2023年甘肃省武威市中考数学试卷

这是一份2023年甘肃省武威市中考数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）9的算术平方根是
A．B．C．3D．
2．（3分）若，则
A．6B．C．1D．
3．（3分）计算：
A．2B．C．D．
4．（3分）若直线是常数，经过第一、第三象限，则的值可为
A．B．C．D．2
5．（3分）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则
A．B．C．D．
6．（3分）方程的解为
A．B．C．D．
7．（3分）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为
A．2B．4C．5D．6
8．（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是
A．该小组共统计了100名数学家的年龄
B．统计表中的值为5
C．长寿数学家年龄在岁的人数最多
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有110人
9．（3分）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角
A．B．C．D．
10．（3分）如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为
A．，B．C．，D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）因式分解： ．
12．（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 （写出一个满足条件的值）．
13．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作 ．
14．（3分）如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 ．
15．（3分）如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则 ．
16．（3分）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：．
18．（4分）解不等式组：．
19．（4分）化简：．
20．（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知，是上一点，只用圆规将的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点为圆心，长为半径，自点起，在上逆时针方向顺次截取；
②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于上方点；
③以点为圆心，长为半径作弧交于，两点．即点，，，将的圆周四等分．
21．（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；．长征会师胜利之旅（会宁县）；．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．
（1）求小亮从中随机抽到卡片的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率．
22．（8分）如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到
（参考数据：，，，，，
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用表示，分成6个等级：．；．；．；．；．；．．下面给出了部分信息：
．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：
．八年级学生上学期期末地理成绩在．这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；
．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ；
（2）若为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有 人；
（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
24．（7分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
（1）求点的坐标；
（2）用的代数式表示；
（3）当的面积为9时，求一次函数的表达式．
25．（8分）如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当的半径为5，时，求的长．
26．（8分）【模型建立】
（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
①求证：；
②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．
27．（10分）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
2023年甘肃省武威市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）9的算术平方根是
A．B．C．3D．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：．
2．（3分）若，则
A．6B．C．1D．
【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
【解答】解：，
．
故选：．
3．（3分）计算：
A．2B．C．D．
【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．
【解答】解：原式
．
故选：．
4．（3分）若直线是常数，经过第一、第三象限，则的值可为
A．B．C．D．2
【分析】正比例函数是常数，的图象经过第一、三象限，则．
【解答】解：直线是常数，经过第一、第三象限，
．
故选：．
5．（3分）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则
A．B．C．D．
【分析】根据等边三角形的性质可得，根据等边三角形三线合一可得，再根据作图可知，进一步可得的度数．
【解答】解：在等边中，，
是边上的高，
平分，
，
，
，
故选：．
6．（3分）方程的解为
A．B．C．D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故原方程的解是．
故选：．
7．（3分）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为
A．2B．4C．5D．6
【分析】由折叠可知，，，，由同旁内角互补，两直线平行得，，由平行线的性质可得，，，，，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：如图，设与交于点，
四边形为矩形，
，，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，，
，，，，，
四边形为菱形，
．
故选：．
8．（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是
A．该小组共统计了100名数学家的年龄
B．统计表中的值为5
C．长寿数学家年龄在岁的人数最多
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有110人
【分析】根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：、该小组共统计的人数为：（人，故不符合题意；
、统计表中的值为（人，故不符合题意；
、长寿数学家年龄在岁的人数为，长寿数学家年龄在岁的人数为（人，所以长寿数学家年龄在岁的人数最多，故不符合题意；
、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在岁的人数估计有（人，故符合题意．
故选：．
9．（3分）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角
A．B．C．D．
【分析】根据，得，所以，再根据，得，即可得．
【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
10．（3分）如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为
A．，B．C．，D．
【分析】根据图2确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可．
【解答】解：由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大，
当点在边上时，的值逐渐减小，
点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，
，，
，
，，
故选：．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）因式分解： ．
【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：
．
故答案为：．
12．（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 0（答案不唯一） （写出一个满足条件的值）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△，解之即可得出的取值范围，任取其内的一个数即可．
【解答】解：方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：0（答案不唯一）．
13．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作 米 ．
【分析】根据正数与负数的实际意义即可得出答案．
【解答】解：海平面以上9050米记作“米”，
海平面以下10907米记作“米”，
故答案为：米．
14．（3分）如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 35 ．
【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：是的直径，
，
，
，
故答案为：35．
15．（3分）如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则 ． ．
【分析】连接交于，则， 根据菱形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接交于，
则，
四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留
【分析】根据弧长公式直接代入数值求解．
【解答】解：（米．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（4分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
19．（4分）化简：．
【分析】根据分式的混合运算法则，先算乘除再算加减，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知，是上一点，只用圆规将的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点为圆心，长为半径，自点起，在上逆时针方向顺次截取；
②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于上方点；
③以点为圆心，长为半径作弧交于，两点．即点，，，将的圆周四等分．
【分析】根据题中的步骤作图．
【解答】解：如图：点、、即为所求．
21．（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；．长征会师胜利之旅（会宁县）；．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．
（1）求小亮从中随机抽到卡片的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽到卡片的概率为；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片的结果有1种，
两人都抽到卡片的概率是．
22．（8分）如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到
（参考数据：，，，，，
【分析】过点作，垂足为，设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
设，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
新生物处到皮肤的距离约为．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用表示，分成6个等级：．；．；．；．；．；．．下面给出了部分信息：
．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：
．八年级学生上学期期末地理成绩在．这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；
．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： 16 ；
（2）若为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有 人；
（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
【分析】（1）根据中位数的定义可得的值；
（2）用200乘样本中下学期期末地理成绩达到优秀的学生所占比例即可；
（3）比较平均数、众数和中位数可得答案．
【解答】解：（1）把八年级上学期40名学生的地理成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，16，故中位数．
故答案为：16；
（2）（人，
即这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人．
故答案为：35；
（3）该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高，理由如下：
因为该校八年级学生的期末地理成绩下学期的平均数、众数和中位数均比上学期大，所以该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高．
24．（7分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
（1）求点的坐标；
（2）用的代数式表示；
（3）当的面积为9时，求一次函数的表达式．
【分析】（1）由反比例函数的解析式即可求得的的坐标；
（2）把代入即可求得用的代数式表示的式子；
（3）利用三角形面积求得的值，进一步求得的值．
【解答】解：（1）反比例函数的图象过点，
，
点的坐标为；
（2）一次函数的图象过点，
，
；
（3）的面积为9，
，
，
，
，
，
一次函数的表达式是．
25．（8分）如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当的半径为5，时，求的长．
【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；
（2）根据三角函数的意义及勾股定理求解．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
26．（8分）【模型建立】
（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
①求证：；
②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若，，求的值．
【分析】（1）①根据和都是等边三角形推出判定和全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；
②根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段，，的数量关系；
（2）过点作于，根据等腰直角三角形的性质推出判定，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段，，的数量关系；
（3）过点作于，推出是等腰直角三角形，求出、、的长后即可求出的值．
【解答】（1）证明：①和都是等边三角形，
，，，
，
，
；
②解：．
理由如下：
是等边三角形，
，
点与点关于对称，
，
，
；
（2）．
理由如下：
如图1，过点作于，
点与点关于对称，
，
又，
，
又，
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即：．
（3）解：如图2，过点作于，
又，
是等腰直角三角形，
又，
，，
，，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：，
．
27．（10分）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
【分析】（1）利用待定系数法将点坐标代入抛物线中，即可求解．
（2）作辅助线，根据题意，求出的长，，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
（3）作出图，证明，的最小值为，根据勾股定理求出即可解答．
【解答】解：（1）抛物线过点，
，
，
．
答：抛物线的表达式为．
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
如图1，作交轴于点，连接、，
点在上，
，，
连接，
，
．
，
，
，
当时，，
，
，
，
，
轴，轴，
，
四边形是平行四边形．
（3）如图2，由题意得，，连接，
在上方作，使得，，
，，
，
，
，，，
，
，
（当，，三点共线时最短），
的最小值为，
，
，
即的最小值为．
答：的最小值为．年龄范围（岁
人数（人
25
■
■
11
10
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图
说明
如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据
，，
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
17.7
15
八年级下学期
18.2
19
18.5
年龄范围（岁
人数（人
25
■
■
11
10
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图
说明
如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据
，，
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
17.7
15
八年级下学期
18.2
19
18.5