上海市松江二中2025届高三上学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知集合，，则___________
【答案】
【解析】
【分析】利用交集的定义进行求解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________.
【答案】##i-2
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算求解即可.
【详解】由题意知，，
则，
故答案为：
3. 在的展开式中，的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故答案为：
4. 双曲线的两条渐近线的夹角为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得两条渐近线方程为，
设直线的倾斜角为，则，解得，
根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题.
5. 已知向量，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积定义求解.
【详解】解得
故答案为：.
6. 数在上可导，若，则______.
【答案】12
【解析】
【分析】利用导数的定义计算代入可得结果.
【详解】根据导数定义可
.
故答案为：12
7. 已知随机变量的分布为，且，若，则实数_______．
【答案】
【解析】
【分析】由期望性质可得答案.
【详解】因，则.
又，则.
故选：.
8. 正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定旋转体是母线且同底的两个圆锥构成的几何体，进而可得.
【详解】由题意知，为等腰三角形，且，
所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴，
和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体，
可得圆锥的底面半径为，所以旋转体的表面积．
故答案为：.
9. 已知集合.设函数的值域为，若，则实数的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法，对数函数的值域以及集合间的包含关系即可求解.
【详解】由得，即，
所以，解得.
所以.
因为，
所以，
所以，
因为，所以解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
10. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【详解】由题意可知，2次检测结束的概率为，
3次检测结束的概率为，
则恰好检测四次停止的概率为.
11. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解
【详解】设椭圆的半焦距为，
如图，延长，与椭圆交于点L，连接，
由，所以根据对称性可知，，
设，则，，
从而，故，
在中，，所以，
在中，，即，
所以，所以，所以离心率，
故答案为：
12. 已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题用向量减法的模的几何意义解决.
【详解】
作图，，则，，
因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；
同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，
所以的最小值则为，
因为，，当，，三点共线时，，所以.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. “”是“直线与垂直”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：两直线垂直，所以，所以是充分不必要条件.
考点：充要条件.
14. 已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）．
A. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线
B. 若，平行于同一平面，则与可能异面
C. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
D 若，垂直于同一平面，则与可能相交
【答案】A
【解析】
【分析】利用相交平面说明判断A；举例说明判断B，D；利用反证法推理说明C作答.
【详解】对于A，因，不平行，令，直线，若，必有，A不正确；
对于B，若，直线，直线b与m是相交直线，则有直线b与m都平行于，
把直线b平行移出平面外为直线n，且不在内，此时与是异面直线，都平行于，B正确；
对于C，假定与垂直于同一平面，则有，与，不平行矛盾，即假设是错的，C正确；
对于D，令，若直线c垂直于某个平面，由面面垂直的判定知，垂直于这一平面，D正确.
故选：A
15. 在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（ ）
A. 等腰三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 锐角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，将向量用表示，得到，进而判断的形状.
【详解】取的中点，的中点，连接（如图所示），则

，
同理，
因为，所以，
即，所以对于边上任意一点都有，
因此，
又，为中点，为中点，
所以，所以，
即，所以，即△为钝角三角形，
故选：B.
16. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出函数的简图，将函数分解因式，根据零点定义，结合图象，确定有两个根，转化为有3个零点，由图即得参数范围.
【详解】函数的定义域为，
若时，由求导得，，
故当时，f'x0，即在上单调递增，
且当时，，当时，，即时，恒有.
作出函数的大致图象如图所示.
又由可得或，
由图知有两个根，此时有2个零点；
要使函数恰有5个不同的零点，
需使有3个零点，由图知，需使，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题的关键在于将函数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函数的零点个数转化为两个函数的图象交点个数问题解决.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点．
（1）求证平面；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理和性质定理证平面，进而可得，再有利用线面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求二面角的大小.
【小问1详解】
因为平面，平面，平面，
所以，，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
有题意可知，又，平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
因平面，平面，所以，
因为，所以为中点，
故，
平面的一个法向量为，
，
设平面的法向量为，
由得，令得，，
则，所以，
因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小为．
18. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，求x值；
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；
（3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人的概率.
【答案】（1）
（2）83.33 （3）
【解析】
【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；
（2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数；
（3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
【小问1详解】
由图知：，可得.
【小问2详解】
由，
所以分位数在区间80,90内，令其为，
则，解得.
所以满意度评分的分位数为83.33.
【小问3详解】
因为评分在的频率分别为，
则在50,60中抽取人，设为；
在60,70中抽取人，设为；
从这6人中随机抽取2人，则有：
，
，共有15个基本事件，
设选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人为事件，
则有，共有8个基本事件，
所以.
19. 已知函数的表达式（为实数）．
（1）函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；
（2）设，若不等式在上有解，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性定义，我们设，可由增函数得到成立，即可较易得到的取值范围；
（2）利用分离变量法，将分离出来，发现题设转化为：存在，，使得成立，即大于等于的最小值即可，可将转化为二次函数，即可利用二次函数的性质，得到结果.
【小问1详解】
由题意，任取、，且，
则，
因为，，所以，即，
由，得，所以，
所以，的取值范围是．
【小问2详解】
由，得，
因为，所以，
令，则，所以，
令，，
于是，要使原不等式在有解，当且仅当，
因为，所以图象开口向下，对称轴为直线，
因为，设：为区间的中点值，，
故当，即，即时，；
当，即，即时，．
综上，当时，；当时，．
20. 如图，已知､是椭圆的左､右焦点，､是其顶点，直线与相交于，两点.
（1）求△的面积；
（2）若，点，重合，求点的坐标；
（3）设直线，的斜率分别为､，记以，为直径的圆的面积分别为､，的面积为，若､､恰好构成等比数列，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）最大值为.
【解析】
【分析】（1）由题可得，利用面积公式即求；
（2）由题可得直线方程，联立椭圆方程利用韦达定理即得；
（3）由，得，利用韦达定理及三角形面积公式及条件可得，又利用条件可求，再利用基本不等式即得.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴△的面积.
【小问2详解】
∵，又，点A，重合，
∴，直线方程为，
由，得，
则，
∴，，
∴点的坐标为.
【小问3详解】
由，得，
设，
∴，即，
，
又，，恰好构成等比数列，
∴，即，
∴，又，
∴，可得，，
∵点O到直线AB的距离为，
∴，
又，
∴
，
∴，
当且仅当即时等号成立，
∴的最大值为.
21. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若的极大值为，求的值；
（3）当时，若，使得，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解切线方程；
（2）对函数求导后，由，得或，然后分，和三种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值，使极大值为可求出；
（3）将问题转化为在上的值域是在的值域的子集，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，然后分，和三种情况讨论即可.
【小问1详解】
，则，
因为，所以切点即，
所以切线为.
【小问2详解】
，
因为，令，解得或，
①当时，即时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，不符合题意；
②当时，即时，，在R上单调递增，无极大值；
③当时，即时，在上单调递增，
上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，，符合题意．
综上所述，．
小问3详解】
由题意得当时，在上值域是在的值域的子集，
由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，
①当时，即时，当时，单调递增，，
又因为当时，，
因为，所以当时，使得，
②当时，即时，
当时，单调递增，，
当时，，
若满足题意，只需，即，
③当时，即时，
当时，在上单调递减，上单调递增，
所以函数的最小值为，
所以，
又因为时，，
若满足题意，只需，即，
因为，所以，所以无解，
所以不合题意
综上，实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：此题第（3）问解题的关键是转化问题为当时，在上的值域是在的值域的子集，进一步转化求函数的值域问题，从而得解.