2023年重庆市中考数学试卷（b卷）

这是一份2023年重庆市中考数学试卷（b卷），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）4的相反数是
A．B．C．D．4
2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是
A．B．C．D．
3．（4分）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为
A．B．C．D．
4．（4分）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为
A．4B．9C．12D．13.5
5．（4分）反比例函数的图象一定经过的点是
A．B．C．D．
6．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为
A．14B．20C．23D．26
7．（4分）估计的值应在
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
8．（4分）如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若，则的度数为
A．B．C．D．
9．（4分）如图，在正方形中，为对角线的中点，为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点，连接，若，则的长度为
A．2B．C．1D．
10．（4分）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）计算： ．
12．（4分）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
13．（4分）若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ．
14．（4分）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ．
15．（4分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 ．
16．（4分）如图，在矩形中，，，为的中点，连接．．以为圆心，长为半径画弧，分别与，交于点，．则图中阴影部分的面积为 （结果保留．
17．（4分）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
18．（4分）对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．如：四位数7311，，，是“天真数”；四位数8421，，不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若能被10整除，则满足条件的的最大值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：（1）；
（2）．
20．（10分）在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．
请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规作平行四边形对角线的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为．（只保留作图痕迹）
如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为．求证：．
证明：四边形是平行四边形
．
．
垂直平分，
．
又 ，
．
．
再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：
过平行四边形对角线中点的直线 ．
21．（10分）某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对、两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，款设备的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
22．（10分）如图，是边长为4的等边三角形，动点，均以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，沿折线方向运动，沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为秒，点，的距离为．
（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点，相距3个单位长度时的值．
23．（10分）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．
（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？
（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？
24．（10分）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面，养殖场捕捞海产品．经测量，在灯塔的南偏西方向，在灯塔的南偏东方向，且在的正东方向，米．
（1）求养殖场与灯塔的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达处？
（参考数据：，
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
26．（10分）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
（3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
2023年重庆市中考数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）4的相反数是
A．B．C．D．4
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：4的相反数是．
故选：．
2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得选项的图形．
故选：．
3．（4分）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质可以得到，然后根据的度数，即可得到的度数．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
4．（4分）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为
A．4B．9C．12D．13.5
【分析】根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
【解答】解：，．
，
当时，．
故选：．
5．（4分）反比例函数的图象一定经过的点是
A．B．C．D．
【分析】根据对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：反比例函数中，
、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
、，此点在函数图象上，故本选项符合题意．
故选：．
6．（4分）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为
A．14B．20C．23D．26
【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．
【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有个圆圈，
第③个图案中有个圆圈，
第④个图案中有个圆圈，
，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：，
故选：．
7．（4分）估计的值应在
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【分析】先化简题干中的式子得到，明确的范围，利用不等式的性质求出的范围得出答案．
【解答】解：原式．
．
．
故选：．
8．（4分）如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到．
【解答】解：连接，
直线与相切于点，
，
，
，
，
，
故选：．
9．（4分）如图，在正方形中，为对角线的中点，为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点，连接，若，则的长度为
A．2B．C．1D．
【分析】连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长度．
【解答】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
在与中，
，
，
，
，
为对角线的中点，
，
故选：．
10．（4分）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【解答】解：，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现，
显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负号，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）计算： 6 ．
【分析】由，
【解答】解：．
故答案为：6．
12．（4分）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解答】解：树状图如图所示，
由上可得，一共有16种等可能性，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性，
抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为，
故答案为：．
13．（4分）若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ．
【分析】利用多边形内角和公式求得七边形的内角和后与作差即可．
【解答】解：由题意可得七边形的内角和为：，
该七边形的一个内角为，
其余六个内角之和为，
故答案为：．
14．（4分）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 4 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得，在中，根据勾股定理即可求出的长．
【解答】解：，是边的中线，
，
，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
故答案为：4．
15．（4分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程 ．
【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，
依题意得：．
故答案为：．
16．（4分）如图，在矩形中，，，为的中点，连接．．以为圆心，长为半径画弧，分别与，交于点，．则图中阴影部分的面积为 （结果保留．
【分析】用三角形的面积减去2个扇形的面积即可．
【解答】解：，为的中点，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
17．（4分）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为 13 ．
【分析】先通过不等式组的解确定的范围，再根据分式方程的解求值即可得出答案．
【解答】解：解不等式组，
得：，
原不等式组的解集为：，
，
，
解分式方程，
得，
且，
且，
且，
，且，
符合条件的整数有：，0，2，3，4，5，
．
故答案为：13．
18．（4分）对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．如：四位数7311，，，是“天真数”；四位数8421，，不是“天真数”，则最小的“天真数”为 6200 ；一个“天真数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若能被10整除，则满足条件的的最大值为 ．
【分析】它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．分为两部分：第一部分千位数和个位数之间的关系，第二部分百位数和十位数之前的关系．
【解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．
先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的自然数0时．百位数是2；则最小的“天真数”为6200．
故答案为：6200．
一个“天真数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．
由“天真数”的定义得，所以，，所以，
又；
论能被10整除当取最大值9时，
即当时，满足能被10整除，则，“天真数” 为9313．
故答案为：9313．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）按照单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式进行计算即可；
（2）按照分式的混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
20．（10分）在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．
请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规作平行四边形对角线的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为．（只保留作图痕迹）
如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为．求证：．
证明：四边形是平行四边形
．
．
垂直平分，
．
又 ，
．
．
再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：
过平行四边形对角线中点的直线 ．
【分析】根据要求画出图形，证明，可得结论．
【解答】解：图形如图所示：
理由：四边形是平行四边形，
．
，
垂直平分，
．
又，
．
．
再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，
所以过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：，，，过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
21．（10分）某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对、两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息：
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，款设备的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： 15 ， ， ；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）用“1”分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值；
（2）用600乘款自动洗车设备“比较满意”所占百分比即可；
（3）通过比较，款设备的评分统计表的数据解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，，即；
把款设备的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，89，故中位数；
在款设备的评分数据中，98出现的次数最多，故众数．
故答案为：15；88；98；
（2）（名，
答：估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名；
（3）款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由如下：
因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但款自动洗车设备的评分数据的中位数比款高，所以款自动洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一）．
22．（10分）如图，是边长为4的等边三角形，动点，均以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，沿折线方向运动，沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为秒，点，的距离为．
（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点，相距3个单位长度时的值．
【分析】（1）根据动点、运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量的取值范围即可；
（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；
（3）根据两个函数关系式分别求出当时的值即可解决问题．
【解答】解：（1）当点、分别在、上运动时，为边长等于的等边三角形，
点，的距离等于、的长，
当时，关于的函数表达式为，
当点、都在上运动时，点，的距离等于，
当时，关于的函数表达式为，
关于的函数表达式为；
（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当时，；当时，；当时，，
分别描出三个点，，，，然后顺次连线，如图：
根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当时，随的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）
（3）把分别代入和中，得：
，，
解得：或，
点，相距3个单位长度时的值为3或4.5．
23．（10分）某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．
（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？
（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？
【分析】（1）设乙区有农田亩，则甲区有农田亩，根据“甲区农田的和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同”，可得出关于的一元一次方程，解之可得出乙区的农田亩数，再将其代入中，即可求出甲区的农田亩数；
（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，根据派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙区有农田亩，则甲区有农田亩，
根据题意得：，
解得：，
．
答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩；
（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意．
答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．
24．（10分）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面，养殖场捕捞海产品．经测量，在灯塔的南偏西方向，在灯塔的南偏东方向，且在的正东方向，米．
（1）求养殖场与灯塔的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达处？
（参考数据：，
【分析】（1）过点作于点，在中，解直角三角形求出，．在中，解直角三角形即可求出；
（2）求出，，进而求出，根据速度公式即可得到结论．
【解答】解：（1）过点作于点，
在中，，米，，，
（米，（米．
在中，，
，
（米，
（米．
答：养殖场与灯塔的距离约为2545米；
（2）（米，
（米，
米米，
能在9分钟内到达处．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分、两种情况，列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）令，则或3，则点，
由点、知，直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，则，
则，则，
则，
设点，则点，
则，
即的最大值为：，此时点；
（3）平移后的抛物线的表达式为：，
则点，设点，，
则，，，
当时，则，
解得：，
则点的坐标为，；
当时，则，
解得：或，
则点的坐标为：，或，；
综上，点的坐标为：，或，或，．
26．（10分）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
（3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，进而证明，即可得证；试（2）过点作，交点的延长线于点，连接，，证明四边形四边形是平行四边形，即可得证；（3）如图所示，延长，交于点，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，由（2）可得，得出四边形是平行四边形，则．进而得出，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解．（1）由“”可证，可得结论；
（2）
【解答】（1）证明：为等边三角形，
，，
将绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，
是等边三角形，
，
，
，
垂直平分，
，
又，
，，
，
在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分，
，，
，
又，，
是等边三角形，
，
，
，
又，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解法二：连接，证明，可得结论．
（3）解：依题意，如图所示，延长，交于点，
由（2）可知是等边三角形，
，
将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，
，，
，
是等边三角形，
，
由（2）可得，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由（2）可知是的中点，则，
，
，
折叠，
，
，
又，
，
当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，
，
，
．
解法二：由两次翻折，推得，则，
由，推出的最小值，只需要求出的最小值，
当时，的值最小，最小值为1，
的最小值为．
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
88
96
88
87
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
88
96
88
87