高三数学一轮复习第八章解析几何第四课时直线与圆、圆与圆的位置关系学案

这是一份高三数学一轮复习第八章解析几何第四课时直线与圆、圆与圆的位置关系学案，共19页。
设圆O的半径为r(r>0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
[常用结论]
已知圆x2＋y2＝r2与点P(x0，y0)．
(1)当点P在圆上时，过点P的切线方程为x0x＋y0y＝r2，如图1.
(2)当点P在圆外时，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x＋y0y＝r2，如图2.
(3)当点P在圆内且异于圆心时，过点P作圆的弦，则弦的两个端点处的切线的交点的轨迹是一条直线，其方程为x0x＋y0y＝r2，如图3.

提醒：当圆的圆心不在原点时，相应的结论会有变化．
(1)若点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则过该点的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上，则过该点的切线方程为x0x＋y0y＋D×x0+x2＋E×y0+y2＋F＝0.
[典例1] 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
B [因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝a·0+b·0-1a2+b2＝1a2+b20)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
ABD [对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，∴直线l与圆C相切，A正确．
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＞r，∴直线l与圆C相离，B正确．
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＜r，∴直线l与圆C相交，C错误．
对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2+b2＝r，
∴直线l与圆C相切，D正确．
故选ABD.]
判断直线与圆的位置关系的两种方法
跟进训练1 (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
(2)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(1)A (2)A [(1)法一(代数法)：
由mx-y+1-m=0，x2+y-12=5，
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二(几何法)：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝-mm2+10)，
所以两圆方程相减得直线AB方程为4x＋8y＝36－r2，
又|AB|＝855，所以圆心O到直线AB的距离为16-12×8552＝855，
两圆心距离为|MO|＝22+42＝25，
所以圆心M到AB距离为4+r216+64＝25-855，解得r2＝4，r＝2.
(2)设直线l方程为y＝－x＋b，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立直线与圆O方程消去y，得2x2－2bx＋b2－16＝0，
所以x1＋x2＝b，x1x2＝12b2－8，Δ＝4b2－4×2(b2－16)>0，得－42