高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第六课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质学案

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函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
(1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；
(2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是φω(ω＞0)个单位长度．
[典例1] (多选)(2023·重庆巴蜀中学模拟)要得到函数y＝sin x的图象，只需将y＝sin 2x-π4图象上的所有点( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π4个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π8个单位长度
C．向左平移π8个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍
D．向右平移π4个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12
AC [将函数y＝sin 2x-π4的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin x-π4的图象，再将y＝sin x-π4图象上所有点向左平移π4个单位长度，得到y＝sin x的图象，所以A正确，B错误．
将函数y＝sin 2x-π4图象上所有点向左平移π8个单位长度，得到y＝sin 2x+π8-π4＝sin 2x的图象，再将y＝sin 2x图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin x的图象，所以C正确，D错误．故选AC．]
注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．
跟进训练1 (1)(2024·福建武夷山模拟)把y＝sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移π6个单位长度，得到y＝f (x)的图象， 则( )
A．f (x)＝sin 12x-π6
B．f (x)＝sin 12x-π12
C．f (x)＝sin 2x-π3
D．f (x)＝sin 2x-π6
(2)(2024·开封模拟)设ω>0，将函数y＝sin ωx+π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
(1)C (2)D [(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，可得函数y＝sin 2x的图象，再把所得图象向右平移π6个单位长度，可得函数y＝sin 2x-π6＝sin 2x-π3的图象，所以f (x)＝sin 2x-π3．故选C．
(2)将函数y＝sin ωx+π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，
故π6为函数y＝sin ωx+π6的周期的整数倍，即2kπω＝π6(k∈N*)，则ω＝12k(k∈N*)，故当k＝1时，ω取得最小值12．]
【教师备用】
要得到函数y＝cs 2x-π6的图象，可以把函数y＝sin 2x+π6的图象( )
A．向右平移π6个单位长度
B．向右平移π12个单位长度
C．向左平移π6个单位长度
D．向左平移π12个单位长度
D [函数y＝cs 2x-π6
＝sin 2x-π6+π2
＝sin 2x+π6+π6
＝sin 2x+π12+π6，
所以只需将y＝sin 2x+π6的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y＝cs 2x-π6的图象．]
考点二 确定y＝A sin (ωx＋φ )的解析式
1．简谐运动的有关概念
2．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
[典例2] (1)函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)ω>0，-π20，φ