北京市顺义区第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.
一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦的和角公式即得.
【详解】.
故选；D．
2. 如图，在平行四边形中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量运算得.
【详解】由图知，
故选：B.
3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数平移变换对解析式的影响求解即可.
【详解】对于A，向左平移个单位长度得，故A错误；
对于B，向右平移个单位长度得，故B错误；
对于C，向左平移个单位长度得，故C正确；
对于D，向右平移个单位长度得，故D错误；
故选：C.
4. 已知，都是锐角，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算得到，，再根据展开得到答案.
【详解】，都是锐角，，，故，.
.
故选：.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.
5. 已知为非零向量，且，则一定有（ ）
A. B. ，且方向相同
C. D. ，且方向相反
【答案】B
【解析】
【分析】将已知等式两边平方，可得，利用数量积定义可得，可知两向量同向.
【详解】因为，两边平方得
，
化简得，
即，
则，，
即方向相同，故只有B正确，
故选：B.
6. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为.若的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.
【详解】由三角函数的定义可知：，
故，故，
解得：.
故选：D
7. 的最小值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式进行转化，再利用辅助角公式把函数变形为，即可求解.
【详解】因为
，
故函数的最小值为，
故选：B.
8. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象先确定的值及周期，进而得到，分类讨论，结合函数图象过点，求出的值即可.
【详解】根据函数图象可得,
由周期,
即，
当时，，
又函数图象过点，
则，
所以,
即，
又因，故，
则；
当时，，
又函数图象过点，
则，
所以,
即，
又因为，故，
则
，
综上知，，
故选：A.
9. 如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么的值为（ ）．
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出，再结合函数式计算作答.
【详解】依题意，，函数的周期，而，则，，
，，
所以.
故选：A
10. 已知函数，如果存在实数，使得对任意实数x，都有，那么的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意分析可知为的最小值，为的最大值，故最小值为半个周期，由此得解.
【详解】因为的周期，
又由题意可知为的最小值，为的最大值，
所以的最小值为.
故选：B.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. ______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦函数的倍角公式计算即可.
【详解】.
故答案为：.
12. 已知角的终边经过点，则 ．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由三角函数定义可得：，由二倍角公式可得:
考点：1．三角函数定义;2．二倍角公式
13. 与的大小关系是______（填：“或=”中的一个）.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式化简后，利用正切函数的单调性即可比较大小.
【详解】因为，
，
又，
所以，
故，
故答案为：.
14. 已知函数，那么函数最小正周期为______；对称轴方程为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，继而利用周期公式及整体代入法求解对称轴即可.
【详解】因为
，
所以函数的最小正周期，
令,
得，
所以函数的对称轴为.
故答案为：；.
15. 已知，.有下列四个说法：
①的一个正周期为；②在上单增；
③值域为；④图象关于对称.
其中，所有正确说法的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果.
【详解】对于①，因为，所以①正确；
对于②，当时，，此时，
又，所以在单调递增，
因为，为偶函数，
所以单调递减，故②错误；
对于③，因为，
所以值域为，故③正确；
对于④，因为
，所以图象关于对称.
故答案为:①③④.
三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）求方程的解集．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦型函数的周期公式即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
最小正周期.
【小问2详解】
∵在上单增，
∴令，
∴，
∴的单增区间为.
【小问3详解】
令即，
∴或，
∴或，
∴方程的解集是或
17. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的对称中心；
（3）作出在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图）
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式代入求值即可；
（2）整体代入法进行求解即可；
（3）利用五点作图法填写表格作出图象即可.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
令，得，
所以函数的对称中心为.
小问3详解】
表格如下图：
图象如下：
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简，从而可得的值；
（2）由得，从而结合正弦函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为
，
所以.
【小问2详解】
由，可得，
所以当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值.
19. 已知函数部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图象可知，相邻的对称中心和对称轴距离相差，再代入关键点可得解析式；
（2）根据图象的变换得到解析式，求解函数的对称轴，由题意列不等式即可求解.
【小问1详解】
由图象可知的最大值为1，最小值-1，故；
又且，∴，
将点代入得，，
∴，即，又，∴，
所以；
小问2详解】
由的图象向右平移个单位长度得到函数，
令得，
∴曲线的对称轴为，
∵曲线的对称轴只有一条落在区间上，
∴.
20. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.
（1）求的解析式；
（2）设函数，若在区间上的最大值为，求的值.
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）若选①②，先由周期求得，再利用奇函数求得即可；若选①③，先由周期求得，再利用对称轴求得即可；若选②③，由奇函数求得，可取，再由对称轴为，可求得，解析式不唯一，不合题意；
（2）先由求出并化简解析式，求得，再利用单调性求得最大值即可求解.
【小问1详解】
若选①②，则,
解得，又函数为奇函数，
则，
即，
解得，又，所以，
故.
若选①③，则,解得，
又图象的一条对称轴为，
所以，
故，
解得，又，所以，
故.
若选②③，因为函数为奇函数，
则，
即，
解得，又，所以，
故，可令，
则，
又图象的一条对称轴为，
所以，
故，
解得，又，
所以，时，符合题意，
故，
此时函数和均为奇函数，
且，
均满足一条对称轴为，
故解析式不唯一，不合题意.
【小问2详解】
有知，
则
，
由得，
故当，即时，
，
故.
21. 对于函数，，，及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有“m关联”性质.
（1）分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；
①，；，；
②，；，；
（2）若与具有“m关联”性质，求m的取值范围；
（3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
求证：与不具有“4关联”性质.
【答案】（1）①有；②没有；
（2）；
（3）证明过程见解析.
【解析】
【分析】（1）根据具有关系“2关联”性质的定义判断即可.
（2）求解的值域即可得出结果.
（3）根据的性质求出其值域，结合三角函数的值域推理作答.
【小问1详解】
①存在，，使得，
所以函数具有“2关联”性质；
②，，而，，
因此，，显然不存在，，使得，
所以函数不具有“2关联”性质.
【小问2详解】
，，则，，
所以m的取值范围是.
【小问3详解】
因为在上，当且仅当时，取得最大值1，
又为定义在上的奇函数，则在上，当且仅当时，取得最小值，
由对任意，有，即关于点对称，
又，于是函数的周期为，因此的值域为 ；
，
①当时，，而时，，
若，则时，有；
②当 时，，而时，，
若，则时，有，显然，
因此，即不存在，使得 ，
所以与不具有“4关联”性质.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.0
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