本初等函数的导数
2．导数的四则运算法则
若f ′(x), g′(x)存在，则
(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
(3)fxgx′＝f'xgx-fxg'xgx2(g(x)≠0)；
(4)[cf (x)]′＝cf ′(x)(c为常数)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[典例2] 求下列函数的导函数：
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝2x＋sin x2cs x2；
(3)y＝csxx；
(4)y＝ln (2x－3)＋xe－x．
[解] (1)因为y＝x4－3x2－5x＋6，所以y′＝4x3－6x－5．
(2)因为y＝2x＋sin x2cs x2＝2x＋12sin x，
所以y′＝2x ln 2＋12cs x．
(3)因为y＝csxx，所以y′＝-sinx·x-csx·1x2＝－x·sinx+csxx2．
(4)因为y＝ln (2x－3)＋xe－x，所以y′＝[ln (2x－3)]′＋(xe－x)′＝22x-3＋e－x－xe－x．
本例中，解题的关键是掌握求导公式及其运算法则．
跟进训练2 已知f (x)＝cs 2x＋e2x，则f ′(x)＝( )
A．－2sin 2x＋2e2x B．sin 2x＋e2x
C．2sin 2x＋2e2x D．－sin 2x＋e2x
A [f ′(x)＝－2sin 2x＋2e2x，故选A．]
考点三 导数的几何意义
f ′(x0)是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线的斜率，从而在点(x0, f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)·(x－x0)．
[典例3] (1)已知函数f (x)＝ln (x＋1)，则f (1)，f22，f33的大小关系为( )
A．f (1)B．f33C．f33D．f22(2)(2024·深圳质量检测)曲线y＝(x3－3x)·ln x在点(1，0)处的切线方程为( )
A．2x＋y－2＝0 B．x＋2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．4x＋y－4＝0
(3)在平面直角坐标系Oxy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
(4)已知函数f (x)＝aex＋b(a，b∈R)的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________．
(1)C (2)A (3)(e，1) (4)3 [(1)作出函数f (x)＝ln (x＋1)的图象，如图所示．
由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着x的增大而减小．
由1<2<3，得f1-01-0>f2-02-0>f3-03-0，
即f11>f22>f33，
故选C．
(2)因为y′＝(3x2－3)·ln x＋1x·(x3－3x)，故所求切线斜率k＝y′|x＝1＝－2，故所求切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0．
故选A．
(3)设点A(x0，ln x0)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)．将点(－e，－1)代入得－1－ln x0＝1x0(－e－x0)，化简得ln x0＝ex0，解得x0＝e．则点A的坐标是(e，1)．
(4)由f (x)＝aex＋b，得f ′(x)＝aex，
因为函数f (x)在点(0，f (0))处的切线方程是y＝2x＋1，
所以f0=1=a+b，f'0=2=a，解得a＝2，b＝－1．
a－b＝3．
故答案为：3．]
本例(1)解决的关键是作函数f (x)＝ln (x＋1)的图象；本例(2)解决的关键是求出y＝(x3－3x)·ln x在x＝1处的导数；本例(3)解决的关键是先设切点，由切点坐标求得切线方程，然后将点(－e，－1)代入切线方程后化简求值；本例(4)解决的关键是利用切点既在曲线f (x)＝aex＋b上，又在切线y＝2x＋1上．
跟进训练3 (1)(2024·大同模拟)已知函数f (x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f (x)在点(e，f (e))处的切线方程为( )
A．4ex－y＋e2＝0
B．4ex－y－e2＝0
C．4ex＋y＋e2＝0
D．4ex＋y－e2＝0
(2)(2024·安徽合肥阶段测试)点P，Q分别是函数f (x)＝3x－4，g(x)＝x2－2ln x图象上的动点，则PQ2的最小值为( )
A．35(2＋ln 2)2 B．35(2－ln 2)2
C．25(1＋ln 2)2 D．25(1－ln 2)2
(3)(2024·宣城模拟)若曲线y＝a ln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是π3，π2，则a＝______．
(4)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|经过坐标原点的两条切线的方程分别为________，________．
(5)(2023·宁夏育才中学校考三模)已知直线y＝kx与曲线y＝ex－1相切，则k＝________．
(1)B (2)D (3)38 (4)y＝xe y＝－xe (5)1 [(1)因为f (x)＝2e2ln x＋x2，
所以f ′(x)＝2e2x＋2x，
所以f (e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f ′(e)＝4e，
所以曲线y＝f (x)在点(e，f (e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，
即4ex－y－e2＝0．
(2)当曲线g(x)＝x2－2ln x在点Q处的切线与f (x)＝3x－4平行时，|PQ|2最小．
g′(x)＝2x－2x，令g′(x)＝2x－2x＝3，得x＝2或x＝－12(舍去)，所以切点为Q(2，4－2ln 2)，
所以|PQ|的最小值为切点Q(2，4－2ln 2)到直线f (x)＝3x－4的距离d＝6-4+2ln2-410＝2ln2-210，
所以|PQ|2的最小值为d2＝25(1－ln 2)2．
故选D．
(3)因为y＝a ln x＋x2(a＞0)，所以y′＝ax＋2x≥22a，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是π3，π2，所以斜率k≥3，所以3＝22a，所以a＝38．
故答案为：38．
(4)当x>0时，曲线在点(x1，ln x1)(x1>0)处的切线方程为y－ln x1＝1x1(x－x1)．因为该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝xe．
当x<0时，曲线在点(x2，ln (－x2))(x2<0)处的切线方程为y－ln (－x2)＝1x2(x－x2)．因为该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－xe．
(5)设切点为(x0，kx0)，f (x)＝ex－1，则f ′(x)＝ex．
根据导数的几何意义，可知k＝ex0．
又f (x0)＝ex0－1＝kx0＝x0ex0，
即x0-1ex0＋1＝0．
令g(x)＝(x－1)ex＋1，则g′(x)＝xex，
所以当x<0时，g′(x)<0；当x>0时，g′(x)>0，
所以g(x)＝(x－1)ex＋1在x＝0处取得极小值，也是最小值．
又g(0)＝0，所以g(x)＝0有唯一解x＝0，所以x0＝0，
即切点为(0，0)，所以k＝e0＝1．
故答案为：1．]
考点四 公切线问题
公切线问题的求解策略
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解．
(2)设公切线l在曲线y＝f (x)上的切点为P1(x1，f (x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝fx1-gx2x1-x2，再解决相关问题．
[典例4] (1)已知函数f (x)＝x ln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f (x)的图象相切于点A(1，0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于( )
A．0 B．－1
C．3 D．－1或3
(2)(2024·民乐县第一中学校考模拟预测)已知曲线f (x)＝ex在点P(0，f (0))处的切线也是曲线g(x)＝ln (ax)的一条切线，则a的值为( )
A．e3B．e2
C．e2 D．e33
(1)D (2)C [(1)f ′(x)＝1＋ln x，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，易知f (1)＝0，
所以直线l的方程为y＝x－1．
因为直线l与g(x)的图象也相切，
所以方程组y=x-1，y=x2+ax有唯一解，
即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3．
(2)∵f (x)＝ex，∴f ′(x)＝ex，f (0)＝1，
∴f ′(0)＝1，
∴f (x)在点P(0，f (0))处的切线方程为y＝x＋1．
设y＝x＋1与g(x)相切于点(x0，ln (ax0))，
则g′(x0)＝1x0＝1，解得x0＝1，
又lnax0-1x0-0＝1，∴ln a－1＝1，解得a＝e2．
故选C．]
本例(1)解决的关键是切点A在f (x)上，求出切线l方程，再利用l与g(x)相切，只有一个公共点解题；本例(2)解决的关键是根据导数的几何意义求得f (x)在P点处的切线方程，设其与g(x)相切于点(x0，ln (ax0))，由切线斜率可求得x0，利用两点连线斜率公式构造方程求得a．
【教师备用】
(2023·江西吉安泰和县第二中学校考一模)已知曲线y＝ex－e在点(1，0)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋e)x＋1－e相切，则实数a的值为( )
A．－4 B．－4或0
C．4D．4或0
C [由y＝ex－e，求导得y′＝ex，
所以曲线y＝ex－e在点(1，0)处的切线的斜率为e，
所以在点(1，0)处的切线的方程为y＝ex－e，也为曲线y＝ax2＋(a＋e)x＋1－e的切线．
由y=ex-e，y=ax2+a+ex+1-e，得ax2＋ax＋1＝0，此方程有唯一解，
所以当a＝0时，方程无解，舍去；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4或a＝0(舍去)，所以a＝4．故选C．]
跟进训练4 (1) 已知曲线C：y＝xex过点A(a，0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
(2)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5
C．1 D．0
(1)A (2)C [(1)对函数y＝xex求导得y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex．设切点坐标为(x0， x0ex0)，则曲线y＝xex过点A(a，0)的切线的斜率k＝1+x0ex0＝x0ex0x0-a，化简得x02－ax0－a＝0．依题意知，上述关于x0的二次方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a)＞0，解得a＜－4或a＞0．故选A．
(2)设两曲线y＝f (x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f (x)＝－2x2＋m，
可得f ′(x)＝－4x，
则切线的斜率为k＝f ′(a)＝－4a，
由g(x)＝－3ln x－x，
可得g′(x)＝－3x－1，
则切线的斜率为k＝g′(a)＝－3a－1，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－3a－1，
解得a＝1或a＝－34(舍去)，
又由g(1)＝－1，
即公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f (x)＝－2x2＋m，
可得m＝1．]
课后习题(十四) 导数的概念、几何意义及运算
1．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T3改编)已知函数f (x)＝x(19＋ln x)，若f ′(x0)＝20，则x0＝( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
B [由f (x)＝x(19＋ln x)，得f ′(x)＝20＋ln x，
又f ′(x0)＝20，所以20＋ln x0＝20，
则ln x0＝0，解得x0＝1．]
2．(人教B版选择性必修第三册P112复习题A组T12改编)曲线y＝axx-1在点(2，2a)处的切线方程为3x－y＋b＝0，则( )
A．a＝3，b＝－12 B．a＝－3，b＝0
C．a＝3，b＝0 D．a＝－3，b＝－12
D [由y＝axx-1，得y′＝ax-1-axx-12＝－ax-12，
所以y′|x＝2＝－a2-12＝－a，因为直线3x－y＋b＝0的斜率为3，所以－a＝3，故a＝－3，故切点为(2，－6)．
将(2，－6)代入切线方程3x－y＋b＝0，得b＝－12．故选D．]
3．(人教A版选择性必修第二册P70习题5.1T5改编)如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，则容器(1)(2)(3)(4)对应的水面高度h与时间t的函数图象分别为________．
A B
C D
BADC [由于单位时间内注入水的体积相同，
容器(1)水面高度h随时间t的变化率恒定，函数图象为直线，即为B；
容器(2)水面高度h随时间t的变化率逐渐变大，函数图象先缓后陡，即为A；
容器(3)水面高度h随时间t的变化率逐渐变小，函数图象先陡后缓，即为D；
容器(4)水面高度h随时间t的变化率先变小后变大，函数图象先陡后缓，再变陡，即为C．
故答案为BADC．]
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)已知函数f (x)＝－2x＋ln x，则曲线y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程为________．
x＋y＋1＝0 [由已知可得，f ′(x)＝－2＋1x(x>0)．
根据导数的几何意义可知，曲线y＝f (x)在(1，f (1))处的切线的斜率为k＝f ′(1)＝－1．
又f (1)＝－2，则切点为(1，－2)，
所以曲线y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程为y－(－2)＝－(x－1)，整理可得x＋y＋1＝0．]
5．(2024·江西九江阶段测试)某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图．记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为v1，v2，v3，v4，则平均速度最小的是( )
A．v1B．v2
C．v3D．v4
C [由题意知，设路程y与时间t的函数关系为y＝f (t)，
则v1＝ft2-ft1t2-t1，即为经过点(t1，f (t1))，(t2，f (t2))的直线的斜率k1，
同理v2为经过点(t2，f (t2))，(t3，f (t3))的直线的斜率k2，
v3为经过点(t3，f (t3))，(t4，f (t4))的直线的斜率k3，
v4为经过点(t1，f (t1))，(t4，f (t4))的直线的斜率k4，如图，
由图可知，k3最小，即v3最小．
故选C．]
6．(2024·山东青岛阶段测试)设曲线y＝x3－2x2＋1在x＝k处的切线为l，若l的倾斜角小于135°，则实数k的取值范围是( )
A．-∞，13∪(1，＋∞)
B．(－∞，0]∪13，1∪43，+∞
C．-∞，13∪43，+∞
D．(－∞，0)∪13，1∪43，+∞
B [令f (x)＝x3－2x2＋1，求导得f ′(x)＝3x2－4x，则切线l的斜率为f ′(k)＝3k2－4k，
由l的倾斜角小于135°，得切线l的斜率f ′(k)<－1或f ′(k)≥0，
即3k2－4k<－1或3k2－4k≥0，
解3k2－4k<－1得13所以实数k的取值范围是(－∞，0]∪13，1∪43，+∞．故选B．]
7．(2024·衡水二中阶段测试)曲线y＝x－x3在横坐标为1的点处的切线为l，则点M(1，2)到直线l的距离为( )
A．255B．55
C．25D．45
A [y′＝1－3x2，则切线l的斜率k＝y′|x＝1＝－2，又易知切点为(1，0)，所以切线l的方程为2x＋y－2＝0，则点M(1，2)到直线l的距离为25＝255．]
8．(2024·北京大兴阶段测试)已知过点(－1，0)的直线与曲线y＝ex相切于点A，则切点A的坐标为( )
A．(0，1) B．(1，e)
C．(2，e2) D．(3，e3)
A [设切点坐标为(t，et)，由y＝ex，得y′＝ex，则过切点的切线方程为y－et＝et(x－t)，
把点(－1，0)代入切线方程得0－et＝et(－1－t)，
即tet＝0，
又et>0，所以t＝0，则et＝1，则切点坐标为(0，1)．故选A．]
9．(2023·山东聊城统考三模)若直线y＝x＋b与曲线y＝ex－ax相切，则b的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．e
B [设切点坐标为(x0，y0)，
因为y＝ex－ax，
所以y′＝ex－a，故切线的斜率为ex0－a＝1，
ex0＝a＋1，则x0＝ln (a＋1)．
又由于切点(x0，y0)在切线y＝x＋b与曲线y＝ex－ax上，
所以x0＋b＝ex0－ax0，
所以b＝(a＋1)－x0(a＋1)＝(a＋1)[1－ln (a＋1)]．
令a＋1＝t，则b＝t(1－ln t)，设f (t)＝t(1－ln t)，
f ′(t)＝(1－ln t)＋t·-1t＝－ln t，令f ′(t)＝0得t＝1，
所以当t∈(0，1)时，f ′(t)>0，函数f (t)单调递增；
当t∈(1，＋∞)时，f ′(t)<0，函数f (t)单调递减．
所以f (t)max＝f (1)＝1．
所以b的最大值为1．
故选B．]
10．(多选)已知直线y＝kx＋b是曲线y＝ln (2＋x)与y＝2＋ln x的公切线，则下列说法正确的是( )
A．k＝1 B．k＋b＝2
C．k＝2 D．k＋b＝4
AB [设曲线y＝ln (2＋x)上切点A(x1，ln (2＋x1))，y′＝12+x，
切线斜率k＝12+x1，切线方程为
y－ln (2＋x1)＝12+x1(x－x1)，
即y＝12+x1x－x12+x1＋ln (2＋x1)，
同理，设曲线y＝2＋ln x上切点B(x2，2＋ln x2)，y′＝1x，
切线斜率k＝1x2，切线方程为y－(2＋ln x2)＝1x2(x－x2)，
即y＝1x2x＋1＋ln x2，
所以12+x1=1x2，-x12+x1+ln2+x1=1+lnx2，
解得x1=-1，x2=1，
所以k＝1，b＝1，k＋b＝2．故选AB．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：导数的几何意义、函数的单调性、不等式与导数．
(1)导数的几何意义属于送分题；
(2)函数的单调性、不等式与导数常以压轴题形式出现．
2．轮考点：函数的极值、最值、零点与导数．
常综合考查函数的极值、最值、零点与导数的关系，着重分类讨论思想的考查．
基本初等函数
导函数
f (x)＝c(c为常数)
f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f ′(x)＝αxα-1
f (x)＝ax(a>0，且a≠1)
f ′(x)＝axln a
f (x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f ′(x)＝1xlna
f (x)＝ex
f ′(x)＝ex
f (x)＝ln x
f ′(x)＝1x
f (x)＝sin x
f ′(x)＝cs x
f (x)＝cs x
f ′(x)＝－sin x